1、2.1 正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压、电流随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦电压和正弦电流。表达式为：称为正弦电压和正弦电流。表达式为：)sin(umtUu)sin(imtIi以正弦电流为例以正弦电流为例)sin(imtIi振幅振幅角频率角频率、和和称为正弦量的的三要素。称为正弦量的的三要素。相位相位初相角初相角: 简称初相简称初相itOImi波形波形 ：正弦量单位时间内变化的弧度数正弦量单位时间内变化的弧度数角频率与周期及频率的关系：角频率与周期及频率的关系：fT22：正弦量完整变化一周所需要的时间：正弦量完整变化一周所需要的时间：正弦量在单位时间内变化的周数正弦量在
2、单位时间内变化的周数周期与频率的关系：周期与频率的关系：Tf1：正弦量表达式中的角度：正弦量表达式中的角度：t=0时的相位时的相位：两个同频率正弦量的相位之差，其：两个同频率正弦量的相位之差，其值等于它们的初相之差。如值等于它们的初相之差。如)sin(umtUu)sin(imtIiiuiutt)()(相位差为：相位差为：0，u与 i同相。0，u超前 i，或 i滞后 u。，u与 i反相。2，u与 i正交。(a) u 与 i 同相 (b) u 超前 iu、itOuiu、itOuiu、itOuiu、itOui(c) u 与 i 反相 (d) u 与 i 正交：正弦量的最大值：正弦量的最大值：让周期电
3、流：让周期电流i和直流电流和直流电流I分分别通过两个阻值相等的电阻别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的如果在相同的时间时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电流直流电流I的值为周期电流的值为周期电流i的有效值。的有效值。根据有效值的定义有：根据有效值的定义有： 周期电流的有效值为：周期电流的有效值为：TdtiTI021TRdtiRTI022)sin()(imtIti对于正弦电流，因对于正弦电流，因IIdttIImmTimT707.02)(sin0221所以所以为：为：同理，同理，为：为：mmUUU707. 02相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。相量
4、法是求解正弦稳态电路的简单方法。复数复数A可用复平面上的有向线段来表可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度示。该有向线段的长度a称为复数称为复数A的的，模总是取正值。该有向线段与实，模总是取正值。该有向线段与实轴正方向的夹角轴正方向的夹角称为复数称为复数A的的。O a1 +1a2 A+ja2.2 正弦交流电的相量表示法根据以上关系式及欧拉公式根据以上关系式及欧拉公式复数复数A的实部的实部a1及虚部及虚部a2与与模模a及辐角及辐角的关系为：的关系为：sin1aa cos2aa 2221aaa12arctgaaO a1 +1a2 A+jaaaejaajaaAjsincos21代数型代数型三
5、角函数型三角函数型指数型指数型极坐标型极坐标型可将复数可将复数A表示成代数型、三角函数型、指表示成代数型、三角函数型、指数型和极坐标型数型和极坐标型4种形式。种形式。sincosjej121ajaaA221bjbbB复数的四则运算：复数的四则运算：设两复数为：设两复数为：(1)相等。若相等。若a1=b1，a2=b2，则则 A=B。(2)加减运算：加减运算：)()(2211bajbaBA(3)乘除运算：乘除运算：)(21)(2121baebabeaeBAjjj)(21)(2121ababebeaeBAjjj 将复数将复数Imi乘上因子乘上因子1t，其模不变，其模不变，辐角随时间均匀增加。即在复平
6、面上以角速辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速度度逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于Imsin(t + i )，正好是用正弦函数表示的正正好是用正弦函数表示的正弦电流弦电流i。可见复数。可见复数Imi与正弦电流与正弦电流i=Imsin(t + i )是相互对应的关系，可用复数是相互对应的关系，可用复数Imi来表示正弦电流来表示正弦电流i，记为：记为：imjmmIeIIi并称其为相量。并称其为相量。ImO +1+ji i O tiIm(a) 以角速度旋转的复数 (b) 旋转复数在虚轴上的投影正弦量正弦量相量相量)sin(imtIiimmII)sin(umtUuum
7、mUU)sin(2itIiII)sin(2utUuUU有效值相量和振幅相量的关系：有效值相量和振幅相量的关系：IIm2UUm22.3 电阻元件、电感元件及电容元件电阻元件、电感元件及电容元件在以下的推导过程中，设元件两端的电压和流过元件的电流均采用关联参考方向。并设电压、电流的瞬时表达式分别为：)sin(2)sin(2iutIitUu则代表它们的相量分别为：iuIIUU电阻元件伏安关系：电阻元件伏安关系：u=Ri有：有： RIU iuIRURu=ii+u (a) 电阻元件 (b) 相量图IU将uUU、iII代 入 ， 得 ：iuRIU电感元件伏安关系：电感元件伏安关系：根据相量运算的规则根据相
8、量运算的规则1、规则、规则3和规则和规则4 ，有：，有： dtdiLu IjXILjUL将uUU、iII代入，得：)90(iiuLILIjUIXLIUL90iu：XL=L，与频率成正比。与频率成正比。i Li(a) 电感元件IU+u u(b) 相量图CUI90uiIjXICjUC1或或：XC=1/C，与频率成反比。与频率成反比。u(a) 电容元件IUii C+u (b) 相量图电感元件伏安关系：电感元件伏安关系：根据相量运算的规则根据相量运算的规则1、规则、规则3和规则和规则4 ，有：，有： dtduCi UCjI将uUU、iII代入上式，得：)90(uuiCUCUjI452504525 .
9、0100RIRU452504525 . 0100CCjIjXUV)45100sin(100V)45100sin(100A)45100sin(CRtututiRUU4545CUI +us RiC+uC+uR例：图示例：图示RC串联电路串联电路，R=100，C=100F，us=100 sin100tV，求求i、uR和和uC，并画出相量图。并画出相量图。2解解 ：V0100sU10010100100116CCXCRsUUUIjXUIRUCCRIjXRIjXIRUUU)(CCCRsA4525 . 045210001001001000100CjjXRUIs2.4 R、L、C元件串联的交流通路 将正弦交流
10、电路中的电压、电流用相将正弦交流电路中的电压、电流用相量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的相量形式来求解正弦交流电路的方法称为相量形式来求解正弦交流电路的方法称为。运用相量法分析正弦交流电路时，。运用相量法分析正弦交流电路时，直流电路中的结论、定理和分析方法同样直流电路中的结论、定理和分析方法同样适用于正弦交流电路。适用于正弦交流电路。定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相量的比值为该无源二端网络的阻抗，并用符号量的比值为该无源二端网络的阻抗，并
11、用符号Z表示，即：表示，即：mmIUZIUZZ+U无源二端网络+UII(a) 无源二端网络 (b) 等效电路或或mmIZUIZU或或称为欧姆定律的相量形式。称为欧姆定律的相量形式。电阻、电感、电容的阻抗：电阻、电感、电容的阻抗：CjjXZLjjXZRZ1CCLLRRI+U I jXL+U I jXC+U 将所有元件以相将所有元件以相量形式表示：量形式表示：zZjXRZ|电阻电阻电抗电抗阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角22|XRZRXzarctgzZRcos| zZXsin| )(iuiuIUIUIUZmmIUIUZ |iuz0z0z0zZ2Z1I+U(a) 两个阻抗串联+1U2U21ZZZ2121ZZ
12、ZZZUZZZU2111UZZZU2122IZZZI2121IZZZI21121I 2IZ1I+UZ2(b) 两个阻抗并联Z2Z1I+U+1U2U例例 ： 图 示 电 路 ，)916.6(1jZ ，)45 .2(2jZ， 30100UV，求总电流I及各阻抗的电压1U和2U，并画出相量图。3010566. 845 . 2916. 621jjjZZZ解：解：A010301030100ZUIV6 .551090106 .559 .10010)916. 6(11jIZUV582 .470105872. 4010)45 . 2(22jIZU1UU2UI583055.6例例 ：图示电 路，)11 (1jZ
13、，)43(2jZ， 010UV，求总电流I及各阻抗的电流1I和2I，并画出相量图。1I 2IZ1I+UZ2解：解：8 .2829 .3651 . 82534174311)43)(11 (2121jjjjjjZZZZZA8 .28258 .282010ZUIA45258 .28259 .3651 .5358 .28254311432121jjjIZZZIA1 .5328 .28259 .3654528 .28254311112112jjjIZZZI1IU2II53.128.845CjXCLXLjR Ru，i ，UI 将所有元件以相量形式表示：将所有元件以相量形式表示：+u+uL+ uR uC +
14、RLCi(a) RLC 串联电路 (b) 相量模型+U+LU+ RU CU +R jXLjXCIjXRXXjRZZZZ)(CLCLRIjXUIjXUIRUCCLLRIZIXXjRUUUU)(CLCLR+ RU +U+LU CU +R jXLjXCI2CL22CL2R)()(XXRIUUUU由欧姆定律：由欧姆定律：由由KVL：RXXRXiiziuCLarctgarctgLUCURUUICULUCUURUILULUCURUUICU (a) X 0 (b) X 0，0z，电路呈感性。（2）当CL1时，X R，故故UL=UCUR=U，即电即电感和电容上的电压远远高于电路的端电压。感和电容上的电压远远高于电路的端电压。RLi+uC i1iCLjRZ1，LjZC1CjLjRCjLjRZZZZZ11)(C1C1RL ，)1(11LCjLRCCjLjRCLZ 谐振时，阻抗的虚部为零，故有：0100LC 谐振角频率为：LC10 谐振频率为：LCf210 在RL 的情况下，并联谐振电路与串联谐振电路的谐振频率相同。并联谐振时，0，电压与电流同相，阻抗为RCLZ ，阻抗的模最大，在外加电压一定时，电路的总电流最小。
