1、2020202020212021 学年第一学期高三第四次检测考试学年第一学期高三第四次检测考试数学试题（文科）数学试题（文科）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. .1已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.已知全集U R，集合 |14Ax xx 或，23 |Bxx ，那么阴影部分表示的集合为（）A4 |2xx B |34x xx或C |
2、21xx D | 13xx 3已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc，则AabcBacbCcabDbca4. 下列有关命题的说法中错误的是（）A在ABC中，若AB，则sinsinABB “1x ”是“1x”的必要不充分条件C “1sin2x ”的一个充分不必要条件是“6x”D若命题p： “实数x，使20 x ” ，则命题p的否定为“x R，都有20 x ”5.若实数, x y满足约束条件3403400 xyxyxy，则32zxy的最大值是A1B 1C 10D 126.函数 2e2xf xxx xR的图像大致为（）7数列na，满足12a ，111nnanNa，则2019a（）.A-2
3、B-1C2D128中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A(35) B( 51) C( 51) D( 52) 9. 设向量11,22a ，则下列结论中正确的是（）A./ /abB.abC.a与b的夹角为34D.b在a方向上的投影为2210设函数( )cos()6f xx在 ,的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）)1 ,0(bA109B76C43D3211在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：
4、当ab时，aba；当ab时，2abb，已知函数 12 22,2f xx xxx ，则满足13f mfm的实数的取值范围是（）A1,2B1,22C1 2,2 3D21,312. 已知函数 201941,01log,1xxxf xx x，若a，b，c互不相等，且 f af bf c，则abc 的取值范围是（）A1,2020B1,2019C2,2020D2,2019二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13已知13sinsin，则6sin_14 如图， 在ABC中，13ANNC，P是BN上的一点， 若311APABAC
5、m，则实数m的值为_.15曲线ln1yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_.16.函数1( )xxf xe，ln( )(0)axg xax 若对任意实数1x， 都存在正数2x， 使得21()()g xf x成立，则实数a的取值范围是_三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤17.（12 分）已知函数.xxxxfcossin3sin)(2（）求 f x的最小正周期；（）若 f x在区间,3m上的最大值为32，求
6、m的最小值.18 （12 分）已知等差数列an的公差不为零，1a=25，且1a，11a，13a成等比数列.（）求 na的通项公式；（）求23741.naaaa19 （12 分）给出一下两个条件：数列 na的首项12a ，且12nnnaa数列 na为等比数列，且13 2nnnaa .从上面两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列 na的通项公式；.（2）设数列 nb满足2lognnba，求数列11nnb b的前n项和nT.20.（12 分）的内角CBA,对的边为cba,向量bam3,与BA cos,cosn 平行.(1)求角A;. cb, 2)
7、2(的取值范围求若a21.（12 分）已知函数( )1 ln ()f xaxx aR （）讨论函数( )f x在定义域内的极值点的个数；（）若函数( )f x在1x 处取得极值，对(0,),( )2xf xbx 恒成立，求实数b的取值范围.22.（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点 M 的直角坐标为3, 5,直线l与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|MB|的值.2020202020212021 学年第一学期高
8、三第四次检测考试学年第一学期高三第四次检测考试数学答案（文科）数学答案（文科）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. .1解析：D2.【答案】【答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为UC AB，求出UC A，计算得到答案【详解】阴影部分表示的集合为UC AB， |14Ax xx或 | 14UC Axx | 23Bxx | 13UC ABxx 故选D3 3 【答案】【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c，运
9、用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a 0.20221,b 0.3000.20.21,则01,cacb故选 B4.4. 【答案】【答案】B【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断 A 选项的正误；利用集合的包含关系可判断 B 选项的正误；解方程1sin2x ，利用集合的包含关系可判断 C 选项的正误；利用特称命题的否定可判断 D 选项的正误.【详解】对于 A 选项，由大边对大角定理以及正弦定理可得sinsinABabAB，A 选项正确；对于 B 选项， 11x x ，则“1x ”是“1x”的充分不必要条件，B 选项错误；对于 C 选项，解方程1sin2x 可得26
10、x xk或52,6xkkZ，因为626x xk或52,6xkkZ，所以， “1sin2x ”的一个充分不必要条件是“6x” ，C 选项正确；对于 D 选项，命题p为特称命题，该命题的否定为“x R，都有20 x ” ，D 选项正确.故选：B.5.【答案】【答案】C C6.【答案】【答案】B B【考点考点】函数的图象与性质【解析解析】法一法一： 由题意可作出函数xey 与函数xxy22的图象， 得到有 3 个交点，即函数 xf有 3 个零点，则故答案选 B.法二法二：因为 0211 ef，可排除选项 A、D；且当x， 2xxexfx，排除选项 C，故答案选 B.法三法三：因为 22 xexfx，
11、设 22 xexfxgx，则 2xexg，令 0 xg，可得2lnx，所以当2lnx时， 0 xg，则 xg，在2ln，上单调递减；当2lnx时， 0 xg，则 xg，在，2ln上单调递增，又02ln222ln222ln2ln fg，即函数 xf有两个极值点，排除选项 C、D；而 0211 ef，所以排除选项 A，故答案选 B.7 7 【答案】【答案】D【分析】写出数列的前几项，观察数列的周期性，据此求解即可.【详解】根据递推公式，以及12a ，可得123456112,1,2,1,22aaaaaa 由此可得数列 na是以 3 为周期的周期数列，故2019312aa.故选：D.8解析：A9. 【
12、答案】C【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.【详解】A.110122 ，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；B.110 1022 ，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.122cos2|22a ba b ，0,，所以夹角为34，正确；D.b在a方向上的投影为122222a ba ，故错误.故选：C1010 【答案】【答案】C【分析】 由图可得： 函数图象过点4,09， 即可得到4cos096， 结合4,09是函数 f x图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到4962 ， 即可求得32， 再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点
13、4,09，将它代入函数 f x可得：4cos096又4,09是函数 f x图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962 ，解得：32所以函数 f x的最小正周期为224332T故选：C1111 【答案】【答案】C【解析】【解析】当21x 时， 12 24f xxx ；当12x时， 232 24f xxxx ；所以 34, 214,12xxf xxx ，易知， 4f xx在2,1单调递增， 34f xx在1,2单调递增，且21x 时， max3f x ，12x时， min3f x ，则 f x在2 2 ,上单调递增，所以13f mfm得：21223213mmmm ，解得1223m，故选 C12.
14、【答案】【答案】C【分析】画出函数图像，根据对称得到1ab，再得到12019c，最后得到答案.【详解】 201941,01log,1xxxf xx x画出函数图像： f af bf c，设abc则1ab411,01xxx2019log12019xx 即12019c2,2020abc 故答案选 C二、二、填空题填空题： （本大题共（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）1313 【详解】由题意可得：13sinsincos122，则：33sincos122，313sincos223，从而有：3sincoscossin663，即3sin63.14 【答案
15、】【答案】211【分析】解法 1：先根据13ANNC得到4ACAN，从而可得3411APABNm A，再根据三点共线定理，即可得到m的值.解法 2： 根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC，去表示AP， 根据图形可得：APABBP，设BPBN，通过向量线性运算可得：14APABAC，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m的值.【详解】解法 1：因为13ANNC，所以4ACAN，又311APABACm，所以3411APABNm A因为点, ,P B N三点共线，所以3+4111m ，解得：211m .解法 2：因为APABBP，设BPBN，所以APABBN，因为13ANNC，所以14
16、ANAC，又BNANAB，所以14BNACAB，所以=4141APABACABABAC，又311APABACm，所以31114m解得：8=11211m，所以211m . 故答案为：211.1515 【答案】【答案】2yx【分析】 设切线的切点坐标为00(,)xy， 对函数求导， 利用0|2xy， 求出0 x， 代入曲线方程求出0y，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln1,1xyyxxyx，00001|12,1,2x xyxyx ，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)yx，即2yx.故答案为：2yx.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础
17、题.16【答案】), e 【解析】【详解】若对任意实数1x，都存在正数2x，使得21()()g xf x成立，得 f x的值域是( )g x值域的子集； ,xxfxf xe在()0，上递增，在(0)，上递减， 01f,x 时， 0fx ； xfx ， 1f x； 21alnxgxx，当0a 时，( )g x在(0, ) e上递增，在( ,)e 上递减， ,( ),1aaag eg xaeeee ;当0a 时，( )g x在(0, ) e上递减，在( ,)e 上递增，( )ag xe，不符合题意舍去，故a的取值范围是), e .【点睛】双变量一个任意，一个存在的问题，转化为值域包含的问题，主要是
18、求两个函数的值域，再转化为两个集合的子集问题即得解三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤明，证明过程或演算步骤17.（12 分） 【答案【答案】 （）； （）3.【分析】 （I）将( )f x化简整理成( )sin()f xAx的形式，利用公式2|T可求最小正周期；（II）根据,3xm ，可求26x的范围，结合函数图象的性质，可得参数m的取值范围.【详解】 （） 1 cos233111sin2sin2cos2sin 22222262xf
19、xxxxx，所以 f x的最小正周期为22T .（）由（）知 1sin 262fxx.因为,3xm ，所以52,2666xm .要使得 f x在,3m上的最大值为32，即sin 26x在,3m上的最大值为 1.所以262m，即3m.所以m的最小值为3.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.18 【答案【答案】 （）227nan ； （）2328nn.【详解】(1)设an的公差为 d.由题意，a112a1a13，即(a110d)2a1(a112d)，于是 d(2a125d)0.又 a1
20、25，所以 d0(舍去)，或 d2.故 an2n27.(2)令 Sna1a4a7a3n2.由(1)知 a3n26n31，故a3n2是首项为 25，公差为6 的等差数列从而 Sn2n(a1a3n2)2n(6n56)3n228n.19 （12 分） 【答案】【答案】条件选择见解析， （1）2nna ； （2）1nnTn.【分析】若选条件.（1）令1n ，可得212aa，令2n ，可得2322aa，依次类推可得：112nnnaa，将这一系列等式求和可得：21122222nnnaa.其中12a ，故可得2nna .（2）由（1）得，22loglog 2nnnban，则有1111111nnb bn nn
21、n，则其前n项和为：11111111122311nTnnn 1nn若选条件.由条件13 2nnnaa ，得1213 2nnnaa ，则公比12113 223 2nnnnnnaaqaa，令1n ，可得213 2aa ，即1126aa，所以12a ，从而有12 22nnna.（2）由（1）得，22loglog 2nnnban，则有1111111nnb bn nnn，则其前n项和为：11111111122311nTnnn 1nn.【点睛】本题主要靠查了由递推公式求数列的通项公式，采用累加法考查了裂项相消求和，属于中档题.（12 分）20.【答案】 （1）； （2）【解析】 （1）由于与平行，-2 分
22、，-4 分，.-6分（2），-8 分， -10分，.-12 分21.（12 分）【答案【答案】（）时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点（）211be【详解】试题分析： （）显然函数的定义域为0,.因为( )1 ln ()f xaxx aR ，所以，当时，( )0fx在上恒成立，函数在单调递减，在上没有极值点；当时，由( )0fx得10 xa，由( )0fx得1xa，在1(0, )a上递减，在1( ,)a上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点（）函数在处取得极值，由（）结论知，令，所以2221ln1ln2( )xxxxg xxxx ，令( )0g x可得在上递减，令
23、( )0g x可得在上递增，即211be.考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.22.（10 分）【解析】(1)=2cos 等价于2=2cos . -2 分将2=x2+y2,cos =x 代入即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.-5分（2）将代入,得 t2+5t+18=0.-7 分设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.-10 分
