1、第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析 强度理论强度理论13-1 13-1 应力状态的概念应力状态的概念AF轴向拉伸杆件轴向拉伸杆件FFFpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：斜截面应力：问题问题1 1：同一点处同一点处不同方位截面上不同方位截面上的应力不相同；的应力不相同；横截面应力：横截面应力：梁弯曲的强度条件：梁弯曲的强度条件： .,*maxmaxmaxmaxbISFWMzszzzFFFl)(B问题问题2 2 B B点处应力该如何校核？点处应力该如何校核？BB 有必要研究有必要研究一点的应力状态。一点的应力状态。研究应力状态的研究应力状态的目的目的：找出一点处沿不同方向应力的变
2、化规律，确定出最找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。的强度条件。 x y z xy yx yz zy zx xz（1 1）、主平面与主应力：）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力：作用于主平面上的正应力。xxyyxy主应力排列规定：按代数值由大到小主应力排列规定：按代数值由大到小。321 过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：单位：MPa
3、3010;30;10;50321;30; 0;10321a、单向应力状态、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态都等于零的应力状态。b、二向应力状态、二向应力状态：有两个主应力不等于零有两个主应力不等于零 ，另一个主应力，另一个主应力 等于零的应力状态。等于零的应力状态。c、三向应力状态、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。三向主应力都不等于零的应力状态。 （2)2)、应力状态的分类、应力状态的分类平面应力状态平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：复杂应力状态
4、：二向应力状态和三向应力状态的总称。二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态空间应力状态：三向应力状态三向应力状态简单应力状态：简单应力状态：单向应力状态。单向应力状态。纯剪切应力状态纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力单元体上只存在剪应力无正应力。yxz x y z xy yx yz zy zx xzxyx y yx xyxyxxy yx xyFPl/2l/2S 截面截面5432154321S截面截面4PlFMz 2PF5432154321S 截截面面4PlFMz 2PF1x12 2x2233FPlaS截面截面xzy4321yxzMzFQyMx43211pxWM 1 zzxWM
5、 1 43pxWM 3 p3WMxzzxWM3132 平面应力的应力状态分析平面应力的应力状态分析 解析法解析法等价等价xxxyyyxyoxyozxyxyxy空间问题简化空间问题简化为平面问题为平面问题xyxyxyxyon- - 逆时针转为正。逆时针转为正。设：斜截面面积为设：斜截面面积为A A，由分离体平衡得：由分离体平衡得：;0 FndAxyxyxyacbtnxxyxyacbsin:cos:dAacdAabdAbc单元体各面面积单元体各面面积cos)cos(dAxsin)cos( dAxsin)sin(dAy0cos)sin(dAy2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx
6、由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyacbsin:;cos:;:dAacdAabdAbc0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(, 0dAdAdAdAdAFyyxxt符号规定：符号规定：1 )1 )“ ”正负号同正负号同“ ”； 2)2) “ “ ”正负号同正负号同“ ” ； 3)3) “ “”为斜面的外法线与为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。注意：用公式计算时代入相应的正负号。, 00dd00即yxxytg220主平面的方位)90;(00002sin2c
7、os22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(00202cos2sin200 xyyxdd22minmax)2(2xyyxyx主应力的大小主应力的大小讨论：讨论：yx0901)、2)、 的极值的极值 主应力以及主平面方位主应力以及主平面方位 可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)3)、 切应力切应力 的极值及所在截面的极值及所在截面,2cos2sin2xyyxxyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置22minmax)2(xyyxxy 面内的最大切应力面内的最大切应力01dd令令)90;(011112tan2tan10)4
8、5(001由由yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置)90;(0000 xyyx22tan1最大切应力最大切应力 所在的位置所在的位置)90;(0111将将 与与 画在原单元体上。画在原单元体上。maxminmax,00145xyyxmaxminminmax0maxmin例例：如图所示单元体，求如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面。斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：解：1 1、求斜面的应力、求斜面的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)(3 .58)60sin()50()60cos(260402604000MPa)( 3
9、 .18)60cos()50()60sin(2604000MPa30,50,60,40 xyx5040602 2、求主应力、主平面、求主应力、主平面yxxytg22022minmax)2(2xyyxyx)(7 .60)(7 .80)50()26040(2604022MPaMPa16040)50( 2005 .67)(7 .60, 0),(7 .80321MPaMPa主应力主应力：主平面位置主平面位置：31yxxx0 xyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 13 -3 平面应力的应力状态分析平面应力的应力状态分析 图解法
10、图解法 2222222cossinsincosxyyxxyyxyx对上述方程消参数（对上述方程消参数（2 2 ），得：），得：)0 ,2(yx圆心：圆心：半径半径：22)2(xyyxRxyoxyxyxyxyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx应力圆：应力圆：D( x , xy)D( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力上的正应力和切应力D( x , xy)D( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aa
11、H 2转向对应转向对应二倍角对应二倍角对应 x xAD odacxyy45x245245beBE o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 1 1 3 3 BE 3 3 1 1 BE主应力单元体主应力单元体D例例：求求 1 1）图示单元体）图示单元体=30=300 0 斜截面上的应力斜截面上的应力 2 2）主应力、主平面（单位：）主应力、主平面（单位：MPaMPa）。）。60EFO.;003030EFOF2 2、量出所求的物理量、量出所求的物理量.2.; 0;1023211DCAOAOA解：解：1 1、按比例画此单元体对应的应力圆、按比例画此单元体对应的应力圆408060DC
12、),(30301A2A02020o 3 3 1 1 1).1).弹性理论证明，图弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对单元体内任意截面上的应力都对应着图应着图b b的应力圆上或阴影区内的一点。的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b2).2).整个单元体内的最大切应力为整个单元体内的最大切应力为： max结论结论 max31132 13 -4 空间应力的应力状态分析空间应力的应力状态分析 一点的最大应力一点的最大应力二、三向应力状态：二、三向应力状态：)(1)(1)(1213313223211EEE（广义胡克定律）（广义胡克定律）112233121233+ + +一、单向应力状态：一、
13、单向应力状态：EEE 13 -5 广义胡克定律广义胡克定律)(1zyxxE Gxyxy 三、广义胡克定律的一般形式三、广义胡克定律的一般形式: :)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xzxy广义胡克定律的应用广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向求平面应力状态下任意方向 的正应变：的正应变：901E 9090 xy求出求出 , ,就可求得就可求得 方向的正应变方向的正应变 90, 强度理论：强度理论： 13 -6 强度理论概念强度理论概念构件在静载荷作用下的两种失效形式：构件在静载荷作用下的两种失效形式： (1) (1) 脆
14、性断裂：脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。低温脆断等。 (2) (2) 塑性屈服塑性屈服：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。扭，铸铁压。本节介绍常用的四个经典强度理论本节介绍常用的四个经典强度理论 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种人们根据大
15、量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于种关于破坏原因的假说，破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法因的假设及计算方法） 。 材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值u1 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单向拉伸实验测得极限拉应力，
16、由单向拉伸实验测得buu nb1强度条件强度条件b1 断裂条件断裂条件 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于最大都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。拉应变（线变形）达到极限值导致的。 u1 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得uE/)(3211 Ebu/强度条件强度条件)(321nb断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于最大切应都
17、是由于最大切应力达到了某一极限值。力达到了某一极限值。umax 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得u2/su2/ )(31maxs31屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于单元体的都是由于单元体的最大形状最大形状改变比能改变比能达到一个极限值。达到一个极限值。dudvv213232221d)()()(61
18、Ev 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能d2261sduEv 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得d屈服条件屈服条件22132322212)()()(s 强度条件强度条件 n)()()(21ss213232221实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。得到了广泛应用。强度理论的选用原则：依破坏形式而定。强度理论的选用原则：依破坏形式而定。1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转
19、，都用：2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； max4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！当最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 其它应力状态时，使用第三或第四理论。11r)(3212r)()()(212132322214r强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：r r 相当应力相当应力313r ns, 2 . 0b例题例题 已知：已知： 和和 。试写出。试写出最大切应力最大切应力 理论和畸变能密度理论的表达式。理论和畸变能密度理论的表达式。解：解：首先确定主应力首先确定主应力2211422322142220 223134r2224122331221()()()
20、23rMPa7 .351 . 07000163tWTMPa37. 6101 . 050432AP22minmax)2(2MPa7 .35)237. 6(237. 6393222MPa32, 0,MPa39321 1解：危险点A的应力状态如图：例例 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。故，安全。PPTTAA A A 例例 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。)(12yxxEMPa4 .9410)37. 73 . 088. 1 (3 . 011 . 272)(12xyyEMPa1 .18310)88. 13 . 037. 7(3 . 011 . 272 解：由广义虎克定律得:A x yxyA0,MPa4 .94,MPa1 .183321 1 .183313r 0037 . 71701701 .183r所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。
