1、20212022学年度高三年级第一学期淮安六校第一次联考数学试卷第I卷(选择题) (共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)的定义域为( )A1，3 B(1，3 C(，1) D3，)【答案】B【考点】函数的定义域求解【解析】由题意可知，解得1x3，即定义域为(1，3，故答案选B2若a，b，cR，ab，则下列不等式恒成立的是( )A Ba2b2 C Da|c|b|c|【答案】C【考点】不等关系的判断【解析】由题意可知， 若a0b，则，故选项A错误；若a1，b2，则a2b2，故选项B错误；因为ab，且0，所以，故
2、选项C正确；若c1，则选项D错误；综上，答案选C3若a，b，c满足2a3，blog25，clog32，则( )Acab Bbca Cabc Dcba【答案】A【考点】比较大小【解析】由题意可知，因为2a3，所以blog23log221，而blog25log23，clog32log331，所以cab，故答案选A4已知x0，y0，且x3y，则y的最大值为( )A1 B C2 D【答案】D【考点】基本不等式的应用【解析】由题意可知，x3y，则x3y，因为x0，所以x3y22，当且仅当x，即x1时等号成立，即3y2，又y0，所以可化为3y22y10，解得0y，即y的最大值为，故答案选D52021年5月
3、，中国西部地区地震频繁，据中国地震台网正式测定，5月21日21时48分，云南大理州漾濞县发生里氏6.4级地震；5月22日2时4分，青海省玛多县发生里氏7.4级地震科学家通过研究，发现地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.81.5M设漾濞县地震所释放的能量为E1，玛多县地震所释放的能量为E2，则约等于( )A10 B15 C30 D32【答案】D【考点】新情景问题下的指对数的运算【解析】由题意可知，lgE24.81.57.4，lgE14.81.56.4，所以lgE2lgE1lg1.5，所以101.532，故答案选D6已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时
4、，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集为( )A(3，7) B(4，5) C(7，3) D(2，6)【答案】C【考点】利用函数的性质解不等式【解析】由题意可知，因为函数f(x)为偶函数，所以f(|x2|)f(x2)，则不等式f(x2)5可化为f(|x2|)5，即|x2|24|x2|5，可化为(|x2|1)(|x2|5)0，解得|x2|5，解得7x3，故答案选C7函数f(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是( )A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(3)f(3)f(2)f(2) C0f(3)f(2)f(3)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3)【答案】B【考点】导数
5、的几何意义、函数的切线斜率【解析】由题意可知，由图象可知函数在(0，)上单调递增，故f(x)0，结合图形由导数的几何意义，即切线的斜率可知，f(3)f(3)f(2)f(2)，故答案选B8已知函数f(x)ax(a1)，若存在实m，n使得f(x)的定义域和值域都为m，n，则实数a的取值范围为( )A(1，e B(1，a2) B(1，) D(，e)【答案】C【考点】函数的定义域与值域、构造新函数、数形结合等【解析】由题意可知，amm，ann，则函数axx(x0)有两个不等的根，即xlnalnx，化为lna(x0)有两个不等的根，即曲线g(x)与直线ylna有两个交点，因为g(x)，所以当x(0，e)
6、时，g(x)0，即函数g(x)单调递增；当x(e，)时，g(x)0，即函数g(x)单调递减，所以当xe时，g(x)maxg(e)，且易知当x趋向于0时，g(x)趋向于，当x趋向于时，g(x)趋向于0，所以曲线g(x)与直线ylna有两个交点，可得0lna，解得1a，故答案选C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9已知a0，b0，且a1，b1，若logab1，则下列不等式可能正确的是( )A(b1)(ba)0 B(a1)(ab)0C(a1)(b1)0 D(a1)(ba)0【答案】AD【考点】
7、函数的单调性应用【解析】由题意，因为logab1，且logaa1，所以当a1时，则ba，即ba1，所以(b1)(ba)0，(a1)(ba)0，故选项A、D正确；当0a1时，则0ba1，所以(a1)(ab)0，(a1)(b1)0，故选项B、C错误；综上，答案选AD10已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x3)f(x1)，若当x0，2时，f(x)2x1，则下列结论正确的是( )A当x2，0时， Bf(2019)1Cyf(x)的图像关于点(2，0)对称 D函数g(x)f(x)log2x有3个零点【答案】ABD【考点】函数的性质综合应用【解析】由题意，已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x3)
8、f(x1)，即该函数周期为4，又因为x0，2时，f(x)2x1，当x2，0时，x0，2，f(x)f(x)，所以选项A正确；f(2019)f(45051)f(1)f(1)1，所以选项B正确；yf(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)f(1)0，但是f(3)f(1)f(1)1，f(3)f(1)0与f(3)f(1)0矛盾，所以选项C错误；可作出函数的图象即可得到，函数有3个零点，所以选项D正确；综上，答案选ABD11函数的图像可能是( )【答案】ABC 【考点】函数图像的识别与判断【解析】由题意，若a0，不妨取a1，则f(x)，则函数定义域为R，且为奇函数，当x0时，f(0)0，当x0时，函数
9、可化为f(x)，则f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，0)，(0，1)上单调递增，故选项B可能；若a0，不妨取a1，则f(x)，定义域为x|x1，且为奇函数，当x0时，f(0)0，当x0时，则f(x)在(，1)，(1，0)，(0，1)，(1，)上单调递减，故选项A可能；故不可能是选项D；综上，答案选ABC12已知函数f(x)exax，xR(e为自然对数)，则下列判断正确的是( )A当a1时，函数f(x)在(，0)上单调递增B当a0时，f(x)lnx3在(0，)上恒成立C对任意的a0，函数f(x)在(，0)上一定存在零点D存在a0，函数f(x)有唯一极小值【答案】CD【考点】含参函数
10、的综合应用：单调性、恒成立、零点、极值等【解析】由题意，对于选项A，当a1时，f(x)exx，f(x)ex1，当x0时，f(x)0，故f(x)在区间(，0)上单调递减，故选项A错误；对于选项B，当a0时，f(x)ex，此时f(x)lnxexlnx，因为f(1)ln1e103，故选项B错误；对于选项C，当a0时，f(x)exax，f(x)exa0，故f(x)在R上为增函数，又f(0)1，f()e10，f(x)在区间(，0)上一定存在零点，故选项C正确；对于选项D，取a2，则f(x)ex2x，f(x)ex2，当xln2时，f(x)0，当xln2时，f(x)0，故f(x)有唯一的极小值点xln2，故
11、选项D正确；综上，答案选CD第II卷(非选择题) (共90分)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知函数f(x)，则f(2022) 【答案】2 【考点】分段函数求函数值【解析】由题意可知，f(2022)f(2019)f(2022)f(0)log3(01)2214已知函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)，且当xy时，f(x)f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x) 【答案】f(x)2x(答案不唯一) 【考点】开放性试题：函数的性质应用【解析】由题意，因为f(xy)f(x)f(y)，所以考虑指数函数f(x)ax，当xy时，f(x)f(y)，所以a1，则可写出一个符
12、合的条件为：f(x)2x15已知函数f(x)axx23，g(x)4x2，若对于任意x1，x2(0，1，都有f(x1)g(x2)成立，则a的取值范围为 【答案】0，) 【考点】函数的恒成立问题【解析】由题意，f(x)axx23，g(x)4x2，且对于任意x1，x2(0，1，都有f(x1)g(x2)成立，则f(x1)ming(x2)max，因为g(x)4x2在(0，1上单调递增，所以g(x)maxg(1)2，所以axx232对于任意任意x(0，1恒成立，即ax对于任意x(0，1恒成立，又在区间(0，1上单调递增，所以h(x)maxh(1)0，所以a0，则a的取值范围为0，)16已知函数f(x)，若
13、a1，则不等式f(x)1的解集为 ；若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则实数a的取值范围为 【答案】(，0；(，2)(4，)【考点】双空题：分段函数解不等式、零点问题【解析】由题意，当a1时，f(x)，若x1，即2x1，解得x0；若x1，即x21，解得1x1，故f(x)1的解集为(，0；g(x)f(x)b的零点问题可转化为yf(x)和yb图象的交点可题，即2xx2时，x2或x4，当a2时，f(x)，此时g(x)f(x)b只有一个零点；当a2时，g(x)有2个零点；当a4时，f(x)，此时g(x)f(x)b只有一个零点；当a4时，有2个零点；当2a4时，g(x)最多只有1个零点，
14、故可得a的取值范围是(，2)(4，)四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知命题p：$xR，命题p为真命题时实数a的取值集合为A(1)求集合A；(2)设集合Ba|2m3am1，若xB是xA的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】集合与逻辑用语的综合应用【解析】(1)命题P为真命题时，则D44a20，得1a1，Aa|1a1 5分(2)xB是xA的必要不充分条件，AB， (等号不能同时成立)，得0m110分18(本小题满分12分)已知关于x的不等式ax23x20的解集为x|x1或xb(b1)(1)求a，b的值：(2)当x0，y
15、0，且满足时，有恒成立，求k的取值范围【考点】三个“二次”的关系转化、基本不等式于恒成立的应用【解析】(1)因为不等式ax23x20的解集为x|x1或xb(b1)，所以1和b是方程的两个实数根，且a0，所以，解得 5分(2)由(1)知于是有，故8，当且仅当时，等号成立，依题意有(2xy)mink2k2，即8k2k2，得k2k60，解得3k2，所以k的取值范围为3，2 12分19(本小题满分12分)已知函数f(x)lnxax1(aR)(1)当a4时，求f(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围【考点】函数的切线方程求解、零点问题【解析】(1)当a4时，f
16、(x)lnx4x1，f(1)3f(x)4，f(1)3，切线方程为y33(x1)，即3xy0； 4分(2)函数的定义域是(0，)，令f(x)0，则，设，则h(x)a与g(x)的图象在(0，)上有两个交点，令g(x)0，则x1，当0x1，g(x)0；当x1时，g(x)0g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)单调递减， 8分，当x1时，g(x)0，a的取值范围是(0，1) 12分20(本小题满分12分)在f(x)f(x)0，f(x)f(x)0，f(2)f(2)这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答已知函数)满足 (1)求a的值；(2)若函数，证明：g(x2x)【考点】结构不良题：函数
17、的性质综合应用、证明不等式【解析】若选择f(x)f(x)0，因为f(x)f(x)0，所以，所以，所以x0，a0，此时求不出a的具体值，所以不能选若选择f(x)f(x)0，(1)因为f(x)f(x)0，所以log0，所以lo， 4分所以，解得a1， 6分(2)由(1)知，所以，9分所以x2x 12分若选择f(2)f(2)，(1)因为f(2)f(2)，所以，所以(1， 4分所以4a41，所以a1 6分(2)由(1)知x)log2(x)，所以x1，9分所以x2x 12分21(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在区间a，bD，使f(x)在a，b上的值域为a，b，则称f
18、(x)为“不动函数”(1)求证：函数f(x)2是“不动函数”；(2)若函数k是“不动函数”，求实数k的取值范围【考点】新定义函数的证明与应用【解析】证明：(1)要证：存在区间a，b使得在a，b上的值域为a，b，又由于在R是一个单调递增的函数，故只需证存在实数a，b满足ab，且有，观察得，即存在a1，b2符合题意，故函数是“不动函数” 5分(2)由题意，定义域为1，)，即存在实数a，b满足1ab，使得g(x)在区间a，b上的值域为(a，b，由于在定义域1，)上单调递增，从而有，该方程组等价于方程在1，)有至少2个解，即在1，)上至少有2个解，即yk和yx的图像至少有2个交点， 8分记，则t0，且
19、，从而有，记h(t)t2t1，配方得，又h(0)1，作出的图像可知，时有两个交点，综上，k的取值范围 12分22(本小题满分12分)已知函数(1)若不等式f(x)m在区间1，3上有解，求实数m的取值范围；(2)已知函数F(x)f(x)ax，aR，若x0是F(x)的极大值点，求的取值范围【考点】函数中不等式的有解问题、函数的极值的应用【解析】(1)若不等式f(x)m在x1，3上有解，则f(x)minm，因为，所以f(x)，令g(x)x2x5(x)2，x1，3，则易知g(x)在1，3上单调递减，且g(1)50，g(3)10故存在x1(1，3)，使得f(x)在区间1，x1)上单调递增，在连区间(x1，3上单调递减所以当x1，3时，f(x)minminf(1)，f(3)，故实数m的取值范围为，) 5分(2)由题意知ax，所以F(x)，记G(x)，则G(x)(x1)(x4)e，所以G(x)在(，1)上单调递增，在(1，4)上单调递减，在(4，)上单调递增8分因为x0是F(x)的极大值点，所以1x04，且(x02，所以，记h(x)，则4)exe(x1)(x4)， 10分所以函数h(x)在(1，0)上单调递减，在(0，4)上单调递增，易知h(0)4，所以当x(1，4)时，4h(x)，所以4F(x0)，即F(x0)的取值范围为4，) 12分
