1、上页下页铃结束返回首页第六章第六章 定积分定积分6.1定积分的概念6.2定积分的性质6.3微积分基本定理6.4定积分的计算方法6.5反常积分6.6定积分的几何应用上页下页铃结束返回首页第六章第六章 定积分定积分 4.如何计算定积分和应用定积分如何计算定积分和应用定积分? 前一章讨论了已知一个函数的导数前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题这样一个积分学的基本问题不定积分不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分定积分.1.什么是定积分什么是定积分?2.定积分有哪些性质定积分有哪些性质?3.定积分与不
2、定积分有何关系定积分与不定积分有何关系?本章的主要问题有本章的主要问题有:上页下页铃结束返回首页一一.引例引例(曲边梯形的面积曲边梯形的面积)定义定义1.1. 在直角坐标系中在直角坐标系中,由一条连续曲线由一条连续曲线y=(x)和三条直线和三条直线x = a、 x = b和和y = 0 (x轴轴) 所围成的图形所围成的图形, 称为曲边梯形称为曲边梯形, 如右图如右图AabBA (与直边梯形与直边梯形AabB的区别的区别) .oxyy=0 y=(x)x=ax=babBA6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念 当当y = (x) 0 时时, 曲边梯形曲边梯形AabB的面积怎么求呢的面积怎么求呢?
3、 中中学里会求直边多边形学里会求直边多边形(特别是矩形特别是矩形)的面积的面积, 下面利用矩形的下面利用矩形的面积来求曲边梯形面积来求曲边梯形AabB的面积的面积.问题问题: :上页下页铃结束返回首页从而此区间对应的小窄曲边梯形从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积的面积.oxyy=(x)abBA x+xxHCDEFy 因而因而, 如果把区间如果把区间a, b任意地划分为任意地划分为n个小区间个小区间, 并并在每一个区间上任取一点在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高区间上窄曲边
4、梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地从而每个窄曲边梯形就可近似地分析分析:问题的难度在于曲边梯形问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间的高对整个区间a, b来说是一个变量来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大其最大值与最小值之差较大; 但从区间但从区间a, b的一个局部的一个局部(小区间小区间)来看来看, 它也是一个变量它也是一个变量;但因但因(x)连续连续, 从而当从而当 x 0时时, y0,故可将此区间的高近似看为一个常量故可将此区间的高近似看为一个常量,上页下页铃结束返回首页视为一个小窄矩形视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲
5、边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值. 要想得精确值要想得精确值, 只需区间只需区间a, b的分法无限细密的分法无限细密(即每即每个小区间的长度个小区间的长度 x 0)时时, 全部窄矩形的面积之和的极全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值限一定是曲边梯形面积的精确值.从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:I.化整为零化整为零(或分割或分割)任意划分任意划分(如右图如右图)用分点用分点0121nnaxxxxxboxyy=(x)0ax1x2x1ixixnxb1nxix将区间将区间a,b任意地划分为任意地划分为n个小区间个小区间01121
6、,nnxxx xxx上页下页铃结束返回首页oxyy=(x)0ax1x2x1ixixnxb1nx记第记第 i 个小区间的长度为个小区间的长度为1(1,2, ),iiixxxinix过每个分点作垂直于过每个分点作垂直于x轴的直线轴的直线, 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个窄个窄曲边梯形曲边梯形(如上图如上图). 若用若用S表示曲边梯形的面积表示曲边梯形的面积, 表示第表示第i个窄曲边梯形个窄曲边梯形(阴影阴影部分部分)的面积的面积, 则有则有iS121nniiSSSSS II.近似代替近似代替(或以直代曲或以直代曲)任意取点任意取点在每个小区间在每个小区间1,(1,2, )iixxin上任取一
7、点上任取一点 i1(),iiixx以以 为高、以小区间为高、以小区间 的长度为底的长度为底( )if1,iixx上页下页铃结束返回首页( )iifxiS( )iiifxS 则该窄矩形的面积则该窄矩形的面积 为了从近似过度到精确为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加将所有的窄矩形的面积相加, 就得曲边梯形的面积的近似值就得曲边梯形的面积的近似值, 即即11( )nniiiiiSSfxIII.求和、取极限求和、取极限作窄矩形作窄矩形 (如右图如右图).近似等于近似等于 , 即即记各小区间的最大长度为记各小区间的最大长度为12max,nxxx当分点数当分点数n无限增大且各小区间的最大长度无
8、限增大且各小区间的最大长度 1max0ii nx 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即即01lim()niiiSfx上页下页铃结束返回首页二二.定积分的定义定积分的定义 由引例知由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结为一个特殊和式的极限为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广这种和式的极限应用极广, 可解可解决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象,定义定义1.
9、1.设设(x)在在a, b上有定义上有定义, 点点 0121nnaxxxxxb1,iixx1iiixxx(1,2, ),in1,iixxi在每个小区间在每个小区间上任取一上任取一点点1(),iiixx就有定积分的定义就有定积分的定义:将区间将区间a, b任意地划分为任意地划分为n个小区间个小区间; 每个小区间每个小区间的长度为的长度为作和式作和式1( )nniiiSfx上页下页铃结束返回首页01( )lim( )nbiiaif x dxIfxi( )baf x dx0nS若当若当 时时, 有确定的极限值有确定的极限值 I, 且且 I 与区间与区间a, b的的分法和分法和 的取法无关的取法无关,
10、 则称函数则称函数(x)在区间在区间a, b上可积上可积,并称此极限值并称此极限值I为为(x)在区间在区间a, b上的定积分上的定积分, 记为记为称为积分和称为积分和.1( )nniiiSfx间其中其中(x)为被积函数为被积函数, (x)dx称为被积表达式称为被积表达式, x 称为积分称为积分变量变量, a称为积分下限称为积分下限, b称为积分上限称为积分上限, a, b称为积分区称为积分区即即注注1.1.若若( (x) )在区间在区间 a, b上可积上可积, ,则定积分则定积分的字母无关的字母无关, , 即即它仅与被积函数它仅与被积函数( (x) )和积分区间和积分区间 a, b有关有关,
11、, 而与积分变量而与积分变量( )baf x dx C 常数常数, ,上页下页铃结束返回首页注注2 2. 极限过程极限过程 , ,既保证了分点个数无限增多既保证了分点个数无限增多( ),( ),又保证了区间分割无限细密又保证了区间分割无限细密( (即所有小区间的长度都趋于即所有小区间的长度都趋于0).0).0n 因此, 对于可积函数(x), 若要用定义来计算01lim( )niiifx常数i( ),baf x dxi( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t dt若只有 则不能保证区间分割无限细密.注注3.3. ( (x) )在区间在区间 a, b上可积的充要条件是极限上可积
12、的充要条件是极限且此极限值与且此极限值与 a, b的分法和的分法和 的取法无关的取法无关. .n 则可选择较为方便的区间分法和 的取法, 使得计算简便.上页下页铃结束返回首页三三.函数可积的条件函数可积的条件 由注由注3知知, 每个函数的可积性与积分和的极限的存在每个函数的可积性与积分和的极限的存在性等价性等价, 但求积分和的极限但求积分和的极限, 却非常困难却非常困难. 定理定理1.1. 若若(x)在区间在区间a, b 上无界上无界, 则则(x)在在a, b上必不可积上必不可积.问题问题:下面给出函数可积的几个定理下面给出函数可积的几个定理: 其等价命题为其等价命题为 “可积函数必有界可积函
13、数必有界” 函数可积的必要函数可积的必要条件条件. 以下三个定理是函数可积的充分条件以下三个定理是函数可积的充分条件.定理定理2.2.若若(x)在区间在区间a, b上连续上连续, 则则(x)在在a, b上可积上可积.定理定理3.3.若若(x)在区间在区间a, b上有界且只有有限个间断点上有界且只有有限个间断点, 则则 (x)在在a, b上可积上可积.上页下页铃结束返回首页注注4.4.有了函数可积的充分条件有了函数可积的充分条件, , 就可借助定义就可借助定义1 1来来定理定理4.4.若若(x)在区间在区间a, b上单调有界上单调有界, 则则(x)在在a, b上可积上可积. .将某些极限问题转换
14、为一个定积分将某些极限问题转换为一个定积分. . .计算给定的定积分的值计算给定的定积分的值; ;上页下页铃结束返回首页注注5.5.前面的讨论中已默认区间前面的讨论中已默认区间 a, b 中的中的a b呢呢? ?为方便作如下规定为方便作如下规定: :( )0.baf x dx ( )( ).baabf x dxf x dx 且ab, 则四四.定积分的几何意义定积分的几何意义表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积;由定义1知, 当连续函数上页下页铃结束返回首页( )0,f x ( )baf x dx且且 a b时时, 定积分定积分当当(x)在在a, b上有正有负时上有正有负时, 定积分定积分(
15、)baf x dx形的面积与形的面积与 x 轴下方的曲边梯形轴下方的曲边梯形的面积之差的面积之差(即面积的代数和即面积的代数和).表示一个在表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的轴下方的曲边梯形的面积的相反数面积的相反数.的值就是的值就是 x 轴上方的曲边梯轴上方的曲边梯当当上页下页铃结束返回首页例例3 3 利用定积分的几何意义利用定积分的几何意义, 计算曲线计算曲线 y = sinx、直线、直线表示由曲线表示由曲线y = sinx 、直线、直线x=0 、 x=2 120SS12SSS但及及 x 轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积, 即即12SSS2200sin(sin)sinxdx
16、xdxx dx 解 根据题意根据题意, ,所求所求曲边梯形曲边梯形的面积如右图的面积如右图.x=0 、 x=2及及x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.利用定积分的几何意义知利用定积分的几何意义知20sin xdx上页下页铃结束返回首页例例6.3 求由曲线y=x2,y=0,x=1所围成平面图形的面积.解解 用n1个点将区间0,1分成n等份.分点分别为 过这些点作y轴的平行线,把曲边三角形分成n个小曲边梯形,把每一个小曲边梯形近似地 看成长方形.1 21,.,nn nn上页下页铃结束返回首页当我们取每一个小区间左端点的值视为矩形的高,则它们的面积依次为22233331 23(1)0
17、,.,nnnnn这n个小矩形构成的阶梯形的面积223311(1)1(1)nnnkkkSknn311 (1)(21)6n nnn21111=(1)(21)(1)(2)66nnnnn上页下页铃结束返回首页取每个小区间右端点的函数值为矩形的高,则它们的面积依次为22233331 23,.,nnnnn此时n个小矩形面积的和为3*31nnkkSn111(1)(2)6nn311 (1)(21)6n nnn上页下页铃结束返回首页nnSSS又1limlim3nnnnSS所以13S 即1201d3xx 若用S表示曲边梯形面积,由上面式子可看出上页下页铃结束返回首页6.2 6.2 定积分的的性质定积分的的性质性质
18、性质1 1 若(x)=1, 则( )bbaaf x dxdxba01limnbiaidxx性质性质2 2 若(x)与g(x)在a, b上可积, 则(x) g(x)在a, b上也可积, 且 ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ( )( )baf xg x dx注注1 1 性质2可推广到有限个, 即11( )( )nnbbiiaaiif x dxf x dx0011lim( )lim( )nniiiiiifxgx证证证证ba01lim ( )( )niiiifgx( )( )bbaaf x dxg x dx上页下页铃结束返回首页性质性质3 3. 若(x)
19、在a, b上可积, k为常数, 则k(x)在a, b上也可积, 且( )( )bbaakf x dxkf x dx01( )lim( )nbiiaikf x dxkfx01lim( )( ).nbiiaikfxkf x dx性质性质4 4(区间可加性) 若(x)在点 a、 b 、 c 所成区间中最大的一个上可积, 则(x)在其余两个区间上也可积, 且证证( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx证证 分两种情形讨论.若acb,则因(x)在a, b上可积知, 其积分和的极限存在且与a, b的分法和 的取法无关.i上页下页铃结束返回首页,kxc从而从而11( )( )knn
20、iiiiii kSfxfx 因而可将点因而可将点 c 作为区间的一个分点作为区间的一个分点, 并记并记积分和积分和, 当当 时时,11( )( )kniiiiii kfxfx 其中和0( )( )( ).bcbaacf x dxf x dxf x dx分别是分别是(x)在在a, c与与c, b上的上的对上式两边取极限对上式两边取极限, 有有上页下页铃结束返回首页. 若点 c不在内.不妨设 abc, 其他情形可类似证明, 则由有( )( )( )cbcaabf x dxf x dxf x dx( )( )( )( )( )bcccbaabacf x dxf x dxf x dxf x dxf x
21、 dx性质性质5 5 若(x)与g(x)在a, b上都可积, 且 , 均有 , xa b ( )( )bbaaf x dxg x dx则( )( ).f xg x01 ( )( )lim ( )( )0nbiiiaif xg x dxfgx证证( )( )0bbaaf x dxg x dx( )( )bbaaf x dxg x dx上页下页铃结束返回首页性质性质6 6 若若(x)在在a, b上连续上连续, ( )0f x ( )0baf x dx 但不恒为零但不恒为零, 必有必有( )0f x 0,x0()0f x0( , ),xa b0 x00(,) , xxa b而01( )()02f x
22、f x0000( )( )( )( )bxxbaaxxf x dxf x dxf x dxf x dx证证 因在因在a, b上上 但不恒为零但不恒为零,故在故在a,b上至少存在一点上至少存在一点不妨设不妨设 使得使得由由(x)的连续性知的连续性知, 在在 的某邻域内的某邻域内, 必有必有00( )xxf x dx00001()()02xxf xdxf x上页下页铃结束返回首页例例4 4 确定积分1212lnxxdx21 ( )ln ,1, ( )0 ( )0,2f xxxCf xf x解而且1212 ln0.xxdx性质性质7 7 若(x)在a, b上可积, 则|(x)|在a, b上也可积,
23、且有( )( ) ()bbaaf x dxf x dxab的符号.( )( )( )f xf xf x( )( )( )bbbaaaf x dxf x dxf x dx( )( ).bbaaf x dxf x dx证证上页下页铃结束返回首页性质性质8 8 (估值定理)若(x)在a, b上可积, 且 , ,xa b ( )mf xM()( )()bam baf x dxM ba则 ( )mf xM( )bbbaaamdxf x dxMdx证证均有()( )()bam baf x dxM ba上页下页铃结束返回首页此性质的几何解释此性质的几何解释: 区间区间a, b上方以曲线上方以曲线 y =(x
24、)为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积,介于以介于以a,b为底、为底、 以被积函数以被积函数(x)的最小值的最小值m及最大值及最大值M为为高的两个矩形的面积之间高的两个矩形的面积之间. 上页下页铃结束返回首页性质性质9 9(积分中值定理积分中值定理)若若(x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)上至少上至少,( )( )() ( , )baf x dxfbaa b 证证 因因(x)Ca,b,则则(x)在在a,b上必有上必有, 最小值最小值m及最大值及最大值M, , xa b 即( )mf xM均有均有 存在一点存在一点使得使得上页下页铃结束返回首页即即1( )( )baf x
25、dxfba( )( )() ( , )baf x dxfbaa b此性质的几何解释此性质的几何解释:注注3 3 通常把通常把1( )( )baf x dxfba 区间区间a ,b上方以曲线上方以曲线 y =(x)为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积,等于以区间等于以区间a, b为底、以为底、以() 为高的这个矩形的面积为高的这个矩形的面积.从而从而则由连续函数的介值定理则由连续函数的介值定理,1( ),bamf x dxMba至少存在一点至少存在一点(a,b), 使得使得称为称为(x)在在a, b上的平均值上的平均值.称为称为(x)在在a, b上的平均值上的平均值.上页下页铃结束返回首
26、页例例6.4 比较下列积分的大小221110001100e d , e d , e d , e d , e d .xxxxxIxJxkxxpxqxx解解 当x0,1时,有22eeeeexxxxxxxqkIpJ由性质3知令2( )ee xxf xx2( )ee2 exxxf xxx22(ee )(ee )0 xxxxxx上页下页铃结束返回首页所以f(x)在0,1上单调增加,2ee .xxx又f(0)=1,f(1)=0,故f(x)0,即上页下页铃结束返回首页例例6.5 估计定积分值的范围:22214sin(1)ed ; (2) d . xxxxx解解 (1)设 ,为估计定积分的值,先求出f(x)在
27、区间1,2上的最大值和最小值.2( )e xf x2( )2 exf xx 令 ,得唯一驻点x=0,( )0f x 且为极大值点,也是最大值点最大值 M=f(0)=e0=1上页下页铃结束返回首页22413eed3xx由定积分性质3可知又 f(1)=e1, f(2)=e4,所以最小值 m=f(2)=e4.(2)设 ,求f(x)在 上的最大值和最小值.sin( )xf xx ,4 222cossin( )(tan )cos xxxf xxxxxx上页下页铃结束返回首页当 时,x有f(x)f(),所以,当x(a,b)时( )0f x ( )0F x 上页下页铃结束返回首页例例6.9 设f(x)连续,
28、 ,求2( )()( )dxaxxtf tt( ). x22( )d2( )d( )dxxxaaaxf ttxtf ttt f tt222( )2( )d( )2( )d 2( )( )xxaa xxf ttx f xtf ttx f xx f x( )2( )d2( )2( )xa xf ttxf xxf x解解22( )(2) ( )dxaxxxttf tt2( )d2( )dxxaaxf tttf tt2( )dxaf tt上页下页铃结束返回首页二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理6.2 设f(x)在a,b上连续,F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数,则( )d( )( )
29、(6.14)baf xxF bF a证证 设( )( )d .xaxf tt因为F(x)与(x) 都是f(x)的原函数,由5.1原函数概念知,它们仅相差一个常数C,即 ( )d( )xaf ttF xC上页下页铃结束返回首页令x=a,得( )d( )0aaf ttF aC所以即( )d( )( )xaf ttF xF a令x=b,得( )d( )( )baf ttF bF aC=F(a)记 即( )( )( )| ,baF bF aF x( )d( )|( )( )bbaaf xxF xF bF a上页下页铃结束返回首页例例6.10 求下列积分:1e3013221202ln(1) d ; (2
30、) d ;d(3) |sin|d ; (4) .1xxxxxxxxx解解 134 10011(1) d|.44xxxee11ln(2) dln dlnxxxxx2 e111(ln ) |.22x上页下页铃结束返回首页(3)先去掉被积函数的绝对值符号sin , 0|sin|sin , 2xxxxx2200|sin|dsin dsin dxxx xx x332211222d(4) arcsin|1xxx20cos |cos |xx ( 1 1)1 ( 1)4 .366上页下页铃结束返回首页例例6.11 设2ee, | 12( )1, | 11xxxf xxx求31( )d .f xx解解 3131
31、11( )d( )d( )df xxf xxf xx13211eedd21xxxxx13111(e +e)|arctan|2xxx111eeeearctan 3arctan123412上页下页铃结束返回首页例例6.12 设f(x)在0,1上连续,且满足10( )( )d1f xxf tt求 及f(x).10( )df xx解解 由于 是一个常数,不妨记为A,即有10( )df xxf(x)=Ax1对等式两端从0到1作定积分,可得111000( )dddf xxAx xx112A即12AA上页下页铃结束返回首页故10( )d2Af xx ( )21f xx 上页下页铃结束返回首页例例8 8 设设
32、 (t t)是正值连续函数是正值连续函数, ( )( ),aaf xxtt dt且xttxxttxtx证 ( )( )( )( )( )( )( )xaaxfxt dtxxxxxxtt dtxx曲线在曲线在a, a上是上凹的上是上凹的.x a, a(a0).证曲线证曲线y =(x)在在 a, a上是上凹的上是上凹的. ( )() ( )() ( )xaaxf xxtt dttxt dt( )( )xxaaxt dttt dt( )( )aaxxtt dtxt dt( )( )xaaxt dttt dt( )( )( )2 ( )0fxxxx上页下页铃结束返回首页定理定理6 6 (原函数存在定理
33、)( )( )xaxf t dt注注3 3 由定理由定理5 5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数知积分上限的函数是被积函数的一个原函数. .若(x)在a, b上连续, 则 的一个原函数.是(x)在a, b上注注4 4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性此定理既肯定连续函数的原函数的存在性, , 又揭示了又揭示了定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系, ,下面利用此定理来推导通过原函数下面利用此定理来推导通过原函数来计算定积分的公式来计算定积分的公式. .上页下页铃结束返回首页二二. 牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 定理定理7 7 (微积分学基本定理微积分学基本定理) 若若(x)在在a
34、, b上连续上连续, 而而F F( (x) )是是(x)在在a, b上的一个原函数上的一个原函数, 则则( )( )( )( )babf x dxF bF aF xaC =(a)F ( a)= F(a),( )( )xaxf t dt( )( )( )( )babf x dxF bF aF xa证证 因因F F( (x) )与与均为均为(x)的原函数的原函数, 所以有所以有于是于是 (x)= F F( (x) )F ( a) 令令x=b, 则上式有则上式有(b) = F(b)F(a), 故故(x) = F F( (x) ) + C( )( )0,aaaf t dt由得上页下页铃结束返回首页注注
35、5 5 上式就是牛顿上式就是牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式. .由牛顿莱布尼兹公式知: 要求(x)在a, b上的定积分( ),baf x dx只须先求出(x)在a, b上的一个原函数F(x),再再计算F(x)在a , b上的改变量F(b) F(a)即可.注注6 6 牛顿莱布尼兹公式当然也可( )( )babf x dxf x dxa 它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法, 而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系.这样记.上页下页铃结束返回首页例例9 9 计算下列定积分3(1)bax dx131 (2)dxx1311ln3dxxx解434babxx dxa解441()4baln1l
36、n3ln3 30(3)x xt dx30) 0 , 0, atxtx xt dx 当时由得309()92x xt dxt 此定积分的被积函数含参数t并带绝对值. 而 t 的取值又无限制,它既可在0, 3之内, 也可在0, 3之外, 故应分以下三种情况讨论:上页下页铃结束返回首页)03 , ,txxtbtxtxtxt当时 由得3300()()ttx xt dxx tx dxx xt dx) 3 , 0,ctxt 当时 由得3300 ()x xt dxx tx dx992t330990219 90 3 32993 2ttx xt dxttttt故319932tt上页下页铃结束返回首页2(),baI
37、xdx ab令则) 2 , 2,aabxb当时 由得 (4)2baxdx)2 ,2 2,babxx当时 由在两侧异号 得 此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分. . 当当x2=0时时, 得得 x = 2.1(2)()(4)2baIxdxbaab22(2)(2)baIx dxxdx224222abab 因此时的区间因此时的区间a, b位置没定位置没定, 故它可能在被积函数的零故它可能在被积函数的零点的两侧点的两侧, 也可能在零点之间也可能在零点之间, 亦可能包含零点亦可能包含零点.上页下页铃结束返回首页) 2, 2,cabx当时 由得(2)(2
38、)(2)2babaIxdxb221()(4)2242222(2)(2)22baabababIababbabab上页下页铃结束返回首页例例1010 设设120( )2( ),f xxf x dx解解 令令10( ),f x dxA2( )2 ,f xxA两边从两边从0到到1积分积分, 得得11200( )(2 )f x dxAxA dx123A13A 于是则则求求(x).22 ( )3f xx故上页下页铃结束返回首页由牛顿由牛顿莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知: 计算定积分计算定积分( )baf x dx 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量变
39、量, 故用凑微分法计算定积分时故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改也应自始至终不改变积分限变积分限. 下面举例说明下面举例说明.6.4 6.4 定积分的计算方法定积分的计算方法一一.凑微分法凑微分法第五章知求函数的原函数第五章知求函数的原函数(即不定积分即不定积分)的方法有凑微分法、的方法有凑微分法、换元法和分部积分法换元法和分部积分法. 因而在一定条件下因而在一定条件下, 也可用这几也可用这几种方法来计算定积分种方法来计算定积分 .的关键在于求出的关键在于求出(x)在在a, b上的一个原函数上的一个原函数F(x); 而由而由上页下页铃结束返回首页例例1111 计算120(1)1xx
40、dx1211222001 1(1)(1)2xx dxxdx解32211 2(1)02 3x350 (2)sinsinIxxdx33222211(1 1 )(10 ) (2 21)333532sinsinsin(1 sin)xxxx解因32cossinxx上页下页铃结束返回首页3322220sinsinsinsinxdxxdx552222224sinsin0555xx2233220 cossincossinIxxdxxxdx故3232cossin0,)2cossin, 2xxxxxx上页下页铃结束返回首页一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法定理6.3 设f(x)在a,b上连续,函数 满足
41、条件( )xt(1) ( ), ( );ab (2) 在,上单调,且其导数 连续,则( ) t( ) t( )d( ( )( )d (6.15)baf xxft tt证证 因为f(x)在a,b上连续,故原函数存在,设F(x) 是f(x)的一个原函数,则有上页下页铃结束返回首页( )d( )( )baf xxF bF a又 是 的一个原函数,故( ( )( )fx x( ( )Fx( ( )( )d( ( )|ft ttFt( ( )( ( )FF ( )( )F bF a所以( )d( ( )( )dbaf xxft tt上页下页铃结束返回首页例例6.13 计算下列定积分:e22104300d
42、(1); (2)d ;3ln1(3)d ; (4)sinsind .21axaxxxxxxxx xx解解 (1)设 当x=1时,t=3;当x=e时,t=4.13ln ,dd ,txtxxe413d1d3lnxtxxt432| t42 3上页下页铃结束返回首页ee11dd(3ln )3ln3lnxxxxxe12 3ln|x42 3(2)令x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时,t=0,当x=a时, ,所以2t 22200dcoscos daaxxat at t220(1cos2 )d2att上页下页铃结束返回首页2201sin2 |22att24a (3)令 ,则 且当x=0时,t
43、=1,x=4时,t=3.21tx21,dd ,2txxt t243011112dd21txxt ttx2311()d22tt331()|62tt273116262163上页下页铃结束返回首页300(4)sinsind|cos |sin dxx xxx x202sin dsinsin dsinxxxx202sincos d( cos ) sin dxx xxx x332220222sin|sin|33xx22(1 0)(0 1)3343上页下页铃结束返回首页例例6.14 设f(x)在a,a(a0)上连续,证明:0( )d ( )()d (6.16)aaaf xxf xfxx并由此证明00,( )
44、d2( )d ,aaaf xxf xx若f(x)为奇函数若f(x)为偶函数(6.17)证证 由定积分对积分区间的可加性,有00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx对积分 作代换x=t,得0( )daf xx上页下页铃结束返回首页000( )d()( d )()daaaf xxfttfxx从而00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx00()d( )daafxxf xx0 ()( )dafxf xx当f(x)为奇函数时,有()( )0, , fxf xxa a 因此0( )d ()( )d0.aaaf xxfxf xx上页下页铃结束返回首页当f(x)为偶数时
45、,()( )2 ( ), , fxf xf xxa a 故0( )d ()( )daaaf xxfxf xx02( )daf xx上页下页铃结束返回首页注注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算定积分的计算.例例1313 计算2742122221(arctan ) cos2(1) (2)(1)5xxxdxdxxx解 (1) 被积函数为奇函数. 则原式= 0.112222102(1)(1)dxdxxx令x = tanu, 则 2secdxudu0,0,1,4xuxu且(2) 被积函数为偶函数, 故12422410112sec(1)s
46、ecdxuduxu2402cos udu224(1)secxu上页下页铃结束返回首页例例14.14.设241,0( ) ,(2).1,101cosxxexf xf xdxxx 求解 设x = t +2, 则 t = x2, d x = d t1,1,4,2xtxt 且401(1cos2 ) 22u d u411(2sin2 )(1)022 2uu4211(2)( )f xdxf t dt0210( )( )f t dtf t dt4111tan222e2021011costdttedtt202210211()22cos2tdtedtt上页下页铃结束返回首页例例6.15 设f(x)在(,+)上连
47、续,且是以T为周期的周期函数,证明:0(1)( )d( )d ;(2)( )d( )d . (6.18)b Tba Taa TTaf xxf xxf xxf xx证证 (1)作变量变换,令x=u+T,则当x=a+T时,u=a,当x=b+T时,u=b,故有( )d()db Tba Taf xxf uTu( )dbaf xx( )dbaf uu上页下页铃结束返回首页00(2)( )d( )d( )d( )da TTa TaaTf xxf xxf xxf xx由(1)可知0( )d( )da TaTf xxf xx故000( )d( )d( )d( )da TaTaaf xxf xxf xxf xx
48、若f(x)是以T为周期的奇函数,则在(2)式中取 ,2ta 0( )dTf xx上页下页铃结束返回首页2002( )d( )dTTTTf xxf xx即有周期的奇函数,在一个周期上的积分为零.得22( )d0TTf xx上页下页铃结束返回首页例例6.16 如f(x)在0,1上连续,证明:220000(1)(sin )d(cos )d ; (6.19)(2)(sin )d(sin )d . (6.20)2fxxfxxxfxxfxx证证 (1)令 ,则当x=0时, 时,t=0, 2xt,22txsinsin()cos ,dd ,2xttxt 20(cos )dftt0202(sin )d(cos
49、)( d )fxxftt上页下页铃结束返回首页由此我们可以得到2200sindcosdnnx xx x(2)令 ,则xt00(sin )d() sin()( d )xfxxt ftt0() (sin )dt ftt00(sin )d(sin )dfxxxfxx移项,得00(sin )d(sin )d2xfxxfxx上页下页铃结束返回首页例例6.17 设f(x)在1,1上连续,且满足方程130( )( )d1f xf xxx 求121( ) 1.f xx dx解解 先求出f(x).对等式两边积分111130000( )d( )dd(1)df x xf xxxxx1012( )d14f xx 10
50、3( )d8f xx 上页下页铃结束返回首页所以3335( )188f xxx 从而 11232115( ) 1d() 1d8f xxxxxx112321151d1d8xxxxx120521d08xx5 4 4516上页下页铃结束返回首页例例12 12 当当 a 0时时, , 计算计算0(1) 1adxx2 (0),2,xtttxdxtdt解令则有且012(1)2ln(1)10aadtttt0,0,xtxa ta002 11aadxtdttx故2ln(1)aa上页下页铃结束返回首页22 sin ,cos ,cosxataxatdxatdt解 令有0,0;,2xtxa t且220 (2)aax
