1、9-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例第九章第九章 扭扭 转转9-2 自由扭转杆件的内力计算自由扭转杆件的内力计算9-3 9-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转9-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力9-5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算9-6 圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析9-1 9-1 扭转概念和工程实例扭转概念和工程实例1 1、螺丝刀杆工作时受扭、螺丝刀杆工作时受扭。 Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭转的工程实例一、扭转的工程实例2 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。3 3、机器中的传动轴工作时受扭。
2、、机器中的传动轴工作时受扭。二、扭转的概念二、扭转的概念受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形的杆轴轴。本章主要介绍本章主要介绍圆轴扭转圆轴扭转Am Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶em直接计算直接计算一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算9.2 9.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：
3、电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：外力偶矩求：外力偶矩M Me ePP圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。eMT 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeMe0, 0exMTM T1 1、扭转杆件的内力扭转杆件的内力（截面法）（截面法）xMeMemT Tx取右段为研究对象：取右段为研究对象：0, 0TMMexeMT 内力偶矩
4、内力偶矩扭矩扭矩T取左段为研究对象：取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图2 2、扭矩的符号规定、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为，则扭矩规定为正值，反之为负值。负值。T（+）T（-）3 3、内力图（扭矩图）、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。扭矩图扭矩图作法：同轴力图：作法：同轴
5、力图：解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩例题例题 传动轴传动轴, ,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮A A输入功率输入功率P PA A=45kW,=45kW,三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,=15kW,P PD D=20kW.=20kW.试绘轴的扭矩图试绘轴的扭矩图. .9549/eMP n由公式由公式(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3) 扭矩图扭矩图max1432TN m 传动轴上主、传动轴上主、从动轮安装的位从动轮安装的位置不同，轴所承置不同，轴所承受的最大
6、扭矩也受的最大扭矩也不同。不同。BMCMA AB BC CD DAMDM31432ATMN m A AAM3T318N318N. .m m795N795N. .m m1432N1432N. .m mmxMTA mlMA （m轴单位长度内的扭力偶矩轴单位长度内的扭力偶矩）例例 试分析图示轴的扭矩试分析图示轴的扭矩)(xlmT 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）曲线）扭矩图扭矩图1、求约束反力2、截面法求扭矩1 1、实验：、实验：9-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力0101r, r0：为平均半径）(壁厚壁厚2
7、 2、变形规律：、变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：结论：, 0000横截面上横截面上可认为切应力沿壁厚均匀分布可认为切应力沿壁厚均匀分布, , 且方向垂直于其半径方向。且方向垂直于其半径方向。同一圆周上各点处的切应变同一圆周上各点处的切应变均相等，且发生在垂直于半径的平面内均相等，且发生在垂直于半径的平面内；,0rD3 3、切应力的计算公式：、切应力的计算公式：2.20202002000rdrr
8、drrdATA202 rTd薄壁圆筒横截面上的切应力计算式薄壁圆筒横截面上的切应力计算式二、剪切胡克定律二、剪切胡克定律l为扭转角为扭转角lr0即即lr0T202 rTlr0剪切胡克定律剪切胡克定律,pG在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。与切应变成正比关系。 在切应力的作用下，单元在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，体的直角将发生微小的改变，这个改变量这个改变量 称为切应变。称为切应变。 当切应力不超过材料的当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变剪切比例极限时，切应变 与与切应力切应力成正比，这个关系成正比，这个关系称为称为剪切胡克定律剪切胡克定律。 GG
9、 剪切弹性模量剪切弹性模量(N/m2) 各向同性材料，三个各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：弹性常数之间的关系：2(1)EG从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体单元体zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM自动满足自动满足0 xFyzxxzydddddd存在存在得得三、切应力互等定理三、切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcxyzabOcddxdy
10、dz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小应力总是成对出现，并且大小相相等，等，方向同时指向或同时背离两方向同时指向或同时背离两个面的交线。个面的交线。一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何关系一）、几何关系：由实验找出变形规律由实验找出变形规律应变的变化规律应变的变化规律1 1、实验：、实验：9-4 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向线纵向线倾斜
11、了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小、大小 以及间距不变，半径仍为直线。以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力00（1）00（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。垂直于其半径方向。剪应变的变化规律剪应变的变化规律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究对象
12、研究对象微段扭转微段扭转变形变形 d Ddxd二）物理关系二）物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律PmaxG GdxdG方向垂直于半径。方向垂直于半径。d / / dx扭转角变化率扭转角变化率（）弹性范围内弹性范围内三）静力关系：三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式应力的计算公式ATAdAIApd2令 （圆截面对圆心的极惯性矩）xGI Tpdd 代入物理关系式代入物理关系式 得：得：xGdd pIT圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。pGITx dd AxGAddd2扭
13、转扭转变形计算式变形计算式横截面上横截面上 maxmaxmaxPPtTTTIIW抗扭截面模量抗扭截面模量，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：tWTmaxmax三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、等直的圆轴， 2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定44, mmm.,33mmm单位单位：RIIWpptmaxtW四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数WpAAId2p162/3ptddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实
14、心圆截面：实心圆截面：Odd223pd2DdI4344pt116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33t16dDW44p32dDIDdOd1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度: : .)1 (16,16433空心实心DDWt9-5 9-5 扭转变形扭转变形 扭转强度和刚度计算扭转强度和刚度计算tWTmaxmax tWmaxT2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸: :3 3）确定外荷载）确定外荷载: :maxTtWm一、一、 扭转强度计算扭转强度计
15、算max maxtmaxWTtmaxmaxWT等截面圆轴等截面圆轴: :变截面圆轴变截面圆轴: :例例 已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。解：解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 3116Td 3116Td1 54 mmd 取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max max3116Td2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1 (161643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68 Dd mm 68 mm 76 dD，取：取：3. 重量比较重量比较2221(
16、)439.5%4Ddd空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻43t116DW例例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。解解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362t2max, 2WTAB段段1 t1max, 1WT2 2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8 .64
17、mm12016mmN102236MPa80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）1 1、扭转变形：（相对扭转角）、扭转变形：（相对扭转角）PGITdxddxGITLP扭转角单位：弧度（扭转角单位：弧度（radrad） GIP抗扭刚度抗扭刚度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT单位长度的扭转角单位长度的扭转角mrad二、二、 扭转杆的变形计算扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算式扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴PGITdxd各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴2 2、刚度条件：、刚度条件： PGITmaxmax 0maxmax180PG
18、ITm3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度； max max pGTI3)3)、确定外荷载、确定外荷载: :2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸: :maxpGITm例例 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校核轴的刚度校核轴的刚度解解：1. 变形分析变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC r
19、ad 1033010171101.502-2-2- .2. 刚度校核刚度校核p111ddGITxp222ddGITx21 TT 因因p11maxmaxdd GITx故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180412-59max轴的刚度足够轴的刚度足够 例例 传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率N1=400kW，从动轮B，C 分别输出功率N2=160kW，N3=240kW。已知=70MPa， =1/m ，G=80GPa。 (1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和
20、从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMACB2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解： 1.1.外力外力 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件 mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d1d1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640mN4580 mm4 .861d1eMACB2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT
21、 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5.5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861 dd 6.6.将主动轮装在两从将主动轮装在两从动轮之间动轮之间1eMACB2eM3eM1d2dmN7640mN4580 2eMBCA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 9-6 9-6 圆轴扭转破坏分析圆轴扭转破坏分析低碳
22、钢试件：沿横截面断开。低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺旋的螺旋线断开。线断开。 材料抗拉能力差，材料抗拉能力差，构件沿构件沿4545o o斜截面因拉斜截面因拉应力而破坏（脆性材应力而破坏（脆性材料）。料）。 材料抗剪切能力差，构材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生件沿横截面因切应力而发生破坏破坏(塑性材料）；塑性材料）；, 0n, 0t2sin2cos设：设：ef ef 边的面积为边的面积为 dA dA 则则 xntefbeb 边的面积为边的面积为dAcosbf 边的面积为边的面积为dAsin0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0 若材料抗拉压能力差，构件沿若材料抗拉压能力差，构件沿4545o o斜截面发生破坏（脆性材料）。斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,450;max,450;min:)2max,0;max横截面上！横截面上！
