1、第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔一、方形镜对称共焦腔的自再现模一、方形镜对称共焦腔的自再现模xY2afL0+a+a-a-aXYR1R222aLLaaL根据方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程根据方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程 ,aaaaxxyyikikLLx yK x,y,x,yx y dx dyiK x,y,x,yeeL 第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔2考虑到应用分离变量法以及多个解的情况，上式写作考虑到应用分离变量法以及多个解的情况，上式写作分离变量分离变量nmmnNLkacyacYxacX12,2 YdeYGXdeXFieYGXFYiY
2、ccnXiXccmikLnmnm2 ,mnmmx yFX GY,aaxxyyikikLLmnmnmnaaix yex y edx dyL 菲涅耳数菲涅耳数分离为分离为X X方向和方向和Y Y方向无限长的窄带镜共焦腔满足的积分方程方向无限长的窄带镜共焦腔满足的积分方程XdeXFieXFXiXccmikLmm2 YdeYGieYGYiYccnikLnn2第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔 1112,1,micTTomomomi RcSc TeSc T dT径向长椭球函数径向长椭球函数角向长椭球函数角向长椭球函数 (m=0, 1, 2.)对于一定的对于一定的c值，可查长椭球函数表确
3、定值，可查长椭球函数表确定 1,1,omomRcSc T and 实函数实函数已知存在已知存在 长椭球函数长椭球函数，满足下列积分关系式，满足下列积分关系式第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔对称共焦腔满足的积分方程对称共焦腔满足的积分方程长椭球函数长椭球函数积分关系式积分关系式其中其中第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔 21121121 ,221 ,2ikLonnnikLommmiecRciiecRci对称共焦腔积分方程满足的积分方程精确解对称共焦腔积分方程满足的积分方程精确解)1 ,()1 ,(4)1()1(21cRcRNeonomnmkLinmnmmn1
4、nmarg1arg22111nmd附加相位由附加相位由m,n决定决定第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔 ,momomnononXxFXScScacYyG YScScac对称共焦腔积分方程满足的积分方程精确解对称共焦腔积分方程满足的积分方程精确解nmmnNLkacyacYxacX12,2其中其中 ,mnmmx yFX GY镜面上场分布镜面上场分布：长椭球为实函数，说明镜面为等相位面长椭球为实函数，说明镜面为等相位面第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔求求 对称共焦腔镜面场分布（本征函数）对称共焦腔镜面场分布（本征函数） 单程渡越因子（本征值）单程渡越因子（本征值
5、）yxmn,mn角向长椭球函数近似解：厄米高斯近似角向长椭球函数近似解：厄米高斯近似当当x a ，y a的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，下式的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，下式近似成立近似成立 2222,YnnonnXmmommeYHCcYcSYGeXHCcXcSXF近似解近似解: :角向长椭球函数角向长椭球函数 厄米多项式和高斯函数乘积厄米多项式和高斯函数乘积2201!20,1,2,!2!kmmkmkmHXXmkmk厄米多项式厄米多项式第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔 2222222222,22XYmnmnmmnncxyamnmnxyLmnmnx yFX GYC
6、HX eC HY eccCHx Hy eaaCHx Hy eLL 厄米厄米-高斯近似下高斯近似下, 对称共焦腔镜面场分布对称共焦腔镜面场分布01222230342412421!2!2!812164812kmmkmkHXHXXHXXmHXXkmkHXXXHXXX附：厄米多项式附：厄米多项式第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔二、厄米二、厄米- -高斯近似下高斯近似下 共焦镜面上的场分布特性共焦镜面上的场分布特性1、基模、基模: TEM00 m=0, n=022220000000,sxyrwLx yC eC e 2222xyLmnmnmnCHxHy eLL 光斑尺寸光斑尺寸定义定义
7、1 1：1/eE 100yHxH基模在镜面上分布为高斯型基模在镜面上分布为高斯型21010000s00000s00rwreIrwIreLws0222202222200000000,sxyrwLIx yx yC eC e 第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔光斑尺寸定义光斑尺寸定义2:2:w w0s0s光强降到中心光强光强降到中心光强1/21/2处的半径处的半径021rIwrI000s00220000002220002000012ln2ln20.588922sswwsssssIwC eCwwww222220002222sxyLmnmnmnxywmnmnssCHxHyeLLCHxH
8、yeww Lws0对称共焦腔基模对称共焦腔基模镜面上光斑半径镜面上光斑半径第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔112022202220222022202220222022202211201111112022020220202001001010110010101024,:4224,:22,:22,:sssssssswyxwyxswyxswyxswyxwyxswyxwyxsxyeCexywCyxVTEMewxCewxCyxVTEMyeCyewCyxVTEMxeCxewCyxVTEM厄米多项式的零点决定场的节线厄米多项式的零点决定场的节线2、高阶横模的场振幅分布、高阶横模的场振幅分布
9、 （m,n 不同时为不同时为 0） 24,2, 12210XXHXXHXH第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31厄米多项式的零点决定场振幅的节线厄米多项式的零点决定场振幅的节线第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔 3、高阶横模的光斑尺寸、高阶横模的光斑尺寸2022021212snssmswnwwmw0021,21msnssswwmnww 定义定义- -光场分布坐标均方差值的四倍为光斑半径的平方光场分布坐标均方差值的四倍为光斑半径的平方dYYGdYYGyyYGwdXXFdXXFxxXFwnnnnsmmmms
10、22222244第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔145、单程损耗、单程损耗( mn)22111mnmnmn 本征值本征值 决定模的相移和损耗决定模的相移和损耗mnNc2 m、n与腔的菲涅尔数与腔的菲涅尔数(N) (N) 腔的单程损耗腔的单程损耗4、镜面上光场的相位分布、镜面上光场的相位分布 ,mnmnomonXYx yFX GYScSccc( ,)mnx y的辐角的辐角决定镜面上场的相位分布决定镜面上场的相位分布长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等 等相位面与共焦腔镜面重合等相位面与共焦腔镜面重合 1 211 21
11、2,122,12ikLmmomikLnnonieic Rcieic Rc第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔 同种腔同种腔 N D m, n D 选横模的物理基础选横模的物理基础 不同腔不同腔 共焦腔衍射损耗共焦腔衍射损耗 0时：时：比较比较抛物面方程抛物面方程近轴处近似为球面近轴处近似为球面第第6章章 开放式光腔开放式光腔6.3 共焦腔共焦腔200220212zLzyxzz近轴球面波近轴球面波02202Ryxzz近轴高斯光波近轴高斯光波比较比较结论：结论：高斯光波在腔轴附近可近似为球面波高斯光波在腔轴附近可近似为球面波2002000121zfzzLzR012102002000
12、zzfzzLzR当当z1N1时时, , 共焦腔的自再现模可以由厄米共焦腔的自再现模可以由厄米- -高斯或拉高斯或拉盖尔盖尔- -高斯函数近似描述。高斯函数近似描述。共焦腔基模高斯光束的基本特征唯一地由共焦参数共焦腔基模高斯光束的基本特征唯一地由共焦参数 f f 或或w w0 0 决定决定, , 与反射镜尺寸无关。参数与反射镜尺寸无关。参数 f f 或或 w w0 0 是是表征共焦腔高斯光束的特征参数。表征共焦腔高斯光束的特征参数。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。耗各不相同。共焦腔的特点：衍射损耗低；共焦腔的特点：衍射损耗低； 模式高度简并；基模模式高度简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化; ; 等相位面近似等相位面近似为球面为球面; ;在反射镜处，等相位面与镜面重合。在反射镜处，等相位面与镜面重合。
