1、 一般为斜直线水平线抛物 线下凸有极值为零处有尖角(向下）有突变(突变值= FP)有极值变号无变化 有突变（突变 值=M剪力图弯矩图 梁上 情况无外力均布力作用 (q向下)集中力作用处(FP向下)集中力 偶M作用处铰处 无影响为零斜直线 剪力图与弯矩图之间的关系2-1 梁的弯曲微分方程式及其通解1.梁的弯曲微分方程式 梁的弯曲理论的基本内容在材料力学中已经阐梁的弯曲理论的基本内容在材料力学中已经阐明，本节在此基础上作一些补充，以满足船舶结明，本节在此基础上作一些补充，以满足船舶结构计算的需要。构计算的需要。 现考虑一单跨直梁现考虑一单跨直梁)(xqxxdxyov规定梁向下挠度为正，顺时针方向转
2、角为正图2.1 从梁中取出微段从梁中取出微段 dx ，将其放大后如下图所示。，将其放大后如下图所示。在图示坐标系下，规定左截面上的弯距逆时针方在图示坐标系下，规定左截面上的弯距逆时针方向为正，右截面上的弯距顺时针方向为正；左截向为正，右截面上的弯距顺时针方向为正；左截面上剪力向下为正，右截面上剪力向上为正。载面上剪力向下为正，右截面上剪力向上为正。载荷向下为正。荷向下为正。NxMdNN qdMM y图2.2 梁本身处于平衡状态，所以取出的微段也应处梁本身处于平衡状态，所以取出的微段也应处于平衡状态。根据微段的平衡条件得到：于平衡状态。根据微段的平衡条件得到：00MYEIM1NdxdMqdxdN
3、vdxvd 221 对于梁的纯弯曲，有下式：对于梁的纯弯曲，有下式：（21）（24）（23）（22）qEIvNvEIMvEIIV 利用式（利用式（21）（）（24），就可得到梁的弯），就可得到梁的弯曲微分方程式：曲微分方程式：（25）（26）（27） 式（式（27）就是等截面直梁的弯曲微分方程式。）就是等截面直梁的弯曲微分方程式。4322310 0 0 032210 0 0210 0101216111211CxCEIxCEIxCEIqdxdxdxdxEIvCxCEIxCEIqdxdxdxEIvMCxCqdxdxvEINCqdxvEIx x x xx x xx xx 2.梁的弯曲微分方程式的通解
4、，初参数法 式（式（27）是简单的常微分方程，逐次积分可）是简单的常微分方程，逐次积分可得到：得到：（a）（b）（c）（d）0 xNMv 我们把梁的弯矩我们把梁的弯矩 、剪力、剪力 、横截面转角、横截面转角 及挠及挠度度 称为梁的弯曲要素。梁左端的弯曲要素称为初始称为梁的弯曲要素。梁左端的弯曲要素称为初始弯曲要素，或简称为初参数。当弯曲要素，或简称为初参数。当时，由式时，由式(a)、(b)、 (c)、 (d)可得出：可得出：,04030201vCCMCNC式中式中 是积分常数，式（是积分常数，式（d）就是微分）就是微分方程式（方程式（27）的通解）的通解4321,CCCC可见，积分常数可见，积
5、分常数 就是梁的初参数。就是梁的初参数。于是通解式（于是通解式（d）可用梁的初参数表示为：）可用梁的初参数表示为：4321,CCCCx x x xqdxdxdxdxEIxNEIxMEIxvv0 0 0 030200016121（e）3020006121xNEIxMEIxvv (1)等号右边的四项表示由初参数引起的挠度，最后等号右边的四项表示由初参数引起的挠度，最后一项表示由分布载荷引起的挠度。一项表示由分布载荷引起的挠度。(2)如果没有分布载荷如果没有分布载荷项，上式变为：项，上式变为：（2-8）这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。 讨论：讨论：（1）集中
6、力作用下的梁）集中力作用下的梁。pblxyx3020006121xNEIxMEIxvv 将梁分成两段：将梁分成两段：bx 0lxb为第一段，为第一段，p为第二段，并把集中力为第二段，并把集中力 看作是作用在第二段的初始点。看作是作用在第二段的初始点。于是对于第一段，梁的挠曲线可写为于是对于第一段，梁的挠曲线可写为：第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力，第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力，这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为正。所这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为正。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与P有
7、有关的项：关的项：EIxP63此处此处 为自第二段开始算起的坐标为自第二段开始算起的坐标bxxxbx b再在再在 加符号加符号 ，表示此项在，表示此项在 EIxP63时才起作用，于是得到梁的挠曲线为时才起作用，于是得到梁的挠曲线为:EIbxmxNEIxMEIxvvb2)(61212302000 同理：同理：（2）在集中弯距作用下的梁）在集中弯距作用下的梁。blxyxmEIbxpxNEIxMEIxvvb6)(61213302000图2.3（2-9）（2-10） 同理：（同理：（3）在任意分布载荷作用下的梁。）在任意分布载荷作用下的梁。blxyxq(x) dEIxqxNEIxMEIxvvxbb6)
8、(61213302000图2.4（2-11） 综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为：综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为： dEIxqbxpEIxNEIaxmEIxMEIxvvxccba6)(61612121333022000blxyxq(x)caPm图2.5（2-12）（2-12）式为等截面直梁的挠曲线通用方程式）式为等截面直梁的挠曲线通用方程式 。以上寻。以上寻求梁挠曲线通用方程式的方法称为初参数法。求梁挠曲线通用方程式的方法称为初参数法。2-2 梁的支座和边界条件1.梁的支座及相应的边界条件 （1）自由支持在刚性支座上）自由支持在刚性支座上边界条件为:0vv 0图2.6活
9、动铰支座固定铰支座 （2）刚性固定在刚性支座上，刚固端）刚性固定在刚性支座上，刚固端0vv 0边界条件为: （3）弹性支座）弹性支座vvEIxyP图2.7图2.8 所谓弹性支座，在受到作用载荷所谓弹性支座，在受到作用载荷P后将产生一个正比后将产生一个正比于力于力P的挠度的挠度v，存在如下关系，存在如下关系KPvAPv,式中式中A是弹性支座的柔性系数；是弹性支座的柔性系数；K是弹性支座的刚性系是弹性支座的刚性系数。数。A与与K互为倒数。互为倒数。 梁两端所受到的支座反力（剪力）梁两端所受到的支座反力（剪力）R都是向上的，都是向上的，根据上一节剪力符号的规定，梁右端的剪力为正，左端根据上一节剪力符
10、号的规定，梁右端的剪力为正，左端剪力为负。由剪力与挠度的关系式，代入上式得到：剪力为负。由剪力与挠度的关系式，代入上式得到：NvEI vAEI vvAEI v梁右端截面梁左端截面 由此，得到自由支持在弹性支座上梁端的边界条由此，得到自由支持在弹性支座上梁端的边界条件为件为:vAEIvv 0, 讨论：刚性系数为讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为时，和柔性系数为0时各时各代表哪种边界条件？代表哪种边界条件？ （4）弹性固定端）弹性固定端 所谓弹性固定端。在受梁端力矩所谓弹性固定端。在受梁端力矩M作用后产作用后产生一个正比于力矩生一个正比于力矩M的转角的转角 ，即存在如下关，即存在如下关系：系：KM
11、,MA或式中式中A 是弹性固定端的柔性系数；是弹性固定端的柔性系数；K 是弹性固定端的是弹性固定端的刚性系数，显然刚性系数，显然A 与与K 互为倒数。互为倒数。xyAAEIMM图2.9vEIAv0v , vAEIv 梁右端截面vEIAv 梁左端截面 梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根据梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根据上节弯距正负号的规定，他们均为正。由转角上节弯距正负号的规定，他们均为正。由转角的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯距的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯距与挠度之间的微分关系：与挠度之间的微分关系：EIv,将其代入将其代入式（式（2-14）得）得 这就是弹性固定端得边
12、界条件。由此可得弹这就是弹性固定端得边界条件。由此可得弹性固定在刚性支座上梁端的边界条件：性固定在刚性支座上梁端的边界条件： 讨论：刚性系数为讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为时，和柔性系数为0时各时各代表哪种边界条件？代表哪种边界条件？xyAAEIy图2.10图2.112.挠曲线通用方程式的应用例例1:1:求图求图2.122.12所示的挠曲线方程及左右端处的转角。所示的挠曲线方程及左右端处的转角。xyAEIm图2.12l 当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边界条件都应当把他们考虑在内。对于给定已知界条件都应当把他们考虑在内。对于给定已知挠度或转角，在写边界
13、条件时，也应把他们考挠度或转角，在写边界条件时，也应把他们考虑在内。虑在内。 有了边界条件，就可以应用挠曲线通用有了边界条件，就可以应用挠曲线通用方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要素。素。 解：从图中可以看出，除了在梁的右端有解：从图中可以看出，除了在梁的右端有一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式（一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式（2-2-8 8）得：）得：3020006121xNEIxMEIxvvlNMmlNEIlMEIl003020061210mvEIvlx , 00000MAv 根据梁右端的边界条件：根据梁右端的边界条件： 将两端的边界条
14、件代入到上式得：将两端的边界条件代入到上式得： 4 4个未知数，要列个未知数，要列4 4个平衡方程：个平衡方程： 根据梁左端的边界条件：根据梁左端的边界条件：000, 0MAvxx（a） 从而解得：从而解得：lEIAmlEIANlEIAmM31221331200 将其带入到通用挠曲线方程式（将其带入到通用挠曲线方程式（a a）从而得到梁）从而得到梁的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。从的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。从而可以计算梁左端和右端的转角。而可以计算梁左端和右端的转角。 梁的挠曲线方程为：梁的挠曲线方程为：EIlxlEIAEIxxAlEIAmv221231232 梁的转角方
15、程为：梁的转角方程为：EIlxlEIAEIxAlEIAmv22133122 梁的左端转角为：梁的左端转角为：lEIAmAx3120 梁的右端转角为：梁的右端转角为：EIlEIAmllEIAlx43141 当当A A 时，实际上就是固定铰支座时，实际上就是固定铰支座mx图2.13myEIlEImlx60EImllx3当当A A 0 0时，就是固定端。时，就是固定端。mxyEI图2.14l00 xEImllx4例例2:2:求图求图2.152.15所示的梁的挠曲线方程所示的梁的挠曲线方程qABlxy 解：从图中可以看出，本梁只受到均布载解：从图中可以看出，本梁只受到均布载荷荷q q的作用。由式（的作
16、用。由式（2-112-11）得：）得：EIqxxNEIxMEIxvv2461214302000dxdxdxdxEIqxNEIxMEIxvvx x x x0 0 0 03020006121图2.15 4 4个未知数，要列个未知数，要列4 4个平衡方程：个平衡方程： 根据梁右端的边界条件：根据梁右端的边界条件： 将两端的边界条件代入到上式得：将两端的边界条件代入到上式得： 根据梁左端的边界条件：根据梁左端的边界条件：0, 00 vEIvx0, 0 lxlxvEIv0211024612101040043020000000 EIqllNEIMEIvEIEIqllNEIlMEIlvvMEIvEIvvlx
17、lxxx20qlN 又：又： 从而解得：从而解得：EIql2430EIqxxEIqlxEIqlv241224433例例3:3:求图求图2.162.16所示的梁的挠曲线方程所示的梁的挠曲线方程xyAEIm图2.16l/2l/2P 左端弹性固定端柔性系数左端弹性固定端柔性系数， 右端弹性支右端弹性支座柔性系数座柔性系数EIl 3EIlA483 解：从图中可以看出，本梁只受到集中载解：从图中可以看出，本梁只受到集中载荷荷P P的作用。由式（的作用。由式（2-92-9）得：）得：EIlxPEIxPEIxMxvvl626232/302000vAEIvv , 0 4 4个未知数，要列个未知数，要列4 4个
18、平衡方程：个平衡方程： 根据梁右端的边界条件：根据梁右端的边界条件： 根据梁左端的边界条件：根据梁左端的边界条件：0, 0MvPlNPlM3320,66700 解得：解得：32/3232133202273376lxlxlxlxEIPlvl2-3 梁的弯曲要素表及其应用 从上节看出，利用梁的挠曲线通用方程式及边从上节看出，利用梁的挠曲线通用方程式及边界条件可以确定各种单跨梁的挠曲线方程，从而界条件可以确定各种单跨梁的挠曲线方程，从而进一步确定梁的弯曲要素。在教材附录进一步确定梁的弯曲要素。在教材附录A A中给出中给出了各种边界条件下梁的弯曲要素表。了各种边界条件下梁的弯曲要素表。 目前我们考虑的
19、弯曲公式是在小变形及材料目前我们考虑的弯曲公式是在小变形及材料符合虎克定律的前提下推导的，所以梁的弯曲要符合虎克定律的前提下推导的，所以梁的弯曲要素与梁上的外力成线性关系，从而可以采用叠加素与梁上的外力成线性关系，从而可以采用叠加原理计算单跨梁上同时受到几种不同外载荷作用原理计算单跨梁上同时受到几种不同外载荷作用下的弯曲要素。下的弯曲要素。 由附录由附录A A可见，各种弯曲要素表的详细程度不可见，各种弯曲要素表的详细程度不相同，其中两端自由支持梁的弯曲要素表最详细。相同，其中两端自由支持梁的弯曲要素表最详细。此外，各种弯曲要素表中的载荷种类也不尽相同。此外，各种弯曲要素表中的载荷种类也不尽相同
20、。因此，当利用这些弯曲要素表及叠加原理来确定因此，当利用这些弯曲要素表及叠加原理来确定某一特定单跨梁的弯曲要素时，还存在一些技巧。某一特定单跨梁的弯曲要素时，还存在一些技巧。下面举例进行说明。下面举例进行说明。例例1:1:求图求图2.172.17所示的梁的中点挠度，右端转角，并所示的梁的中点挠度，右端转角，并作出梁的剪力图和弯距图。作出梁的剪力图和弯距图。qABl2l3qlP 图2.17 解：使用叠加法，将受到分布载荷和集中解：使用叠加法，将受到分布载荷和集中载荷的单跨梁载荷的单跨梁ABAB，拆开为单独受到均布载荷和，拆开为单独受到均布载荷和集中载荷的两根单跨梁，如图（集中载荷的两根单跨梁，如
21、图（a a）和（）和（b b）所）所示：示：ABl2l3qlP qABl图2.17a图2.17b (1)(1)计算中点挠度。从附录表计算中点挠度。从附录表A A3 3中的中的1 1和和2 2很容易计算得到每根梁中点的挠度得：很容易计算得到每根梁中点的挠度得：EIqlEIqlEIlqlvEIqlvEIlqlEIPlvlxlxlx230419768476837192,768377687332232222叠加后：分布载荷作用：集中载荷作用： 从附录表从附录表A-3A-3中，利用叠加原理可以得到中，利用叠加原理可以得到右支座反力和固定端弯距的大小。右支座反力和固定端弯距的大小。 (2) (2)计算右端
22、转角。附录表计算右端转角。附录表A-3A-3中并没有给中并没有给出右端转角。但是附录表出右端转角。但是附录表A-2A-2给出了两端自由给出了两端自由支持梁在各种载荷下的弯曲要素。这样，我们支持梁在各种载荷下的弯曲要素。这样，我们就可以将图就可以将图2-172-17等效为两端自由支持梁分别等效为两端自由支持梁分别受到集中力、分布载荷和集中力矩来处理。受到集中力、分布载荷和集中力矩来处理。qBl2l3qlP MRb=5P/16+3ql/8=23ql/48Ma=ql2/8+3pl/16=ql2/8+ql2/16=3ql2/16图2.17cBl2l3qlP qBl2lMBl2lM图2.17d图2.17
23、e图2.17f 查附录表查附录表A-2A-2，应用叠加原理很容易就算得到，应用叠加原理很容易就算得到梁右端的转角为；梁右端的转角为；EIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIPllxlxlxlx323224483224,481633333332321叠加后：集中力矩载荷作用：分布载荷作用：集中载荷作用： (3)(3)画弯距图和剪力图。有两种途径，一种画弯距图和剪力图。有两种途径，一种是根据附录表是根据附录表A-3A-3中的弯距图和剪力图直接叠中的弯距图和剪力图直接叠加；另外一种是根据图加；另外一种是根据图2-17d2-17d、2-17e2-17e、2-17f2-17f采用附录
24、表采用附录表A-2A-2中的弯距剪力图叠加得到。中的弯距剪力图叠加得到。ABl2l3qlP qABl 剪力和弯距为0时的x坐标值一定要计算准确；是竖标相加,不是图形的简单拼合.例例2:2:计算下图所示的两端刚性固定梁的弯曲要素计算下图所示的两端刚性固定梁的弯曲要素xyl/2l/2Pyl/2l/2mx例例3:3:计算下图所示的一端弹性固定，另一端弹性支计算下图所示的一端弹性固定，另一端弹性支座梁的中点挠度、端点转角并画弯矩图和剪力座梁的中点挠度、端点转角并画弯矩图和剪力图图. .=l/3EI, =l/3EI, =l3/48EI,=l3/48EI,xyl/2l/2mm1m2xyl/2l/2P2-4
25、 梁的复杂弯曲 作用在梁上的外力除了横向力外，还有轴向拉作用在梁上的外力除了横向力外，还有轴向拉力（压力），如图力（压力），如图2-182-18所示。如果梁的抗弯刚度所示。如果梁的抗弯刚度EIEI不大或者轴向力很大，那么轴向力所引起的弯不大或者轴向力很大，那么轴向力所引起的弯曲要素就不能忽略。我们把同时考虑横向和轴向曲要素就不能忽略。我们把同时考虑横向和轴向这两种载荷作用梁的弯曲称为梁的复杂弯曲。这两种载荷作用梁的弯曲称为梁的复杂弯曲。qBlxxyTT图 2-181.梁的复杂弯曲微分方程推导 对于图对于图2-182-18所示的复杂弯曲梁，由截面法知道，所示的复杂弯曲梁，由截面法知道，在梁的任一
26、截面上除了有弯距、剪力外还有轴向在梁的任一截面上除了有弯距、剪力外还有轴向力。轴向力的存在一方面使得梁断面的正应力增力。轴向力的存在一方面使得梁断面的正应力增加了一项沿断面均匀分布的量加了一项沿断面均匀分布的量T/AT/A（A A为梁的横截为梁的横截面面积），同时对梁的弯曲要素也有一定的影响。面面积），同时对梁的弯曲要素也有一定的影响。梁在复杂弯曲时，我们仍认为梁截面符合材料力梁在复杂弯曲时，我们仍认为梁截面符合材料力学中的平断面假定，材料仍然服从虎克定律，学中的平断面假定，材料仍然服从虎克定律，因因此基本关系式此基本关系式 不变。为了不变。为了进一步导出弯曲微分方程式。仍在梁中取出一段进一步
27、导出弯曲微分方程式。仍在梁中取出一段长度为长度为dxdx的微段，这时为了反映轴向力的影响，的微段，这时为了反映轴向力的影响，所以画出了微段在变形后的情况。所以画出了微段在变形后的情况。MvEI MTqM+dMNN+dNTdxdv图 2-19 列出微段的平衡方程式：列出微段的平衡方程式：yx00MY0212TdvqdxNdxdMqdxdN 略去高阶微量后，得：略去高阶微量后，得：dxdvTNdxdMqdxdN(2-13) 将式（将式（2-132-13）再微分一次，并将关系式）再微分一次，并将关系式 带入后，得到：带入后，得到：MvEI dxdvTdxdMN（和普通梁的结果一样）（和普通梁的结果一
28、样）（ 和普和普 通梁的结果不一样）通梁的结果不一样） vTqvEI 对于等截面和轴向力沿梁长不变的情况，得：对于等截面和轴向力沿梁长不变的情况，得：qvTEIvIV (2-15)(2-14) 这就是梁在复杂弯曲（轴向力为拉力）时的这就是梁在复杂弯曲（轴向力为拉力）时的弯曲微分方程式。弯曲微分方程式。 如果轴向力为压力，只要在上式中用（如果轴向力为压力，只要在上式中用（-T-T）代替（代替（T T）即可。为了表达清晰起见，令轴向压）即可。为了表达清晰起见，令轴向压力的绝对值为力的绝对值为T T，这样用（，这样用（- T- T ）代替上式）代替上式中的中的T T，便可得到梁在复杂弯曲（轴向力为压
29、力），便可得到梁在复杂弯曲（轴向力为压力）时的弯曲微分方程式：时的弯曲微分方程式：qvTEIvIV (2-16)2.微分方程式的解，初参数法 微分方程式（微分方程式（2-152-15）的解分为相应的齐次方）的解分为相应的齐次方程式的通解和非齐次方程式的特解两部分。先程式的通解和非齐次方程式的特解两部分。先考虑轴向拉力的情况，即方程式（考虑轴向拉力的情况，即方程式（2-152-15），其），其齐次方程式为：齐次方程式为：0 vTEIvIV 此式可改写为：此式可改写为：02 vkvIV 式中：式中：(2-17)(2-18)0224skssxAev EITk ksksss43210EITk 2 于是
30、，可将方程式（于是，可将方程式（2-182-18）的解写作：）的解写作：(2-19) 将式（将式（2-192-19）代入到（）代入到（2-182-18）中得特征方程）中得特征方程为：为：(2-20) 此特征方程有此特征方程有4 4个根，分别为：个根，分别为： 所以方程式（所以方程式（2-182-18）的解为：）的解为： 2kxkxeexchkxshAkxchAxAAv4321 2kxkxeexsh4321,AAAA 式中式中 为积分常数为积分常数 仿照仿照2-12-1中的方法，直接将此解推广到梁上中的方法，直接将此解推广到梁上受任意横向载荷的情况而无须求其特解，为此受任意横向载荷的情况而无须求
31、其特解，为此将上式逐次积分：将上式逐次积分：kxchkAkxshkAvkxshkAkxchkAvkxkchAkxkshAAv34332423432 (2-21)302EIkNA并利用式（并利用式（2-132-13），有：），有：设设为为x x0 0时梁的四个初始弯曲要素时梁的四个初始弯曲要素0000,vMN 0024023042031TvNkEIAvEIMkEIAvEIkAkAvvAAv203EIkMA 3004EIkNkA2001EIkMvA 从而解得：从而解得： 代入式（代入式（2-212-21）得：）得：kxkxshEIkNkxchEIkMkxshkvv3020001 仿照（仿照（2-1
32、22-12）式，就可以将（）式，就可以将（2-212-21）推广到）推广到梁上受任意横向载荷得一般情形：梁上受任意横向载荷得一般情形：(2-22) xccbaxkkkxshEIkdqbxkkbkxshEIkPkakxchEIkmkxkxshEIkNkxchEIkMkxshkvv33230200011bdTyxq(x)caPmxT(2-23)图 2-20 当当xdxd时，积分上限为时，积分上限为d d。 如果是轴向压力，只要将轴向拉力公是中得如果是轴向压力，只要将轴向拉力公是中得T T用（用（-T-T）代替，或）代替，或k k用（用（ikik）代替即可，其）代替即可，其中：中：EITk)sin(
33、)cos(xkixikshxkxikch xccbakxkxkkEIdqbkxkbxkkEIPakxkkEImxkxkkEINxkkEIMxkkvvsinsincos1sincos1sin332302000(2-24) 当当xdxd时，积分上限为时，积分上限为d d。 利用挠曲线通用方程式（利用挠曲线通用方程式（2-242-24）及梁端的边）及梁端的边界条件，就可以确定相应梁复杂弯曲时的挠曲界条件，就可以确定相应梁复杂弯曲时的挠曲线方程，从而由弯距与挠度的关系式确定弯距线方程，从而由弯距与挠度的关系式确定弯距方程。进一步可以确定梁在复杂弯曲时任一横方程。进一步可以确定梁在复杂弯曲时任一横截面上
34、的剪力。截面上的剪力。 （1 1）轴向力为拉力时）轴向力为拉力时 （2 2）轴向力为压力时）轴向力为压力时vTvEIN vTvEIN (2-26)(2-25)由式（由式（2-252-25）和（）和（2-262-26）可见，梁复杂弯曲时）可见，梁复杂弯曲时剪力与挠度的微分关系式和梁在横力弯曲时并剪力与挠度的微分关系式和梁在横力弯曲时并不相同。当求得梁复杂弯曲时的挠曲线方程后，不相同。当求得梁复杂弯曲时的挠曲线方程后，应由式（应由式（2-252-25）和（）和（2-262-26）确定剪力方程。）确定剪力方程。在在写梁端边界条件时也应注意式（写梁端边界条件时也应注意式（2-252-25）和（）和（2
35、-2-2626），及对于复杂弯曲），及对于复杂弯曲 , ,从而弹性支座从而弹性支座的边界条件就与横力弯曲时的不同，对于轴向的边界条件就与横力弯曲时的不同，对于轴向力为拉力或压力的梁，其弹性支座的边界条件力为拉力或压力的梁，其弹性支座的边界条件为：为： vEIN vTvEIAv vTvEIAv 式中，符号的取法：左端取式中，符号的取法：左端取(-)(-)，右端取，右端取(+)(+)复杂弯曲时的弹性固定在弹性支座上的边界条复杂弯曲时的弹性固定在弹性支座上的边界条件也与横力弯曲时不同。写为：件也与横力弯曲时不同。写为：vEIAv vTvEIAv vEIAv vTvEIAv 轴向拉力轴向拉力轴向压力轴
36、向压力式中，符号的取法：上面的符号适用于左端，式中，符号的取法：上面的符号适用于左端，下面的符号适用于右端下面的符号适用于右端0000 xxvv边界条件为：边界条件为：0 lxlxvvTvEIAvyTT图 2-210000 xxvv边界条件为：边界条件为：0 lxlxvvTvEIAvyTT图 2-21例例1:1:如图如图2-222-22所示，受均布载荷所示，受均布载荷q q，两端自由支持并，两端自由支持并受轴向拉力的受轴向拉力的T T作用的梁，计算其弯曲要素作用的梁，计算其弯曲要素。3.例题图 2-22TxyTqEIl解：先应用式解：先应用式(2-23)(2-23)计算梁的挠曲线方程式。计算梁
37、的挠曲线方程式。200000000qlNMvEIvxxx xccbaxkkkxshEIkdqbxkkbkxshEIkPkakxchEIkmkxkxshEIkNkxchEIkMkxshkvv33230200011梁左端的边界条件：梁左端的边界条件：(a)将边界条件代入到将边界条件代入到(a)(a)式得：式得： 21102012200000kxkxchkxkxkchkdkdkshdkkshdkkshdxkkkxshxxxxxddxx，则令： 为了算出上式中的积分，利用变量代换方为了算出上式中的积分，利用变量代换方法。法。 积分上下限为积分上下限为0 0和和x x。dxkkkxshEIkqkxkxs
38、hEIkqlkxshkvxx003302(b)将积分结果代入到将积分结果代入到(b)(b)式得：式得：21222430 xkkxchEIkqkxkxshEIkqlkxshkv梁右端的边界条件：梁右端的边界条件：00 lxlxvv 2221232224300klthEIkqEIkqllkklchEIkqklklshEIkqlklshk代入到代入到(c)(c)式得：式得：(c)(d)将将(d)(d)式代入到式代入到(c) (c) 式整理后得：式整理后得：xlEIxqlchlxchEIqlv224481212EITlkl22式中式中 有了挠曲线方程后，我们就不难求得梁的弯有了挠曲线方程后，我们就不难
39、求得梁的弯曲要素。现将通常所需的梁的中点挠度、端点曲要素。现将通常所需的梁的中点挠度、端点转角及中点弯距的公式写出如下：转角及中点弯距的公式写出如下： 0203048224038452qllMEIqllvvfEIqllv(e)(f)式中式中 chthchf11231125242030240(g) (g) (g)称为复杂弯曲的辅助函数，他们的数值称为复杂弯曲的辅助函数，他们的数值取决于取决于 ，即取决于轴向力，即取决于轴向力T T，梁的抗弯刚度，梁的抗弯刚度EIEI和梁长和梁长l l。复杂弯曲梁的辅助函数和弯曲要素表。复杂弯曲梁的辅助函数和弯曲要素表见附录见附录B B。 现讨论现讨论 的取值对复
40、杂弯曲梁弯曲要素的影的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：响：(2) (2) 00，即，即T0T0，(g)(g)式中的函数随着式中的函数随着 的增加的增加而减少，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素减少。而减少，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素减少。(1) (1) =0=0，即，即T=0T=0，(g)(g)式中的函数均为式中的函数均为1 1，这时，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式的公式 如果所讨论的梁受到的是轴向压力如果所讨论的梁受到的是轴向压力T T，则，则在以上公式中将在以上公式中将(-T(-T) )代代T T，ikik代代k, ik, i 代代
41、。此处：。此处： 即可得到相应的公式如下：即可得到相应的公式如下：EITlkl22EITllk22 1000uuuf vMvuuufu,000 xlEIxqllxEIqlv224481cos21cos2 0203048224038452qllMEIqllvvfEIqllv 及：及：1cos12312cos15242030240tgf 式中：式中：(h)(i)(j)同样为复杂弯曲的辅助函数。同样为复杂弯曲的辅助函数。 现讨论现讨论 的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：响：(2) (2) 00， (h)(h)式中的函数随着式中的函数随着 的增加而的增加而增大，说明轴向拉
42、力使得梁的弯曲要素增大。增大，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素增大。当当 = = /2/2，即，即(1) (1) =0=0，即，即T T=0=0，(g)(g)式中的函数均为式中的函数均为1 1，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式重时的公式2222lEITEITl vMvuuufu,000时，时， ，这说明当轴向压力，这说明当轴向压力 即使梁受到非常微小的载荷，梁都会丧失其稳即使梁受到非常微小的载荷，梁都会丧失其稳定性。因而也可以把复杂弯曲中使弯曲变形趋定性。因而也可以把复杂弯曲中使弯曲变形趋向无穷大的轴向压力定义为临界压力。我们在向无穷大的轴
43、向压力定义为临界压力。我们在材料力学压杆的稳定性一章中，两端铰支的细材料力学压杆的稳定性一章中，两端铰支的细长压杆的欧拉临界载荷也是长压杆的欧拉临界载荷也是22lEIT0f22lEIT 综上，我们可以指出：当梁受任何横向荷重综上，我们可以指出：当梁受任何横向荷重及轴向拉力或轴向压力作用而发生复杂弯曲时，及轴向拉力或轴向压力作用而发生复杂弯曲时，不论两端固定情况如何，总归是轴向拉力使得不论两端固定情况如何，总归是轴向拉力使得梁的弯曲要素减小；轴向压力使得梁的弯曲要梁的弯曲要素减小；轴向压力使得梁的弯曲要素增大。使得弯曲变形趋向无穷大的轴向压力素增大。使得弯曲变形趋向无穷大的轴向压力就是压杆的临界
44、压力。就是压杆的临界压力。4.复杂弯曲梁的弯曲要素及叠加原理 对于受其他荷重作用和其他支撑情况的单跨对于受其他荷重作用和其他支撑情况的单跨复杂弯曲梁，用同样的方法可以求出其挠曲线复杂弯曲梁，用同样的方法可以求出其挠曲线方程式和弯曲要素，其结果列在附录方程式和弯曲要素，其结果列在附录B B中：这就中：这就是复杂弯曲梁的弯曲要素表。是复杂弯曲梁的弯曲要素表。 由复杂弯曲梁的通用挠曲线方程式由复杂弯曲梁的通用挠曲线方程式(2-23)(2-23)和和(2-24)(2-24)知，挠度知，挠度v v与参数与参数k k或或k k不成线性关系，不成线性关系，但是当但是当k k或或k k为常数时，即轴向拉力为常
45、数时，即轴向拉力T T或压力或压力T T 保持不变，挠度保持不变，挠度v v与横向载荷之间成线性关系。与横向载荷之间成线性关系。 故梁在一定的轴向力作用下，梁上受到不同横故梁在一定的轴向力作用下，梁上受到不同横向载荷时的弯曲要素仍可用叠加原理求解，即可向载荷时的弯曲要素仍可用叠加原理求解，即可分别求得在该轴向力作用下的各个横向载荷作用分别求得在该轴向力作用下的各个横向载荷作用时的弯曲要素，然后叠加。时的弯曲要素，然后叠加。例例1:1:如图如图2-232-23所示的梁，两端受到集中力矩的作用，所示的梁，两端受到集中力矩的作用，求梁两端面的转角。求梁两端面的转角。图2.23xyEIl解：根据附录表
46、解：根据附录表B-2B-2m1m2xyEIlm1xyEIlm2122221212111366321EIlmEIlmEIlmEIlmmm作用下：作用下：11212221113663EIlmEIlmEIlmEIlm叠加后得到梁两端的转角分别为：叠加后得到梁两端的转角分别为：函数值见附表函数值见附表B-3B-3和和B-4B-421,例例2:2:求如图求如图2-242-24所示的梁固定端弯距所示的梁固定端弯距xyEIqlTTxyEIqlTTM解：附录表解：附录表B-2B-2并没有提供这种支座形式，我们并没有提供这种支座形式，我们将其等效为图将其等效为图2-252-25形式的梁。形式的梁。图 2-24图
47、 2-25利用附录表利用附录表B-2B-2提供的均布载荷下梁左端的转角提供的均布载荷下梁左端的转角和集中力矩作用下梁左端的转角，利用叠加原和集中力矩作用下梁左端的转角，利用叠加原理。再根据固定端处，转角为零的边界条件，理。再根据固定端处，转角为零的边界条件，就可以求得端面弯距。就可以求得端面弯距。 11031324EImlEIql的转角为集中力矩作用下梁左端的转角为均布载荷作用下梁左端 10210380324qlmEImlEIql叠加后利用梁左端转角为零，得到端面弯距为：叠加后利用梁左端转角为零，得到端面弯距为：5.轴向力对梁弯曲要素的影响 由附录表由附录表B B提供复杂弯曲的弯曲要素表可见，
48、提供复杂弯曲的弯曲要素表可见，轴向力对弯曲要素的影响取决于辅助函数，而辅轴向力对弯曲要素的影响取决于辅助函数，而辅助函数值的大小又由参数助函数值的大小又由参数 和（和（ ）决定。因）决定。因EITllkEITlkl2222222244lEITlEIT或所以，轴向力对弯曲要素的影响程度取决于轴向所以，轴向力对弯曲要素的影响程度取决于轴向力与梁抗弯因子力与梁抗弯因子4EI/l24EI/l2之比值。而不仅仅取决于之比值。而不仅仅取决于轴向力的大小。由附录表轴向力的大小。由附录表B B可见当可见当 或（或（ ）0.50.5时，各辅助函数的值接近于时，各辅助函数的值接近于1 1，说明在此范，说明在此范围
49、内，轴向力对弯曲要素的影响很小，可以忽略围内，轴向力对弯曲要素的影响很小，可以忽略 在船体骨架的强度计算中，一般来说参数在船体骨架的强度计算中，一般来说参数 或或（ ）之值不大，因而习惯上都不考虑轴向力）之值不大，因而习惯上都不考虑轴向力对弯曲要素的影响。于是在计算受横向载荷和轴对弯曲要素的影响。于是在计算受横向载荷和轴向力同时作用的骨架横截面上的正应力时，可以向力同时作用的骨架横截面上的正应力时，可以简单地使用材料力学中给出的公式。简单地使用材料力学中给出的公式。ATIMy式中，式中，MM由横向载荷引起的梁横截面上的弯距；由横向载荷引起的梁横截面上的弯距；I I、AA横截面的惯性距和横截面面
50、积。横截面的惯性距和横截面面积。但是，对船体结构中的板来说，情况就不同了，但是，对船体结构中的板来说，情况就不同了，由于板的抗弯能力远比骨架小，故必须考虑板中由于板的抗弯能力远比骨架小，故必须考虑板中面力对板弯曲应力的影响。面力对板弯曲应力的影响。2-5 弹性基础梁的弯曲 支撑于弹性基础上的梁叫弹性基础梁。弹性基支撑于弹性基础上的梁叫弹性基础梁。弹性基础梁在受到横向载荷而发生挠度时，弹性基础会础梁在受到横向载荷而发生挠度时，弹性基础会给梁一个正比于挠度的反力。设梁的挠度为给梁一个正比于挠度的反力。设梁的挠度为v v，则弹性基础给梁的单位长度上的反力为则弹性基础给梁的单位长度上的反力为KvKv，
