1、南平市 20212022 学年第一学期高二年级期末质量检测数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分1C2B3B4A5A6D7A8D二、多项选择题：本大题共 4 小题
2、，每小题 5 分，满分 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9B D10B CD11A B12A B D三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 20 分13514215916189四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）解: （1）圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，故可设圆C的圆心坐标为C(a,0) ，1 分其中a0，且半径r=a2 分又圆C与直线 3x 4y+ 2 = 0 相切，|3a02|+=3 + 422a
3、，4 分解得a=1或1a= （舍去），4(x1)2+y2=15分 故圆C的标准方程为（2）直线l过点(1， 2)，设直线l方程为y2 =k(x1)，6 分即kxy+ 2k= 0直线l与圆C有公共点，圆心到直线的距离d2=1k+12，8 分解得：k3或k 3 10 分高二期末数学参考答案 第 1 页（共 8 页）18. （本小题满分 12 分）S=n.2解（1）方案一：选条件：n当n=1时，a1=s=1.1 分1当n2时，a=ss=n2n=n4 分(1)221nnn1又当n=1时,a=符合上式， 5 分11=6 分an2n1方案二：选条件 ：点(an,an+1)在直线y=x+2上，且35a=，a
4、+1=a+2，nn即an+1an= 2，2 分为等差数列，公差d= 2，4 分anan=a3+(n3)2 = 2n1.6 分方案三：选条件公差为正数的等差数列a+成等比数a中，a=且42n12列.设等差数列a的公差为d(d0)，依题意，得a= 且a2a（a+2）35214n(5- )(5-2 )(7+ ), 解得d= 2或d=5（舍去），ddd2d= 2，4 分an=a3+(n3)2 = 2n1.6 分（2）1，2211b=naa+nnnn+ .7 分(21) (21)2121nn1T=+b+nbbn12高二期末数学参考答案 第 2 页（共 8 页）1111111= ( )+( )+() =1
5、，9 分13352n12n+12n+110，2n+1111.10 分2n+1数列b的前n项和Tnm对任意的正整数n恒成立，nm1，11 分m的最小值为 112 分19（本小题满分 12 分）解：（1）因为a=3，所以f(x) = 3x39x+1，f(x) =9x29， 1 分所以，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；所以f(x)在(,1)和(1,+)单调递增，在(1,1)单调递减， 3 分所以f(x)的极大值为f(1) = 7，f(x)的极小值为f(1) = 5. 5 分（2）f(x)=3ax29=3(ax23)， 6 分当a0时，f(x) =3(ax23)0恒成立，f(x)在
6、R上单调递减，f(x)至多一个零点，不合题意； 7 分当a0时，令f(x) = 0，则x3=， 8 分a所以，当x3或ax3时，f(x)0；当a33x时，aaf(x)0；3333所以f(x)在（， ）和（， +）单调递减，aaaa单调递增，在（， ） 9 分高二期末数学参考答案 第 3 页（共 8 页）33所以f(x)的极大值为f() = 6+1，aa33f(x)的极小值为f() = 6+1. 10 分aa又f(x)恰有三个零点，所以+3610，a11 分3 +610，a解得0a108综上，a的取值范围为0a108 12 分20（本小题满分 12 分）证明：（1）如图，取AC中点D，连接OD、
7、BD，因为OA=OC=2，所以ODAC，1 分又OAOC，OO1所以AC=2，OD=AC=12E E因为AB=BC= 2，所以BDADC CA AD D又因为1AD=AC=，又OB=2，所以BD=3，12所以OD2+BD2=OB2，B B所以ODBD.3 分又AC，所以OD平面ABC， 5 分又因为OD平面OAC，所以平面OAC平面ABC.6 分高二期末数学参考答案 第 4 页（共 8 页）（2）由（1）可得DO、DA、DB两两垂直，以D为原点，分别以DA、DB、DO为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图.则A(1,0,0)，B(0, 3,0)，C(1,0,0)，O(0,0,1)
8、，E11,0,22，8 分所以AB=(1,3,0)，EB=, 3,1，22z zOO设n=(x,y,z)为平面EAB的法向量，E E +=x3y0，则11x+3yz= 0.22x xA AD DC CB By y令y=1，则x=3，z=3 3所以n=(3,1,3 3)是平面EAB的一个法向量，10 分由（1）知DO=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，11 分设平面ABC与平面EAB所成角为，则33 93cos= cosn,DO=3131故平面ABC与平面EAB夹角的余弦值为3 933112 分21（本小题满分 12 分）（1）证明：由圆x2+y2+2x15=0可得，圆心为，半径为 4，E
9、Q/ /PC，PCD=EQD，又|PD|=|CP|，PCD=PDC，高二期末数学参考答案 第 5 页（共 8 页）EQD=PCD=PDC，|EQ|=|ED|，2 分|EP|+|EQ|=|EP|+|ED|=|PD|= 4，则|EP|+|EQ|= 4，3 分点E的轨迹是以P(1,0)，Q(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆，4 分故点E的轨迹的方程为xy22+=1(y0)；5 分43（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1.33此时点M的坐标是，点N的坐标是1,1,22.13所以直线AM的方程是y=(x+)，直线BN的方程是()2y=x2.22所以直线AM，BN的交点K的坐标是(4,3
10、).所以点K在直线x= 4上. 6 分当直线l的斜率存在时，设斜率为k.所以直线l的方程为y=k(x1).=()yk x1 ，联立方程组xy22+=1，43消去y，整理得()3+4k2x8k2x+4k212 = 0.显然0.不妨设M(x y)，()1,12,2N xy，所以28kx+x=1223+4k，4k122xx=12+234k.7 分y因为直线AM的方程是()y=1x+2因为直线AM的方程是()x+21，高二期末数学参考答案 第 6 页（共 8 页）=+=y6y()yx2 ,y11+x2x2由得11=x4.x4.,6y即AM与x=4的交点1=1K4,，8 分x+212y同理可得BN与x=
11、4的交点=4,2K2x22，9 分因为6y2y6k x12k x1()()12=12x+2x2x+2x21212=6k x1x2 2k x+2x1()()()()()()()()1212(x+2)(x2)12，10 分因为()()()()6k x1x2 2k x+2x11212=+()2k3x xx2x2x xx2x22k2x x5xx8() ()=+122112121212()2 4125 8k2k2= 2k+834k34k+2+2= 2k(8+8)= 0，11 分所以K1与K2重合，即直线AM、BN的交点K在直线x= 4上12 分22（本小题满分 12 分）【解析】（1）f(x) = ex
12、2+cosx1 分令h(x) =f(x)，则h(0)=0且( )esinhx=xx，2 分x(0， +)，h(x) = exsinx1sinx0，所以h(x)h(0) = 0，即f(x)0，所以f(x)在(0， +)的单调递增，3 分高二期末数学参考答案 第 7 页（共 8 页）x(，f(x) = ex2+cosxcosx10，0)所以f(x)在(， 0)单调递减.4 分所以f(x)的单调递减区间为(， 0)，f(x)的单调递增区间为(0， +)5 分（2）设F(x) =f(x)g(x) = ex2x+sinx2ax21，且F(0) = 0，6 分Fx=+xax，令G(x) =F(x)，( )
13、esin4( )excos42Gx=xa，x令H(x) =G(x)，H(x) =excosx1cosx0，所以G(x)在0， +)上单调递增，8 分1若a，G(x)G(0) =14a0，所以F(x)在0， +)上单调递增，4所以F(x)F(0) = 0，所以F(x)F(0) = 0恒成立. 9 分1若a，G(0) =14a0，4G(ln(a+=a+a+a=a+，10 分42)42sin(42)42sin(42)0所以存在x(0， ln(42)，使G()0，且0a+x0=0a+x0=x，x，G(x)0，(0)0所以G(x)在(0，x)单调递减，即F(x)在(0，x)单调递减，所以00 x(0，x)时，0F(x)F) = 0，所以F(x)F(0) = 0，不合题意.(01综上，a. 12 分4高二期末数学参考答案 第 8 页（共 8 页）
