1、融通方法单变量不等式的证明方法融通方法单变量不等式的证明方法(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证(2)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标令令g(x)x2x1ex1，则则g(x)2x1e
2、x1.当当x1时，时，g(x)1时，时，g(x)0，g(x)单调递增单调递增所以所以g(x)g(1)0.因此因此f(x)e0.2(2021九江九江5月适应性考试月适应性考试)已知函数f(x)aln xx，g(x)xexA(1)若x1是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)若a1，证明f(x)g(x)题型(二)利用导数解决不等式恒成立问题 方法例解方法例解典例典例已知函数f(x)axln x1，若对任意的x0，f(x)xe2x恒成立，求实数a的取值范围融通方法求解不等式恒成立问题的方法融通方法求解不等式恒成立问题的方法(1)构造函数，分类讨论构造函数，分类讨论遇到遇到f(x)g(x)型的
3、不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右左减右”的的函数函数h(x)f(x)g(x)或或“右减左右减左”的函数的函数u(x)g(x)f(x)，进而只需满足，进而只需满足h(x)min0或或u(x)max0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论(2)部分分离，化为切线部分分离，化为切线若不等式可以等价变形为若不等式可以等价变形为t(x)k(xx0)b的形式，由不等式恒成立问题知函的形式，由
4、不等式恒成立问题知函数数yt(x)的图象都在过定点的直线的图象都在过定点的直线yk(xx0)b的上方，运用运动的思想探求问的上方，运用运动的思想探求问题，参数取值范围的临界值就是直线与函数图象相切时对应的参数值，而临界值往题，参数取值范围的临界值就是直线与函数图象相切时对应的参数值，而临界值往往应用导数的几何意义来确定往应用导数的几何意义来确定(3)完全分离，函数最值完全分离，函数最值分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量，另一端是变量表达式表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线的
5、不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线ya与函数与函数yv(x)图象的交点个数问题来解决图象的交点个数问题来解决(4)换元分离，简化运算换元分离，简化运算处理不等式恒成立问题时，经常遇到式子比较复杂或含有多个变量的情况，处理不等式恒成立问题时，经常遇到式子比较复杂或含有多个变量的情况，此时可以通过条件、结论分析入手，根据不等式的结构特征，将不等式变形为左此时可以通过条件、结论分析入手，根据不等式的结构特征，将不等式变形为左右两边结构相同的不等式类型，构造相应的特征函数，然后通过研究该函数的单右两边结构相同的不等式类型，构造相应的特征函数，然后通过研究该函数的单调性来解决问题
6、调性来解决问题(5)放缩构造，化繁为简放缩构造，化繁为简有时可以利用不等式的传递性，先进行适当的放缩，再构造合适的函数进行有时可以利用不等式的传递性，先进行适当的放缩，再构造合适的函数进行求解常见的放缩依据有求解常见的放缩依据有x1ln x(x0)，xln xx1(x0)，exx1，exx(x0)等等以上五种通法各有利弊，需结合不等式的特征合理选择在求解过程中，力以上五种通法各有利弊，需结合不等式的特征合理选择在求解过程中，力求求“脑中有脑中有形形，心中有，心中有数数”依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界寻找临界题型(三)利用导数解决不等式的能成立问题 方法例解方法例解典例典例设函数f(x)2ln xmx21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)m1成立，求实数m的取值范围融通方法利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧融通方法利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧(1)根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大(小)值满足的不等式成值满足的不等式成立问题；立问题；(2)用导数求该函数在该区间上的最值问题；用导数求该函数在该区间上的最值问题；(3)构建不等式求解构建不等式求解
