1、第一章第一章 信号及其表述信号及其表述本章学习要求：本章学习要求：1.1.了解信号分类方法了解信号分类方法 2.2.掌握信号描述方式掌握信号描述方式3.3.会利用傅立叶变换求信号的频谱会利用傅立叶变换求信号的频谱4.4.掌握几种典型信号的频谱掌握几种典型信号的频谱1.1 信号的分类一、确定性信号和非确定性信号；0t0t特点：特点：可以用数学关系式表示； 已知某一时刻 ，可以确切的知道x( )； 相同条件下得到的信号相同。 确定性信号确定性信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号 按信号幅值随时间变化的规律不同，将信号分为确定性确定性信号和非确定性信号信号和非确定性信号。( (一一) ) 确定性
2、信号确定性信号定义：定义：可以用明确数学关系式描述用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。定义：定义：按一定时间间隔周而复始重复出现周而复始重复出现的信号。 x ( t ) = x ( t + nT ) n1, 2, 3(2)一般周期信号一般周期信号,如方波、三角波。x(t)ttx(t)000t(1)谐波信号谐波信号，如正弦信号 x ( t ) = 2cos2 2、非周期信号、非周期信号x(t)0t矩形脉冲信号矩形脉冲信号定义：确定性信号中那些不具有周期重复性的信号。定义：确定性信号中那些不具有周期重复性的信号。包括 准周期信号：由两种以上周期信号合成的，但各周期分量瞬变非周期信号：除准周期
3、信号之外的非周期信号。无公共周期。衰减振动信号衰减振动信号确定性信号周期信号 非周期信号 谐波信号 一般周期信号 准周期信号 瞬变非周期信号 （二）随机信号（二）随机信号 定义：无法用明确的数学关系式表达的信号。定义：无法用明确的数学关系式表达的信号。特点：特点：1、不能用确切的数学关系式表示。 2、不能准确表达将来某一时刻的值。如天气变化。 3、实验每次结果都不同。 4、只能用概率统计方法来描述。二、连续信号和离散信号二、连续信号和离散信号 若连续，则为模拟信号连续信号的幅值 若离散，则为量化信号 若连续，则为采样信号离散信号的幅值 若离散，则为数字信号按独立变量取值是否连续，信号连续信号：
4、独立变量取值连续离散信号：独立变量取值离散三、能量信号和功率信号一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。2( )xt dt 若信号在区间（-，），则认为能量是有限的，这样的信号称为能量信号能量信号。满足：若信号在区间（-，）的能量无限，但在有限区间（ ， ）的平均功率是有限的，即满足1t2t这种信号称为功率信号功率信号。如正弦信号x（t）sint一般持续时间无限的信号都属于功率信号。21)(1)(2122ttdttxttdttx为什么要进行频域分析?1.2 信号的描述幅频图相频图例2：画出 幅频谱和相频谱。)42cos(cost2)(ttx时域描述:以时间为自变量
5、来表示信号。频域描述:以频率为自变量来表示信号。)cos()(000txtx例1：画出 幅频谱和相频谱。怎么来进行频域分析?220000)(1TTdttxTa其中，常值分量2200n00cos)(2TTtdtntxTa余弦分量2200n00sin)(2TTtdtntxTb正弦分量若x(t)为偶函数，则 0nb1000)sincos()(nnntnbtnaatx(n=1,2,3)若x(t)为奇函数，则 0 00ana1.2.1 1.2.1 周期信号的描述周期信号的描述一、傅里叶级数的三角函数展开式与周期信号的单边频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式与周期信号的单边频谱 1. 1.傅里叶级数的三角函
6、数展开式傅里叶级数的三角函数展开式任意周期信号x(t)在区间(-T/2，T/2)只要满足：连续或只连续或只 有有限个第一类间断点有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点只有有限个极值点，均可展开成：0220)(00tTATtAtxnnabarctann22nnnbaA其中正、余弦合并后得正、余弦合并后得（n n1 1，2 2，33）例3：求周期方波的频谱。2.2.周期信号的单边频谱周期信号的单边频谱1n0n0)cos)(ntnAatx（正、余弦合并后得正、余弦合并后得周期函数的频谱特点：离散性离散性：频谱是离散的谐波性谐波性：谱线只出现在基频的整数倍上收敛性收敛性：谐波幅值随谐波次数增高而衰减
7、二、傅里叶级数的复指数函数展开式与双边频谱二、傅里叶级数的复指数函数展开式与双边频谱220n000e)(1TTtjndttxTC式中， ntjnn0eC) t (x（n=0, 1, 2,）利用欧拉公式：nCjnnmneneCCjICRCnenmnCRCIarctanC 2nm2nenCICRC周期信号的频谱描述是通过傅里里叶级数展开式得到的，两种展开式之间的联系：tn0costjne01.三角式复指数式2.三角式频率范围0+ ，单边频谱；复指数式频率范围-+，双边频谱。3.频谱是等价的，表示的是同一信号，信号的成分和信息量没有增减。各次谐波幅值和相位间的关系：nn21AC 00aC 幅值： （
8、n0 ） （n0）nnnC0相位：n1，2，3n=0n=-1,-2,-3例4：求周期方波的双边频谱。作业1：已知信号)2t 3cos(tcos4)4tcos(32) t (x2试画出其单边频谱和双边频谱。作业2：分别用三角函数展开式和复指数展开式 求周期方波信号的双边频谱。1.2.2 非周期信号的描述准周期信号瞬变非周期信号一、傅里叶变换一、傅里叶变换1.1.傅里叶变换及其存在条件傅里叶变换及其存在条件直接求傅里叶变换复习：周期信号的傅里叶级数的复指数展开式：ntjnTTtjnntjnTTtjnntjnnedtetxedtetxTeCtx00000000022220)(2)(1)(0n，离散变
9、量 连续变量求和符号积分符号 。()( )1( )()2jtjtXx t edtx tXed( )( )21( )2jtjtjtjtdx tx t edt ex t edt ed带入上式得( )X的傅里叶逆变换称为( )x t( )X称为的傅里叶变换( )x t当T时，周期信号相邻谱线间隔无穷小，T20122f将将为了避免出现为了避免出现代入上式，得傅里叶变换的存在条件：(1)连续或只有有限个间断点；(2)有限个极值点；(3)无限区间上绝对可积，即( )x t dtx tXfedfjft( )()2Xfx t edtjft()( )22.2.瞬变非周期信号的频谱瞬变非周期信号的频谱()()()
10、jfXfXfe2( )( )( )(cos2sin2)( )cos2( )sin2( )( )jftRIX fx t edtx tftjft dtx tftdtjx tftdtXfjXf22( )( )( )RIX fXfXf偶函数奇函数()Xff幅频谱相频谱瞬变非周期信号的频谱是连续的ff)()()(arctan)(fXfXfRI例：求矩形窗函数R( )wt的频谱。矩形窗函数为 R0(2)( )1(22)0(2)tTw tTtTtT 例：求指数函数0( )( 0 )1时，时域中窗宽缩小，相当于信号被压缩，导致频域波形中频带变宽；当a 0 ) 00ttex tt的频谱。1.3 几种典型信号的频
11、谱 一、单位脉冲信号 1.函数定义 在时间内矩形 脉冲(或三角形脉冲及其它形状脉冲)，其面积为1,当 时， 的极限 ， 称为函数。 ( ) t( ) t00lim( )( )tt注意与窗函数的不同！注意与窗函数的不同！2.函数的性质 1）乘积性 若x(t)为一连续信号，则有 乘积结果为x(t)在函数脉冲发生位置的函数值与函数的乘积。 2）筛选性 筛选结果为x(t)在函数脉冲发生位置的函数值(又称为采样值)。 ( ) ( )(0)( )(0)x tt dtxt dtx0000( ) ()()()()x ttt dtxttt dtxt000( ) ( )(0) ( )( ) ()() ()x tt
12、xtx tttxttt (t)与x(t)相乘：相乘 x (t)t0 x (0)t x (t)(t)0 x (0)相乘t (t)01 与x(t)相乘：0()ttt01 x (t)t00( )x t0t0()t t0tt00t0( )x t0()tt)t (x03）卷积性 0000( )()( )()( ) ()()x tttxttdxttdx tt 函数x(t)与 函数卷积的结果是将该函数x(t)的图像平移到 函数发生脉冲的坐标位置上去。) t ( xd ) t()( xd )t ()( x) t () t ( xt0 x(t) (t) *t0 x(t) *=t0 (t) 1*t0 x(t) x
13、(t)*)(t x(t)*)(0tt=t00t00( )()()x tttx tt)()(0tttxt010t)(0tt3.函数的频谱20( )( )( )1jftft edtettf00 11( ) f)(t1)(t)(1f傅里叶变换对：020()jfttte020()jf teff0t)(t10f)( f10f)( f1f0)( f0f)( f02 ft0t)tt (00t1二、指数函数的频谱2.双边指数衰减函数的频谱0,0( )0,0ttetx tet傅里叶变换224( )(2)jfX ff1.单边指数衰减函数的频谱00( )0,0ttx tet傅里叶变换222( )(2)jfX ff三
14、、符号函数和单位阶跃函数的频谱1.符号函数的频谱2.单位阶跃函数的频谱00110lim()0,022( )11lim()0,02ttetx tet120t , 0)e (lim10t , 0)e(lim1) t (xt0t0()jXff傅立叶变换1()()22jXfff傅立叶变换四、谐波函数的频谱1.余弦函数的频谱)(212cos)(00220tfjtfjeetftx)()(21)(00fffffXt0 x(t)f01/2)(fXRe0f0f2.正弦函数的频谱)(22sin)(002j2j0tftfeejtftx)()(2)(00ffffjfXt0 x(t)f0-1/21/2)(fXIm0f0
15、f五、周期单位脉冲序列函数的频谱采样函数的表达式：.)2, 1, 0()()(nnTttgns2( )sjnf tnng tC e写成傅里叶级数的复指数展开式：其中，/ 2/ 222/ 2/ 2/ 2/ 220/ 2/ 211( )( )111( )( ) 1sssssssssssTTnf tnf tnTTssTTnfTTsssCg t edtt edtTTt edttdtTTT21( )sjnf tnsg teT)()(2sstnfjTnfnftes所以nssTnfTtg)(1)(即0fG(f)1sT2sT3sT1sT2sT3sT周期单位脉冲序列的频谱1sTtg(t)0sT2sTsT2sT周期单位脉冲序列函数1
