1、初初高高中中数数学衔学衔接接教教材材现有初高现有初高中中数学知识存在以下数学知识存在以下“脱节脱节”1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许 多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是 高中函数、不等式常用的解题技巧。4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间
2、上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本 题型与常用方法。5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在 高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却 未安排专门的讲授。6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对 其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须 掌握。7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高 中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8.几何部分很多概念（如重心、垂心等
3、）和定理（如平行线分线段比例定 理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。目目录录1.1.数与式的数与式的运运算算1.绝对值2.乘法公式3.二次根式 1.1. 分式1 12 2分解因分解因式式1.1.一一元二次元二次方方程程1.根的判别式2.1.22 22 22.2.12.2.2根与系数的关系（韦达定理） 二次函二次函数数二次函数 ya x2b xc的图像和性质 二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用3.3.方方程与不程与不等等式式1.二元二次方程组解法2.一元二次不等式解法3 31 1
4、相似相似形形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2 相似形2.2.三角三角形形1.三角形的“四心”2.几种特殊的三角形3.3.圆圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.11.1 数与式的数与式的运运算算1.1.1.1绝对绝对值值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零即a 0,a,| a | 0,a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离例 1 解不等式： x 1 x 3 4解法一：由x 1 0 ，
5、得x 1；由x 3 0 ，得x 3 ；若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，即2x 4 4，解得 x0， 又 x1，x0；若1 x 2 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，即 14，不存在满足条件的 x；若x 3 ，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ，即2x 4 4， 解得 x4又 x3，点 B之间的距离|PB|，即|PB|x3| 所以，不等式由|AB|2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P在点 D(坐标为 4)的右侧x0，或 x4练习 1填空：（1）若 x 5 ，则 x= ；若 x 4 ，则 x= .（2） 如果 a b 5 ， 且a 1， 则 b
6、 ； 若1 c 2 ， 则 c .2选择题：下列叙的是（）（A）若 a b ，则a b（C）若a b ，则 a b述正确（B）若 a b ，则a b（D）若 a b ，则a b3化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2.1.1.2. 乘法公乘法公式式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式2完全平方公式(a b)(a b) a 2 b 2 ；(a b)2 a2 2ab b2 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：1立方和公式2立方差公式3三数和平方公式4两数和立方公式5两数差立方公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 ；
7、(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) ；(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ；(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 例例 1计算：(x 1)(x 1)(x 2 x 1)(x 2 x 1) 解法一：解法一：原式=(x2 1) (x2 1)2 x2 =(x2 1)(x4 x2 1)= x6 1解法二：原式=(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)=(x3 1)(x3 1)= x6 1例 2已知a b c 4 ， ab bc ac 4 ，求a2 b2 c2 的值 解： a2 b2 c2 (a b c
8、)2 2(ab bc ac) 8 练习 1填空：22111（1）a b ( b 1 a) （） ；94（2）(4m 23)2 16m2 4m () ；) （3）(a 2b c)2 a 2 4b2 c2 (2选择题：是 一 个 完 全 平 方 式 ， 则k等 于（ 1 ） 若x2 1 mx k2）（A） m2（B） 1 m24（C） 1 m23（D） 1 m216a2 b2 2a 4b 8a，b为 何 实 数 ，的 值（ 2 ） 不 论）（A）总是正数（C）可以是零（B）总是负数（D）可以是正数也可以是负数1.1.31.1.3二次根二次根式式一般地，形如 a (a 0) 的代数式叫做二次根式根号
9、下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. . 例如 3a a2 b 2b ， a2 b2 等是无理式，而2x2 2 x 1 ， x2 2xy y2 ， a2 等是有理式21分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分分母母（子（子）有理有理化化为了进行分母（子） 有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2 与2 ，3 a 与 a ， 3 与 x ， a x b y 与a6 与 3 6 ，2 3 3 2 与2 3 3 2 ，等等一般地，a x x b y ， a x b 与a x b 互为有理
10、化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式 a b ab (a 0,b 0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 a2 的意义a 0,a2 a a,a, a 0.例 1 将下列式子化为最简二次根式：（3） 4x6 y (x 0) （2） a2b (a 0) ；3b ；b
11、 a b (a 0) ；（1） 12b ； 解： （1） 12b 2（2） a2b a（3）4x6 y 2 x3y 2x3y (x 0) 例例 2计算： 3 (3 3) 解法一：3 (3 3) 33 33 (3 3)(3 3)(3 3) 3 3 39 363( 3 1)3 1 解法二解法二：3 (3 3) 233 333( 3 1)13 13 1( 3 1)( 3 1)23 1 例 3试比较下列各组数的大小：（1） 12 11 和 11 10 ；（2）26 4和2 2 6 .解 ： （1） 12 11 12 11 ( 12 11)( 12 11) 112 11，111 10 111 10 (
12、11 12 1110)( 11 10) 111 1011 10，又 12 11 11 10 ， 12 11 11 10 ,（2） 2 2 6 22 6 (2 2 6)(2 2 + 6) 212 2+ 62 2+ 6又 42 2， 64 62 2，26 4 2 2 6 .例 4化简：( 3 2)2004 (3 2)2005 解：( 3 ( 3 2)2004 (2)2004 (3 3 2)20052)2004 ( ( 3 20042) (3 2)3 2)12004 (2) ( 3 3 2) 3 2 例 5化简：（1） 9 4 5 ；x2（2）x2 1 2(0 x 1) 解：（1）原式5 4 5 4
13、( 5)2 2 2 5 22(2 5)2 2 5 5 2 （2）原式= (x 1)2 x 1 ，xx 0 x 1， 1 1 x ，x3 3 2 , y 3 2所以，原式 1 x x2 ，求3x2 5xy 3y2 的值 例 6已知x 解： x y 3 23 2 3 3 23 22 ( 3 2)2 ( 3 2)2 10 ，xy 3 2 3 3 23 22 1 ， 3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy 3102 11 289 练习 1填空：（1） 11 33 ；（2）若 (5 x)( x 3)2 ( x 3) 5 x ，则x 的取值范围是_ _；（3） 4 24 6 54 3 96 2
14、150 ；（4）若x 5 ，则2x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 12选择题： 等式xxx 2x 2成立的条件是（）（A） x 2（C） x 2（D） 0 x 23若b a2 1 1 a2a 1 （B） x 0，求a b 的值4比较大小：2 3 5 4（填“”，或“ ” ） 1.1.1.1.分分式式B1分式的意义形如 A 的式子，若 B中含有字母，且B 0 ，则称 A 为分分式式当 M0 时，分B式 A 具有下列性质：BA A M ；BB MA A M BB M上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式ac d2mn p像 b ， m n p 这样，分子或分母中又含有分式的
15、分式叫做繁分式繁分式例 1B若 5x 4 A x(x 2)xx 2，求常数 A, B 的值解： A B A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4xx 2x(x 2)x(x 2)x(x 2)， A B 5,2 A 4,解得A 2, B 3 例 2（1）试证：11n(n 1)nn 1 1 （其中 n是正整数） ；111（2）计算：1 22 39 10；（3）证明：对任意大于 1 的正整数n， 有1112 33 4n(n 1)2 1 （1）证明： 1 1 (n 1) n 1nn 1n(n 1)n(n 1)，11 1 n(n 1)nn 1（其中 n是正整数）成立（2）解：由（1）可知1111
16、22 39 10 (1 1) ( 1 1) (1 1 )1010223910 1 1 9 （3）证明：1112 33 4n( n 1)12334nn 1( 1 1) (1 1 ) ( 1 )1 1 2n 1，又 n2，且 n是正整数， 1一定为正数，n11112 33 4n( n 1)1 2例 3设e c ，且 e1，2c25a c2a20，求 e的值a解：在 2c25a c2a20 两边同除以 a2，得 2e25e20，(2e1)(e2)0，1e 1，舍去；或 e2 2e2练习1填空题：对任意的正整数 n，1n(n 2)1( 1 nn 2)；2选择题： 若2x y 2x y3，则x y（）（
17、A）（B） 54（C） 45（D） 65x y3正数x, y 满足x2 y2 2xy ，求 x y 的值11114计算 .1 22 33 499 100习习题题 1 11 1 A A组组1解不等式：(2)x 3 x 2 7 ；(1)x 1 3 ；(3)x 1 x 1 6 已知x y 1，求x3 y3 3xy 的值3填空：（1）(2 3)18 (2 3)19 ；（2）若 (1 a)2 (1 a)2 2 ，则a 的取值范围是 ；（3）11111122 33 44 55 6B B组组1填空：1123（1） a ， b ，则3a2 ab3a2 5ab 2b2 ；（2）若x2 xy 2y2 0 ，则x2
18、 3xy y2x2 y2 ；2已知： x 1 , y 1 ，求23yy的值x yx yC C组组1选择题：（1）若a b 2 ab b a，则（C） a b 0（）（A） a b2）（B） a b计算a 1a（D） b a 0等于（）（A） a（B） a（C） a（D） a2解方程2(x2 1 ) 3(x 1) 1 0 1x21113计算：1 32 43 59 11x 4试证：对任意的正整数 n，有1111 2 32 3 4n( n 1)( n 2)1 41.1.1绝对值1（1） 5 ； 4（2） 4 ； 1或32D33x181.1.2乘法公式（3） 4ab 2ac 4bc1（1） 1 a 1
19、 b322（1）D（2） 1 , 12 4（2）A1.1.3二次根式（2） 3 x 5（3） 8 6（4） 5 1 （1） 3 22C3141.1.4分式1122B32 14 99100习题 11 A 组1（1） x 2 或x 4（2）4x3（3）x3，或 x3213（1） 2 3 （2） 1 a 1 （3） 6 1B 组521（1） 3（2），或715241 （1）C（2）C1222 x 1 , x 24提示：11C 组3 36551 1 n(n 1)(n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)1 12 2分解因分解因式式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，
20、另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法 例 1分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3） x2 (a b)xy aby2 ；（4） xy 1 x y 解： （1）如图 121，将二次项 x2 分解成图中的两个 x的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x3x22 中的一次项，所以，有x3x22(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的两个 x用 1 来表示（如图 122 所示） 12xx图 1211211图 1222611图 123aybyxx图 124（2）由图 123，得x4x21
21、2(x2)(x6)（3）由图 124，得x2 (a b)xy aby2 (x ay)(x by)（4） xy 1 x y xy(xy)1(x1) (y+1) （如图 125 所示） 2.提取公因式法与分组分解法 例 2分解因式：（1） x3 9 3x2 3x ；（2） 2x2 xy y2 4x 5 y 6 解：（1） x3 9 3x2 3x =(x3 3x2 ) (3x 9) = x2 (x 3) 3(x 3)=(x 3)(x2 3) 或x3 9 3x2 3x (x3 3x2 3x 1) 8 (x 1)3 8 (x 1)3 23(x 1) 2(x 1) 2 (x 1) 2 22(x 3)(x2
22、 3) （2） 2x2 xy y2 4x 5 y 6 = 2x2 ( y 4)x y2 5 y 6= 2x2 ( y 4)x ( y 2)( y 3) =(2x y 2)(x y 3) 或2x2 xy y2 4x 5 y 6 =(2x2 xy y2 ) (4x 5 y) 6=(2x y)(x y) (4x 5 y) 6=(2x y 2)(x y 3) 3.关于 x x的二次三项式 a a x x2 2+ +b b x x+ +c c(a a0 0)的因式分解12若若关关于于 x x的的方方程程 ax2 bx c 0(a 0) 的的两两个实个实数数根根是是 x 、 x ，则则二次二次三三项项式式
23、ax2 bx c(a 0) 就可分解就可分解为为a(x x )(x x ) . .12例 3把下列关于 x的二次多项式分解因式：（1） x2 2x 1；（2） x2 4xy 4 y2 解： （1）令x2 2x 1=0，则解得x 12 ， x 12 ，12 x2 2x 1= x (12) x (12) =(x 1 2)(x 12) 11xy图 125（2）令x2 4xy 4 y2 =0，则解得x (2 2 2) y ， x (2 2 2) y ，11 x2 4xy 4 y2 =x 2(1 2) yx 2(1 2) y 练习 1选择题：（）（C） x 3y（D） x 5y多项式2x2 xy 15
24、y2 的一个因式为（A） 2x 5 y（B） x 3y2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4） 4(x y 1) y( y 2x) 习习题题 1 12 21分解因式：（1） a3 1；（2） 4x4 13x2 9 ；（3） b2 c2 2ab 2ac 2bc ；（4） 3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4 2在实数范围内因式分解：（1） x2 5x 3 ；（2） x2 2 2x 3 ；（3） 3x2 4xy y2 ；（4）(x2 2x)2 7(x2 2x) 12 3 ABC 三边a ， b ， c 满足a2 b2 c2 ab bc ca ，试判定ABC 的形
25、状 4分解因式：xx2(aa)21.2 分解因式1 B 2（1）(x2)(x4)（3）(x 1 2)(x 11 （1） a 1a2 a 1（3） b c b c 2a （2）(2a b)(4a2 2ab b2 ) 2)（4）(2 y)(2x y 2) 习题 12（2） 2x 32x 3x 1x 1（4） 3y y 4x 2 y 122 2（1） x 5 13 x 5 13 ；（2） x 2 5 x 2 5 ；33 （3） 3 x 2 7 y x 2 7 y ；（4） x 3(x 1)(x 1 5)(x 1 5) 3等边三角形4(x a 1)(x a)2.12.1一元二次一元二次方方程程2.1.
26、12.1.1 根的判别根的判别式式我们知道，对于一元二次方程 a xb xc0（a02） ，用配方法可以将其变 形为2a4a 2(x b )2 b 4ac 2因为 a0，所以，4a20于是（1）当 b24a c0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根x1，22a b b2 4ac ；（2）当 b24a c0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根122axx b ；（3）当 b24a c0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x b )22a一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 a x2b xc0（a0）的根的情况可以由 b24a
27、 c来判定，我们把 b24a c叫做一元二次方程 a x2b xc0（a0）的根根的的判判别别 式式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元对于一元二二次方次方程程 a a x x2 2b b x xc c0 0（a a0 0） ，有有（1 1）当当0 0 时，方程时，方程有有两个不相等的实两个不相等的实数数根根x1，22a b b2 4ac ；（2 2）当当0 0 时，方程时，方程有有两个相等的实数两个相等的实数根根122axx b ；（3 3）当当0 0 时，方程时，方程没没有实数根有实数根例 1判定下列关于 x的方程的根的情况（其中 a为常数） ， 如果方程有实数根，写出方程的实数根（1
28、）x23x30；（3） x2a x(a1)0；（2）x2a x10；（4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定 有两个不等的实数根x1 22a a2 4a a2 4，x2 （3）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a 2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当 a2 时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a 1（3）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1 a)，所以当0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根x1 1 1 a ，x
29、2 1 1 a ；当0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根xx1；2 1当0，即 a1 时，方程没有实数根说明说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对 a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分分 类类讨讨论论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.22.1.2根与系数根与系数的的关系（韦达定理关系（韦达定理） 若一元二次方程a xb xc02（a0）有两个实数根所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：2 21 12 21 12 2ba如如果果 axaxbxbxc
30、 c0 0（a a00）的的两两根分别根分别是是 x x，x x，那那么么 x xx x ，x xx x1 12 2a c 这一关系也被称为韦达定理韦达定理212pxq0，若 x，x 是其特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x两根，由韦达定理可知即x1x2p，x1x2q， p(x1x2)，qx1x2，12所以，方程 xpxq0 可化为 x(xx)程 x222pxq0 的两根，出 k的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦 达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二 次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之 和求出 k的值解法一
31、：2 是方程的一个根，522k260，k721235所以，方程就为 5x7x60，解得 x2，x1212所以，方程的另的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m的方程，从而解得 m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得2xx2(m2)，xxm4122212x x xx21，21212(xx) 3 xx21，即2(m 2)23(m24)21， 化简，得m216m170，解得m1，或 m17当 m1 时，方程为 x6x50，0，满足题意；2当 m17 时， 方程为 x320 x2930， 302412
32、930， 不合题意， 舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所 对应的 m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的 判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分 别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二 次方程来求解解法一：设这两个数分别是 x，y，则xy4，xy12由，得y4x， 代入，得x(4x)12，即x24x120， y 6,x12，x26 x1 2,或x2 6, y 2.
33、 1 212因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120的两个根解这个方程，得x12，x26 所以，这两个数是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题） 要比解法一简捷2例 5若 x 和 x 分别是一元二次方程 2x5x30 的两根12（1）求| x1x2|的值；（2）求 1x 2x 2 1的值；1233（3）x x 12解：x 和 x 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，122x x 5，1 22x x 3）22212121 23 2294x 2x 2( 5)2 2 ( 3)25 31 1 x1 x2 (x1 x2
34、 ) 2x1x2 22 4x 2 x 2(x x )2( ) 37 933222121211 2212121 2（3）x x (xx)( x xxx )(xx) ( xx) 3xx2228( 5 )( 5 )23( 3 ) 215 12说明：一元二次方程的两根之两根之差差的绝对值的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：2设 x 和 x 分别是一元二次方程 axbxc0（a0），则22a， x b b 4ac ，212| xx| b b2 4ac b b2 4ac 2 b2 4ac 2a2a2ab2 4ac | a | a |于是有下
35、面的结论：1 12 2若若 x x 和和 x x 分别分别是是一元二次一元二次方方程程 axax2 21 12 2| a |bxbxc c0 0（a a00），），则则| | x xx x| |（其（其中中b b2 24 4a a c c） 今后， 在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 可以直接利用上面的结论 例 6若关于 x的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a的取值范围解：设 x1，x2 是方程的两根，则x1x2a40，且(1)24(a4)0 由得a4，由得a417 a的取值范围是 a4练习 1选择题：（1）方程x2 2 3kx 3k 2 0 的 习习题题
36、2.12.1A A组组1.选择题:1已知关于 x的方程 xk x202的一个根是 1， 则它的另一个根是 （）（A）3（B）3（C）2（D）22下列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 7 ；3方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（A）1 个（B）2 个（C）3 个（）（D）4 个（3）关于 x的一元二次方程 a x25xa2a0 的一个根是 0，则 a的值是（）（A）0（B）1（C）1（D）0，或 1 2填空:（1）方程 k x24x
37、10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x40 的两根为，则22 （3）已知关于 x的方程 x2a x3a0 的一个根是2，则它的另一个根是 21212（4）方程 2x2x10 的两根为 x 和 x，则| xx| 3.试判定当 m取何值时，关于 x的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两 个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数B B组组1选择题:若关于 x的方程 x2 (k2 1) xk10 的两根互为相反数，则 k的值为（）（A）1，或1（B）1（C）1（D）0 2填空:1若 m，n是方程 x
38、22005x10 的两个实数根，则 m2nm n2m n的值等 于 2如果 a，b是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2ba b2b3 的值是 3已知关于 x的方程 x2k x2041提示：(x3)1( x32)x1 x32(xx)92 1习习题题 2 21 12 （1）2006提示：mn2005，m n1，m2nm n2m nm n(mn1)1(20051)2006（2）3提示；ab1，a b1，a3a2ba b2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22a b(1)(1)22(1)3 3 （1）(k)241(2)k280，方程一定有两个不相等
39、的实数根（2）x1x2k，x1x22，2k2，即 k14 （1）| x1x2| a |b2 4acx x， 12 21233；（2）x x a3b3abc b32a5| x1x2| 16 4m 2 4 m 2 ，m3把 m3 代入方程，0，满 足题意，m3C C 组组1 （1）B（2）A（3）C提整数的实数 k的整数值为2，3 和5121 28（3）当 k2 时，xx1，xx 1 ， 2，得 x1 x2 28，即 1 6 ，2 61 0 ，x2x1 3 2 2 4（1） 2(m 1)2 2 0 ；24m1 21212（2）xx0，x0，x0，或 x0，x0若 x10，x20，则 x2x12，x
40、1x22，m22，m4此12时，方程为 x22x40， x 1 5 ， x 1 5 若 x10，x20，则x2x12，x1x22，m22，212m0此时，方程为 x20，x0，x25设方程的两根为 x1，x2，则 x1x21，x1x2a， 由一根大于 1、另一根小于 1，得(x11)( x21)2.2.2.2.1 1二次函二次函数数 y ya a x xb b x xc c的图像和的图像和性性2 2质质 问题 1函数 ya x2 与 yx2 的图象之间存在怎样的关？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x，y21 x，y2x2 2的图象，通2过这些函数图象与函数 yx2 的图象之间的关系，推导
41、出函数 ya x2 与 yx2 的图象之间所存在的关系先画出函数 yx，y2x2 2的图象 先列表：x3 210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2 的图象（如 图 21 所示） ， 从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的 关系：函数 y2x2 的图象可以由函数 yx2 的图象各点的纵坐标 变为原来的两倍得到同学们也可以象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函二次函数数 y ya a x x2 2( (a a0 0) )的图象可以的图象
42、可以由由 y yx x2 2 的图象各点的的图象各点的纵纵 坐标坐标变变为原来为原来的的 a a倍得到倍得到在二在二次次函函数数 y ya a x x2 2( (a a0 0) )中中，二次二次项项 系系数数 a a决决定定了了图图象象的的开口开口方方向向和和在在同同一个一个坐坐标标系系中的中的开开口口的的大大 小小yx2y2x2图 2.2-1xOy问题 2函数 ya(xh)2k与 ya x2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关 系 同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2 的图象 （如图 22 所示） ， 从函数的同学我们不
43、难发现，只要把函数 y 2x2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以 得到函数 y2(x1)21 的图象这两个函数图象之间具有 “形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二二次次函函数数 y ya a( (x xh h) )2 2k k( (a a0 0) )中中，a a决决定定了二了二次次函函数数图图象的象的开开口大小及方口大小及方向向；h h决定决定了了二次函数图二次函数图象象的左右平的左右平移移，而而 且且 “h h正左正左移移，h h负右移负右移” ；k k决定
44、决定了了二次函数二次函数图图象的上下象的上下平平移移 而而且且“k k正上移正上移，k k负下负下移移” 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 ya x2b x c(a0)的图象的方法：由于 ya x2b xca(x2 bx )ca(x2 b x aa2 b4a22)c b4a22a4abb2 4ac a(x ) ，所以，ya x2b xc(a0)的图象可以看作是将函数 ya x2 的图象作左右平 移、上下平移得到的，于是，二次函数 ya x2b xc(a0)具有下列性质：（ 1 1 ） 当当 a a 0 0 时时， 函函数数 y ya a x x2 2 b b x xc c 图图象象开开口
45、口向向上上； 顶顶点点坐坐标标为为2a4a(,b4ac b2bb2a2a) ，对称对称轴轴为直为直线线 x x；当当 x x 时时，y y随随着着 x x的增的增大大而减小而减小；2a2a4a当当 x x b 时时，y y随随着着 x x的增大而的增大而增增大大； 当当 x x b 时时， 函数取最函数取最小小值值 y y 4ac b2 （ 2 ） 当当 a a 0 0 时时， 函函数数 y ya a x x2 2 b b x xc c 图图象象开开口口向向下下； 顶顶点点坐坐标标为为2a4a(,b4ac b2bb2a2a) ，对称对称轴轴为直为直线线 x x；当当 x x 时时，y y随随着
46、着 x x的增的增大大而增大而增大；2a2a4a当当 x x b 时时，y y随随着着 x x的增大而的增大而减减小小； 当当 x x b 时时， 函数取最函数取最大大值值 y y 4ac b2 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出 来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合 的思想方法来解决问题例 1 求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值（或最小值） ， 并指出当 x取何值时，y随 x的增大而增大（或减小）？ 并画出该函数的图象解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向图 2.2-2xO1y2(
47、x1)2y2x2yy2(x1)21x /元130150165y/件705035例 2某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产 品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：若日销售量 y是销售价 x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润， 每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y又是销 售价 x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天 利润的最大值解：由于设每天的利润为 z（元） ， 则 z(
48、x+200)(x120)x3220 x24000(x160)21600，当 x160 时，z取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元例 3把二次函数 yxbxc的图像向上平移22 个单位，再向左平移 4 个 单位，得到函数 yx2 的图像，求 b，c的值2解法一：yxb xc2(x+ b )2 c b ，把它的图像向上平移 2 个单位，再24242 2向左平移 4 个单位， 得到 y (x b 4)c b 2 的图像， 也就是函数 yx2 的图像，所以，4b2 b 4 0, 2c 2 0,解得 b8，c14解法二：把二次函数 yx2b xc的图像向上平
49、移 2 个单位，再向左平移 4个单位，得到函数 yx2 的图像，等价于把二次函数 yx2 的图像向下平移 2 个 单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2b xc的图像由于把二次函数 yx2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得 到函数 y(x4)22 的图像，即为 yx28x14 的图像，函数 yx28x14 与函数 yx2b xc表示同一个函数，b8，c14说明： 本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题， 所以， 同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向 的思维来解决的，其运算量相对较大
50、；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在 解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例 4已知函数 yx2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最 小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x的值分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a的取值进行讨 论解： （1）当 a2 时，函数 yx2 的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x2；2当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 xa时，函数取最小值 ya2；3当 0a2 时，由图
