1、镇江市网络同步助学平台镇江市网络同步助学平台专家系列讲座专家系列讲座九年级数学九年级数学(二二) 同学们同学们,当老师提问或请同当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键再点击播放键.矩形、菱形、正方形的性质与判定矩形、菱形、正方形的性质与判定 单单 位：镇江市外国语学校位：镇江市外国语学校主主 讲：李讲：李 娜娜 审审 稿：镇江市教研室稿：镇江市教研室 黄厚忠黄厚忠 庄志红庄志红 学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈 熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及判定方法
2、， 能利用它们的性质及判定方法证明线段、角之间的数量或位置关系。定义性质判定方法两组对边分别平行的四边形对边相等；对角相等；对角线互相平分。定义；两组对边相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；对角线互相平分的四边形；两组对角分别相等的四边形。平行四边形平行四边形定义定义矩形菱形正方形边边角角对角对角线线两组对边分别平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分对边相等，四条边都相等.对角相等邻角互补对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角对边相等，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等每一条对角线平分一组对角平行四边形平行四边形矩矩形形菱菱形形正正方方形形平行四边形、矩形、菱形
3、、正方形的关系平平行行四四边边形形四四边边形形矩形矩形菱形菱形正正方方形形有一个内角是直角有一个内角是直角对角线相等对角线相等有一组邻边相等有一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直四条边都相等四条边都相等有三个角是直角有三个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等对角线互相垂直对角线互相垂直有一个内角是直角有一个内角是直角对角线相等对角线相等是轴对称图形：是轴对称图形：2条4条2条对称性：矩形、菱形、正方形也是中心对称图形，对称中心是其对角线的交点。类型一：计算类问题 A D B C O8460矩形矩形ABCD120?4例1： 已知:矩形ABCD的两条对角线相交于点O, AOD=120, AB
4、= 4cm, 则矩形对角线的长为_. A D B C O认真观察图形，你认真观察图形，你还有其他方法吗？还有其他方法吗？30BDAB21点评：矩形的两条对角线的交角为120（或60），则矩形被对角线分成的四个三角形中有两个等边三角形。分析：S菱形ABCD =ABDE21 S菱形ABCD = ACBDABDE= ACBD21CODBAE菱形菱形ABCD1312利用面积相等构造方程的方法，例2：在菱形ABCD中，点O是对角线AC与BD的交点，且在AOB中，AB=13，OA=12，求菱形ABCD两对边之间的距离。叫做等积法。叫做等积法。CODBA BD=2OB=10. 故S菱形ABCD = AC.B
5、D= 2410=120 S菱形ABCD =ABDE, 即13DE =120 , DE= 212113120512132222OABAOBE解:过点D作DEAB ，垂足为E， 菱形ABCD,ACBD,OA=OC,OB=OD. 在RtAOB中,由勾股定理可得点评： 在解决有关菱形的边、角问题时，常依据菱形的对角线互相垂直，转化到菱形的对角线和边组成的直角三角形中解题。CODBA分析：连结AC，易得ABE ACF。AEF为等边三角形，AEF=60例3：如图, E、F分别为菱形ABCD中BC、CD上的点,且B=EAF=60,求AEF的度数分析：（方法二）连结AC，可得ABC为等边三角形BAC=ACD=
6、60，由EAF=60，可得BAE=CAF，ACF是ABE绕点A旋转60得到，AE=AF，得AEF为等边三角形，AEF=60点评：点评： 菱形具有平行四边形的所有性质，且四条边相等，故在解决菱形的有关问题时，常需连结其对角线构造等腰三角形，运用等腰三角形的性质解题。FEDACBB22及时反馈1CABD1.矩形ABCD的顶点A，B，C，D按照顺时针方向排列，若在平面直角坐标系中，B，D两点对应的坐标分别是（2，0），（0，0），且A，C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（ ）A、(1,1)B、(1,-1) C、 (1,-2) D 、( ,- ) 2.已知正方形ABCD，以AD为边作等边三角形AD
7、E，求BEC的度数_ 分析：分析：本题应分两种情况考虑：本题应分两种情况考虑：(1)点点E在正方形在正方形ABCD的外部的外部;(2)点点E在正方形在正方形ABCD的内部的内部. 然后应用正方形和等边三角形的然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解有关特征即可求解.2 2、已知正方形已知正方形ABCDABCD，以，以ADAD为边作等边三角形为边作等边三角形ADEADE，求求BECBEC的度数的度数_有的同学的答案是30，你认为正确吗？解：(1) 当点E在正方形ABCD的外部CDE9060150，DEADDC，DECECD(180150)215.同理可推得ABE15.则BECAEDAEBDE
8、C60151530.点评：以正方形的一边画等边三角形有两种情况，点评：以正方形的一边画等边三角形有两种情况，解此题时容易漏解解此题时容易漏解 。本题中渗透着分类的。本题中渗透着分类的数学思想。数学思想。(2) 如图当点E在正方形ABCD的内部时，EAB30,AEADAB,因此AEBABE(18030)275.同理可推得DEC75.则BEC360AEBAEDDEC 360756075 150.所以BEC的度数为30或150例4 :将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你会得到什么图形？你能解释其中的道理吗？ABCDO类型二：操作类问题 四条边相等四条边相等 如果想得到一个正方形
9、，该怎么剪？如果想得到一个正方形，该怎么剪？并解释你这样做的道理。并解释你这样做的道理。ABCDO想一想想一想例5：几个工人师傅试图做一个铝合金窗框，（1）小李师傅先截出两对相等长度的铝合金窗料， 使AB=CD，EF=GH.HFDBACEG（2）接下来，摆成如图所示的四边形，）接下来，摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理：根据的数学道理： 。HFDBACEG平行四边形平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）小王师傅是这样做的：他将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，这
10、时窗框是 形，你知道这其中的道理吗？矩矩有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形如果让你做设计师，你还有什么方法得到如果让你做设计师，你还有什么方法得到合格的窗框吗？合格的窗框吗？想一想：想一想：ABCDABCDAC=BDC4EDACBEB3 3、如图，有一块矩形纸片、如图，有一块矩形纸片ABCDABCD，AB=10AB=10，AD=6AD=6，将纸片折，将纸片折叠，使叠，使ADAD边落在边落在ABAB边上，折痕为边上，折痕为AEAE，再将，再将AEDAED以以DEDE为折痕为折痕向右折叠，向右折叠，AEAE与与BCBC交于点交于点F F，则，则CEFCEF的面积为的面
11、积为 （ ）(A) (A) 4 4 (B)6(B)6 (C)8 (C)8 (D)10(D)1010664666444454524 4、如图：矩形纸片、如图：矩形纸片ABCDABCD，ABAB=2=2，点点E E在在BCBC上，且上，且AE=ECAE=EC若将纸片若将纸片沿沿AEAE折叠，点折叠，点B B恰好落在恰好落在ACAC上，上，则则ACAC是是2类型三：推理类问题典型例题三:推理类问题例6：己知：ABCD，直线EF分别截直线AB、CD于E、F，EG、FG、FH、EH分别平分AEF、 EFC、 EFD，BEF，试判断四边形EGFH的形状。HGFEABDC AEB是平角, GEH=90 同理
12、可得H=90,则四边形EGFH是矩形证明:EG平分AEF,FG平分EFC, 1 = AEF, 2 = EFC, ABCD, AEF+ EFC=180. 1+ 2=90.G=90,212112点评:在两条直线平行的前提下，同旁内角的角平分线的夹角是直角;邻补角的角平分线的夹角也是直角HGFEABDC（1）图中有等腰三角形吗？请证明。解:图中有等腰三角形EOC和FOC.证明:MNBC1=3.EC平分ACB, 1=22=3, OE=OC.同理OC=OF.EOC、FOC都是等腰三角形。分析：（1）结合题中角平分线和平行线位置， 必存在等腰三角形EFCBAOPMN123例7：如图，在ABC中，点O是边A
13、C上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交PCA的平分线于点F。（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明。证明：由得OE=OC=OF，当O为AC中点时，四边形AECF是平行四边形.EC平分ACB,FC平分ACP.ECO+OCF=90,即ECF=90.四边形AECF是矩形.分析：（2）由邻补角的角平分线的夹角是直角， 由（1）得：OE=OF，只要O为AC中点时， 就有四边形AECF是矩形；EFCBAOP（3）在（2）中的矩形可能是正方形吗？此时ABC应满足什么条件？分析：（3）对角线互相垂直的矩形是正方形，只要说明ACB是直角就可以了。EFCBAOP MN
14、BC,当ACB=90时,ACB=AOE=90.即对角线互相垂直。又由知，对角线相等且互相平分.此时中的矩形是正方形.即当ABC中的ACB是直角时,中的矩形是正方形.5、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从AB=CD；ABCD；OA=OC；OB=OD；ACBD；AC平分BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形，如 ABCD是菱形，再写出符合要求的两个:_ 四边形ABCD是菱形; _ 四边形ABCD是菱形.FEDCBA6、如图，AB=AC，D是BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，当A满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？及时反馈3FEDCBA证明:连结AD.
15、因为AB=AC,BD=CD, 所以AD平分CAB, 又因为DEAB,DFAC,所以DE=DF. 因为AED=AFD=90, 所以当A=90.即得矩形AEDF 又因为DE=DF,所以矩形AEDF是正方形.6、如图，AB=AC，D是BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，当A满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？掌握的思想方法：掌握的思想方法：1.1.数形结合数形结合2.2.方程思想方程思想3.3.分类思想分类思想4.4.化归思想化归思想 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
