1、第二章 一些流体力学基本概念Lecture 2 Fundamental concepts in fluid dynamicslim ()VmV lim ()Vv mum 连续介质方法连续介质方法当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时，可用统计平场的方法定义场变量如下： 在微观上充分大，宏观上充分小。2.0 连续介质假说连续介质假说 及及 标量和矢量，涡度和散度标量和矢量，涡度和散度把流体看作连续介质，而忽略分子的存在，假设场变量（速度、密度、压强等）在连续介质的每一点都有唯一确定的值，连续介质遵守质量、动量和能量守恒定律。从而推导出
2、场变量的微分方程组。流体力学采用连续介质的方法31Ln连续介质方法的适用条件连续介质方法的适用条件n为单位体积的分子数（特征微观尺度是分子自由程），L为最小宏观尺度。在通常温度和压强下，边长2微米的立方体中大约包含2108个气体分子或21011液体分子；在日常生活和工程中，绝大多数场合均满足上述条件，连续介质方法无论对气体和液体都适用。l 火箭穿越大气层边缘，此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；l 研究激波结构，此时宏观特征尺度接近微观特征尺度。连续介质方法失效场合连续介质方法失效场合l 杭建杭建,林贞彬,郭大华,林建民,曾明,黄德,葛学真. 高焓风洞中钝体近尾流红外辐射测试技术. 实验流体力学
3、, 2005, 19(4):69-73. (EI 期刊) l 林贞彬, 黄德,杭建杭建, 林建民,郭大华,曾明,葛学真. 高超声速钝锥流场红外辐射实验研究.力学学报,2006, 38(4):446-451. (SCI/EI 期刊)l 高冰,杭建杭建,林贞彬,郭大华,林建民. 高温真实气体效应中催化效应对气动热影响的实验探索. 流体力学实验与测量, 2004, 18(2): 55-64.(EI 期刊) l 曾明, 杭建杭建, 林贞彬, 瞿章华.不同热化学非平衡模型对高超声速喷管流场影响的数值分析. 空气动力学学报, 2006, 24 (3), 346-349. (EI 期刊)激波结构经过激波，气
4、体的压强、密度、温度都会突然升高，流速则突然下降。 流体质点流体质点流体质点是流体力学研究的最小单元。当讨论流体速度、密度等变量时，实际上是指流体质点的速度和密度。由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。 2.2 场论: 标量 ，矢量Scalar 标量 没有方向, 只有大小 (T, P, , E): f=f (x, y, z, t)Vector 矢量 有方向(速度场、力场、电磁场等）标量f的梯度 为矢量 : zkyjxiffffkajaiatzyxaazyx),(笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系压力梯度 1231232 33 23 11
5、 31 22 1()()()sinijkabaaacbbba ba b ia babjaba b kabab0aa1 12 23 3cos,cos =0a baba ba bababa bab若则ababc22FVV Coriolis force 科氏力 (方向永远与速度方向垂直)科氏力 不做功,只改变运动方向VFVF哈密顿算子哈密顿算子一个具有微分及矢量双重运算的算子zkyjxi标量f的梯度 为矢量 : zkyjxiffff例题2. 分别写出 在直角坐标下的表达式.aa,ffijkxyzffff222222)(zyxxxiifffffyxzaaaaxyz()()()xyzyyxxzzijka
6、xyzaaaaaaaaaijkyzzxxy解: 梯度梯度(gradient) 压力梯度, 温度梯度, 密度梯度: 其方向为压力变化最快的方向）nnkzjyixxexeiiiifffffff)(标量(P, T) 的梯度为矢量P=p1P=p2n0fzyxzyxkjifff0dlfor 标量梯度场为有(位)势场(例压力梯度场), 为无旋场, 其涡度为0 或沿回线的环量(circulation)为0散度散度(divergence) 奥高定理奥高定理：矢量A的散度对一体积单元V的积分，为该矢量通过该体积元界面S的通量。 矢量的散度为标量zayaxaxaeaxeAzyxiijjiidVAdSnAVolSS
7、dSAn 速度的散度，即为，流体微团体积的相对变化率. 体积膨胀, 0 V若垂直速度为0， 流体运动变为二维：反之为水平辐合气象学上为水平辐散 , 0yvxuVh ( , , , )uu x y z t( , , , )x y z t欧拉参考系欧拉参考系当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。独立变量x, y, z, t2.3 欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系14 Joseph-Louis LagrangeBorn: 25 Jan 1736 in Turin, Sardinia-Piedmont (now Italy)Died: 10
8、 April 1813 in Paris, France15Born: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, RussiaLeonhard Euler000(, )rr xyz t拉格朗日参考系拉格朗日参考系着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动，即它的位置随时间变化，式中x0, y0, z0 是 t =t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。独立变量x0, y0, z0, t。x, y, z 不再是独立变量，x - x0 = u ( t - t0), y - y0 = v (t -
9、t0), z - z0 = w (t - t0), T =T(x0, y0, z0, t), =(x0, y0, z0, t)。用x0, y0, z0来区分不同的流体质点，而用t来确定流体质点的不同空间位置。通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式系统系统某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边某一确定流体质点集合的总体。随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。界上没有质量交换；始终由同
10、一些流体质点组成。在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组控制体控制体流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流流场中某一确定的空间区域，其边界称控制面。流体可以通过控制面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。为了在欧拉参考系中推导控制方程，通常把注意力集中在通过控制体的流体上，应用质量、动量和能量守恒定律于这些流体，即可得到欧拉参考系中的基本方程组。系统和控制体系统和控制体 Eulerian 方法常用于流场求解方法常用于流场求解 fo
11、r solution（指定空间流场为对象）（指定空间流场为对象） Lagrangian 方法方法 常用于流动分析和方程常用于流动分析和方程推导推导(以以air parcel流体微元为对象）流体微元为对象）, 应用应用牛顿定律和热力学定律牛顿定律和热力学定律DtDDtD物质物质导数（导数（拉格朗日参考系）流体质点的物理量随时间的变化率。物质导数又称质点导数，随体导数。设场变量 ，则 表示某一流体质点的 随时间的变化，即一个观察者随同流体一起运动，并且一直盯着某一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。 是拉格朗日参考系下的时间导数。),(tzyxuuzyxtu,欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉
12、和拉格朗日参考系中的时间导数当地导数（欧拉参考系）：某一空间点上的流体速度变化，称当地导数或局部导数。kkxutxuxuxutDtD332211DuuvwDtttxyzzwyvxuzkyjxikwjviuu DtDt u上式对流导数，把拉格朗日和欧拉参考系中的物质导数和当地导数联系起来。上式对流导数，把拉格朗日和欧拉参考系中的物质导数和当地导数联系起来。称对流导数或位变导数，流体物性随空间坐标变化而变化，当流体质点空间位置随时间变化时，在流动过程中会取不同的 值，因此也会引起 的改变。欧拉时间导数，称局部导数或就地导数，表示空间某一点流体物理量随时间的变化；物质导数；矢量和张量形式的物质导数矢
13、量和张量形式的物质导数物质物质(全全 or 随体随体)导数导数 与当地（偏）导数的关系与当地（偏）导数的关系2.2惯性坐标系下连续方程 和动量方程2223连续方程的欧拉形式连续方程的欧拉形式: 质量守恒质量守恒 当地流体质量的变化当地流体质量的变化,决定于流入流出量决定于流入流出量uEuW连续方程的欧拉形式连续方程的欧拉形式连续方程的连续方程的 Lagrangian 形式形式: 意义为质量守恒意义为质量守恒流体微元的质量不变流体微元的质量不变, 密度变化决定于体积变化密度变化决定于体积变化0/dtdMFor incompressible fluid (不可压缩流体)， d/dt=0, =con
14、stant 1 dVdt 0dVdt 0, , 0dVdt 散度体积膨胀 密度减小0V Eulerian and Lagrangian types are connected 惯性坐标系中的流体力学方程 遵循牛顿第二定律28For momentum, F=ma=m dV/dt()()ijuuupgt ijijijijpFdtVd;.dSdxdydzFdxdydzVdtdVolSijVolVolijSijdxdydzdSgpuuutij)()()()()()()()()()()()ijijiijijxyxxxzyxyyyzzyzxpuu ugtxxxuuvuwuputxyzxxyzuvvvwvp
15、vtxyzyxyzuwvwwwpwtxyzzxy zzgz气压梯度力为面积力, 方向与等压面垂直，从高压到低压体积力 （垂直向下, 指向地心）Stress 应力 为面积力31压力梯度力 (帕斯卡定律)32泰勒展开333435粘性力36惯性坐标系中, 动量方程中, 没有科氏力项gpuuutij)()(Lecture 3 Rotation effect in geophysical fluid dynamics 第三章 地流的旋转效应对流动方程的影响Motion of sea and atmosphere are large scale. Monitor data are from rotatin
16、g coordinate Frames. Rotation effect is significant.地球上的大气和海洋运动以及监测站数据等均为相对于地球的运动 39A40=0 i+ cos f j + sin f kVector A in rotating coordinate FramesTheorem: Consider a vector fixed in a frame which is rotating with constant angular velocity. The rate of change of this vector isSubscript I denotes in
17、ertial coordinate frame (绝对, 惯性坐标系）Subscript R denotes rotating coordinate frame （相对，非惯性坐标系）相对、非惯性参考系绝对速度绝对速度=相对速度相对速度+牵连速度牵连速度离心加速度V2Coriolis acceleration 科氏加速度)/(/ )(/ )(dtrdrdtddtrd加速度分析加速度分析离心加速度rggGThe centrifugal acceleration produces a small adjustment to the true gravitational acceleration G
18、grgHow much the centrifugal acceleration?赤道地区轻赤道地区轻, 可赚差价可赚差价Momentum equation in the Earths rotating coordinate frameCoriolis forceRVpdtVdFg2/旋转坐标系中, 动量方程中, 出现科氏力项Forces 流体元的作用力F=m a惯性力(inertial force U2)压力差压力差 (Pressure difference) 科氏力 (Coriolis force)-地球自转地球自转重力 (Gravity force) 密度/温度差 (density/te
19、mperature)摩擦力 (friction force)-流体粘性 viscosity()()2VVVpVgt Vp21垂直方向的静力学平衡50Hydrostatic balance for fluid at rest (静力平衡)For a fluid at rest, the pressure at a point depends on the weight of fluid vertically above that point. The pressure difference between two points on the same vertical line depends
20、only on the weight of fluid between them.0mgVolzpRVpdtVdFg2/gzp静压平衡 是垂直动量(z)方程中得来重力项只出现在 垂直方向 (z)()()()()()()()()()()ijijiijijxyxxxzyxyyyzzyzxpuu ugtxxxuuvuwuputxyzxxyzuvvvwvpvtxyzyxyzuwvwwwpwtxyzzxy zzgzFor fluid at rest 静止的流体静止的流体, Hydrostatic equation，垂直运动很小时，也近似成立，垂直运动很小时，也近似成立运动时，静力平衡近似也相当精确 Fo
21、r the large scale motions of the atmosphere and ocean, hydrostatic balance holds to a high degree of accuracy. 静力平衡是指大气中垂直方向的气压梯度力和重力的平衡。大气既有水平运动，也有垂直运动，一般情况下垂直运动的加速度比重力加速度小得多而可忽略，可认为每一薄层大气受到的重力与垂直方向的气体压力（气压梯度力）相平衡，即处于静力平衡状态。静力学关系在大气静止或匀速垂直运动时是完全正确的，在实际大气中，除去垂直运动强烈的积云环流外，它也能成立，故得到广泛应用。当水平尺度很小时（例如L10m)，静力平衡可能不再是一个可靠的近似55565758596061626364656667686970717273
