1、第第十二十二章章 弯曲变形弯曲变形1212- -1 1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题1212- -2 2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程1212- -3 3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形1212- -4 4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形1212- -6 6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施1212- -7 7 简单超静定梁简单超静定梁1212- -5 5 梁的刚度校核梁的刚度校核目录1212-1 -1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7-11212-1 -1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题1212-2 -2 挠曲线的微分方程挠曲线的微
2、分方程1.1.基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xww 由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdwtan挠曲线挠曲线wxxw挠度挠度转角转角挠度挠度w w：截面形心：截面形心在在w w方向的位移方向的位移w向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正逆时针为正7-22.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1 由数学知识可
3、知：由数学知识可知：3222)(1 1dxdwdxwd略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxwd所以所以zEIxMdxwd)(222M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) 00 wwxMb。解解 1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列
4、挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxwdEI1211112)(CxlFbxEIdxdwEI1113116DxCxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxwdEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdwEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22lwlx0)0(, 011wx代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,212
5、1aaaxx )()(,2121awawaxxlFbFblCC661321 021 DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIwAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIwCB CB 段：段：lxa2maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,max
6、alEIlFablxB令令 得，得，0dxdw)(39)(,3322max22EIlblFbwblxmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。件）确定。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁
7、。1212- -4 4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形)(22xMEIwdxwdEI 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为w w，则有：，则有： )(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iw)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMwEIwEIniinii7-4故故 )( 1niiww由于梁的边界条
8、件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiww1重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是和。这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。处理计算的方法处理计算的方法一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()(),(221121nnnPPPPPP )()()(),(221121nnnPwPwPwPPPw 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式
9、叠加（逐段刚化法）：前提：小变形，线弹性使梁的挠度、转角均与载荷成线形关系。例例 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的截面的挠度挠度w wC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCwwww321BBBBwC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643解解3 3） 应用叠加法，将简单载荷应
10、用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlwwiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiBwC1wC2wC3例例 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。叠加EIxLxFwdPC48)43()d(22xLxqxxqFd2d)(d0 xEILxLxqd24)43(2220dPCqCwwEIqLxEILxLxqL240d24)43(45.002220q00.5L0.5LxdxxwCL/2L/2qA AC CA=+例例：求图示梁C
11、截面的挠度。解解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表EIqLEILqwwwwCaCbCaC7685384)2(50443、叠加0;384)2(54CbCawEILqwL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)例例 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价xx21wwwwPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMx=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa2/2（b）例例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。已知）。解解：1)
12、结构分解如图2) 查梁的简单载荷变形表3) 叠加B B C Cq q（a）EILqaaEILqaawEIqawCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqawwwBbBaB24)43(68334例例 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的截面的挠度挠度w wC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来
13、载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 Cw解解Cw2Cw1Cw2Bw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCEIqlC631EIqlC4832 EIqlwwiCiC384414213 3）将结果叠加）将结果叠加 EIqliCiC4873212 2）再将处理后的梁分解为简单载荷）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自作用的情形，计算各自C C截面的挠度截面的挠度和转角。和转角。 1212- -5 5 梁的刚度条件梁的刚度条件 maxww max
14、一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；w称为许用挠度。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。 max(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外） maxwwPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的w=0.00001m,B点的=0.001弧度,试校核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图
15、图3 3EIaLPawBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPawBC32233解：结构变换，查表求简单 载荷变形。02BEIaPwC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxyEILaPEIaPEIaLPwC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414.
16、3 )(64dDIm1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPwC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423.04maxm10m1019.556maxww校核刚度1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状1212- -6 6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型%5 .6212CCww3 3）采用超静定结构）
17、采用超静定结构1212- -7 7 简单超静定梁简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余
18、约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统0)()(ByFBFBByyy 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方
19、程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAAA AM MA Ay yF F例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度
20、均为均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BBwwBBFFFBwB1 FBwB2物理关系物理关系EIFEIqwBB3484341322423 4263BBFFyEIEI解解FB FBwB1wB2kN75. 84842046104023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04, 0 q
21、FFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqMFB F BwB1wB20, 0 FFFFCBy确定确定C C 端约束力端约束力 kN75.4875. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m11540275. 8424 FFMBCA A、C C 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图)( )( 25.7175. 875.48 kN SF)(kN25.71 AF)kN(75.48 CF)(mkN125 AM)m(kN115 CM)( 12511594. 15 .17)mkN( M)(
