1、广东省2022届高三综合能力测试（二）数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分150分考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回第卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1. 已知集合，则集
2、合的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合，利用集合的子集个数公式可得结果.【详解】因为，则，因此，集合的子集个数为.故选：D.2. 若复数z满足，则复平面内表示的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算规则求出z即可【详解】则z对应点在第四象限故选：D3. 在正方形中，为的中点，若，则的值为A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】先求出,再求即得解.【详解】由题得,.故选B【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
3、平和分析推理能力.4. 某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则的值至少为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据题意建立不等式，即可解出q的最小值.【详解】因为该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，所以2024年的生活垃圾
4、为20+4=24（万吨）；因为从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的倍，所以2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为（万吨）所以解得：.故的值至少为.故选：C【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围5. 函数的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于轴对称C. 关于直线对称D. 关于点对称【答案】B【解析】【分析】利用
5、函数奇偶性的定义可得结论.【详解】令，对任意的，即函数的定义域为，因此，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称.故选：B.6. 下雨天开车，由于道路条件变差，司机的视线受阻，会给交通安全带来很大的影响交警统计了某个路口300天的天气和交通情况，300天中有90天下雨，有50天发生了交通事故，其中有30天既下雨又发生了交通事故，则估计该路口“下雨天发生交通事故的概率”是“非雨天发生交通事故概率”的（ ）A. 1.5倍B. 2.5倍C. 3.5倍D. 4.5倍【答案】C【解析】【分析】求得“下雨天发生交通事故的概率”和“非雨天发生交通事故概率”，由此求得正确答案.【详解】下雨天发生交通事故的概率为，
6、非雨天发生交通事故概率为，倍.故选：C7. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案【详解】第1次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为；第2次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；第3次画线：
7、以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；第4次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为；第5次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；前5次累计画线；第6次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；第7次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为；第8次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；第9次画线：以点为圆心，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确故选：A另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：故选：A8. 已知异面
8、直线、所成的角为，其公垂线段的长度为，长度为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ）（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】C【解析】【分析】不妨设，设线段的中点为，过点分别作直线，作直线，以点为坐标原点，直线、所成角的角平分线所在直线作轴，直线所在直线为轴建立空间直角坐标系，设点、，可得出，设线段的中点为，利用中点坐标公式和相关点法可求得点的轨迹方程，即可得解.【详解】不妨设，设线段的中点为，过点分别作直线，作直线，以点为坐标原点，直线、所成角的角平分线所在直线作轴，直线所在直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设点、
9、，可得，设线段的中点为，则，可得，所以，即.因此，线段的中点的轨迹为椭圆.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（ ）A. 近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显B. 近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大C. 近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大D. 近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势【答案】ABC【解析】【分析】利用折线图逐项判断可得出合适选项.【详解】对于
10、A选项，由图可知，近四年北京师范大学录取分数排名比较稳定，排名变化最不明显，A对；对于B选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的平均值为，华南师范大学录取分数排名的平均值为，由图观察可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名的平均值都比湖南师范大学录取分数排名的小，B对；对于C选项，近四年，湖南师范大学录取分数排名的极差为，华南师范大学录取分数排名的极差为，由图可知，华中师范大学和北京师范大学录取分数排名变化不大，这两所学校录取分数排名的极差比华南师范大学录取分数排名的极差小，故近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大，C对.对于D选项，近四年华中师范大学录取分数的排名越来越靠前，该校的生
11、源质量越来越好，D错.故选：ABC.10. 设是给定的平面，、是不在内的任意两点，则（ ）A. 在内存在直线与直线平行B. 在内存在直线与直线相交C. 在内存在直线与直线垂直D. 存在过直线的平面与垂直【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用线面垂直的性质可判断C选项的正误；利用面面垂直的判定定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，若在内存在直线与直线平行，且平面，则平面，但直线与平面不一定平行，A错；对于B选项，当直线平面，则平面内的直线与直线平行或异面，B错；对于C选项，设、在内的射影点为、，连接，存在直线平面，使得，因为，则，则，则平面，平
12、面，则，C对；对于D选项，由C选项可知，平面，则平面，且平面，D对.故选：CD.11. 已知，则（ ）A. ，的最小正周期为B. ，C. ，使得为偶函数D. ，使得为奇函数【答案】BC【解析】【分析】取可判断A选项的正误；利用辅助角公式可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用奇函数的定义可判断D选项的正误.【详解】，对于A选项，取，则为常函数，A错；对于B选项，B对；对于C选项，取，则，此时函数为偶函数，C对；对于D选项，若函数为奇函数，由，得，可得，但，则，可得，D错.故选：BC.12. 记数列的前n项和为，则k可以等于（ ）A. 8B. 9C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析
13、】分别讨论为1，3，5的情况，根据等差数列前n项和公式即可求解【详解】若时，令，则，方程不存在正整数解；时，令，则或，k=8满足题意；当时，令，则，方程不存在正整数解；k能取8故选：A第卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 展开式的第项为_【答案】【解析】【分析】利用二项式定理可得结果.【详解】由二项式定理可知，展开式的第项为.故答案为：.14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用三倍角的余弦公式求解【详解】，设，则，代入上式得，故答案为：15. 在平面直角坐标系中，设，直线与直线交于点圆，则的最大值为_【答案】#【解析】【分析】分析可得，利用勾股定理
14、得出，利用基本不等式可求得最大值.【详解】直线过定点，直线的方程为，直线过定点，因为，所以，所以，由勾股定理可得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.16. 已知函数，当时，恒成立，则_【答案】-3【解析】【分析】可以取特殊值时，恒成立，从而求出a和b【详解】当时，恒成立，则对任意恒成立，则时，恒成立+，代入代入，证明满足题意：，则，1极大值：1极小值：1由表可知，|f(x)|1在-1，1上恒成立满足题意故答案为：-3.【点睛】本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a和b的不等式组，求出a和b的范围，从而确定a和b的取值四、解答题：本题共6
15、小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于100元的商品就有资格参加一次抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的10个球，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，购物者在箱中摸两个球，球的编号之和为11视为中奖，其余情况不中奖（1）求抽奖活动中奖的概率；（2）某顾客准备分别购买两件原价为200元、300元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总付款额的分布列【答案】（1）； （2）见解析【解析】【分析】(1)根据古典概率的算法进行计算，求出10个小球选两个的总共可能，求出两个
16、球编号之和为11的可能，中奖的概率为；(2)设总付款额为X，则X的所有取值为：250，350，400，500，分别求出概率即可【小问1详解】用x，y表示两个球的编号，则样本点可以用表示，样本空间，设事件“顾客能中奖”，；【小问2详解】设总付款额为X，则X的所有取值为：250，350，400，500，设事件“购买200元商品时中奖”，事件“购买300元商品时中奖”，与相互独立，则，总付款额X的分布列为：X250350400500P18. 已知等比数列的公比，是、的等差中项，设数列的前项和为（1）求；（2）证明：数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列【答案】（1）； （2）证明见解析
17、.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于的方程，即可解得的值；（2）求得，分、两种情况化简的表达式，结合等差中项法可得出结论.【小问1详解】解：由题得，则，因为，所以，解得（舍去）或，所以公比【小问2详解】解：由题意，当，时，当，时，当数列中的连续三项为、，由，可得、成等差数列；当数列中的连续三项为，由，可得、成等差数列综上，数列中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列19. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且（1）若角B为钝角，求ABC的面积；（2）若，求a【答案】（1）； （2）6【解析】【分析】(1)由余弦定理和基本不等式得到a与c的关系
18、，再根据三角形边长为正整数求a与c；(2)用正弦定理和余弦定理转化角的关系为边的关系，在分类讨论求出边长【小问1详解】由角B为钝角，则，即；又，即，且a，因此或符合题意故，则，因此ABC的面积为【小问2详解】由，得，由正弦定理，可得；由余弦定理，得，若，则，故，则，此时，不符合题意，由，得，又，即，则a，故当时，有，而，故能构成三角形，故20. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并做答：（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值条件：；条件：；条件：平面平面注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分【答案】
19、（1）见解析； （2）【解析】【分析】若选择条件：则不能解决两个问题；若选择条件：则可以解决(1)问，不能解决(2)问：(1)问分析：证明和即可；若选择条件：则可以解决两个问题：(1)证明和即可；(2)以点A原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用直线方向和平面法向量进行求解【小问1详解】若选择条件：则不能解决两个问题；若选择条件：则可以解决(1)问，不能解决(2)问；(1)平面平面，平面平面，平面ABC，又平面ABC，则连接，则，又，平面，又平面，则又，AB平面若选择条件：则可以解决两个问题：平面平面，平面平面，平面ABC，又平面ABC，则，则，即又，AB平面【小问2详解】若选择条件：则可以
20、解决两个问题由(1)题设，可以点A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，且则B(0，0，0)，C(0，0，4)，(0，4，0)，(0，4，4)，设平面的一个法向量为，则由，可取设直线与平面所成角为，则21. 已知椭圆C：，F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且，求k的取值范围【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)根据几何关系求解a、b、c得椭圆方程；(2)设直线为，联立直线方程和椭圆方程，得到根与系数的关系，求出MN中点Q的坐标，由知PQMN，故，由此求出k与m的关系，在结合D0即可得到k的取值范
21、围【小问1详解】由上顶点P到F的距离为2，可得，又，故，从而椭圆C的标准方程为【小问2详解】当时，由椭圆的对称性，显然成立当时，设直线l为，联立，得，则，即(*)，设，则，故线段MN的中点为，从而直线PQ的斜率为，由，得，即，即，故由(*)式，即，可得，即，故，解得，且综上所述，k的取值范围为22. 已知函数，其中（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）的递增区间为，递减区间为； （2）.【解析】【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间和递减区间；（2）分、两种情况讨论，利用不等式的基本性质验证不等式是否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
22、【小问1详解】解：当时，令，则，当且仅当时取等号，因此，是增函数，即是增函数又因为，所以当时，；当时，所以的递增区间为，递减区间为小问2详解】解：由（1）可知，令，则，令，则，当时，令，则，令，则，因此是增函数，即是增函数又因为，所以当时，；当时，则在单调递减，在单调递增，于是，进而有，是增函数，即是增函数，又因为，所以当时，；当时，则在单调递减，在单调递增于是，符合题意；当时，令，即，可得，所以，当时，所以在上是减函数，则当时，进而在上是减函数，于是，当时，不合题意综上，实数的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，本题在求解实数的取值范围是较为麻烦，可充分利用（1）中的结论，分、两种情况讨论，利用函数单调性来验证不等式恒成立.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。试卷地址：在组卷网浏览本卷组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。钱老师QQ：537008204曹老师QQ：713000635
