1、知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日1第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分1.含 参 量 反 常 积 分 的 定 义2.含参量反常积分一致收敛的定义3.含参量反常积分一致收敛的判别方法4.含参量反常积分一致收敛的性质主要内容主要内容知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日2本节研究形如本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的含参变量广义积分(无穷限积分，无界无穷限积分，无界函数的积分函
2、数的积分)的连续性、可微性与可积性。的连续性、可微性与可积性。)(,),(为瑕点bdxyxfba知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日3.一含参量反常积分及一致收敛定义设设 定义在无界区域定义在无界区域 若对每一个固定的若对每一个固定的 , 反常积分反常积分 : ( )( , ), , cI xf x y dyxa b记作x都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数, , ba称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分, 或或 x, ba
3、 简称为简称为含参量反常积分含参量反常积分.( , ),Rx y axb cy , xa b( , )cf x y dy( , )f x y知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日4含参量反常积分一致收敛的定义对于含参量反常积分对于含参量反常积分 与函数与函数 )(xIcdyyxf),(00 , 0,( ),Ac AxaA Ab 若都有 则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上上一致收敛一致收敛于于 .( )I x( , )cf x y dy , a b( , )( , ),AAAf x y dyf
4、 x y dy或(1). 含参量无穷广义积分知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日5(2). 含参量瑕积分( , ) , dcf x y dyxa byd 设I(x)=对于有奇点，又对每一个x，这个有奇点的瑕积分存在，）无关），（与若bax)(, 00时，使当)(,00,),(),(dddddyyxfdyyxf或( , ).dcf x y dyab则称含参瑕积分I(x)=在 ， 上一致收敛知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日
5、星期日日星期日6二.含参量反常积分一致收敛的判别方法 一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的上一致收敛的cdyyxf),(, ba120, , ,McA AMxa b 充要条件是都有.),(21AAdyyxf知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日7 一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的上一致收敛的( , )af x y dx , c d120, , ,MaA AMyc d 充要条件是都有21( , ).AAf x y dx知难而进知难而进 ,
6、 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日8魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法|( , )|( ),f x yF xaxcyd , .yc d关于一致收敛若 收敛，则 ( )( , )aI yf x y dx( )aF x dx设有函数设有函数 ,使得使得( )F x(1).af xydx对于含参量积分I(y)=（ ， ）有知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日9证明证明AAAAAAdxxFdxyxfdx
7、yxf)(| ),(|),(adxxF)(因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有|)(|, 000AAdxxFAAAaA从而,dcyAAAAdxxFdxyxf)(),(所以 关于,dcy一致收敛。adxyxf),(知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日10 魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法:设有函数设有函数 ,使得使得( )F y( , )( ),.f x yF y axb cy ( )cF y dy若收敛，( , ) , .cf x y dya b则I(x)=关于x上一致收敛(2).cf
8、 xydy对于含参量积分I(x)=（ ， ）有知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日11证明证明( , )| ( , )|( )AAAAAAf x y dyf x y dyF y dy因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有( )cFy dy000,|( )|AAAcA AAF y dy 从而 , xa b ( , )( )AAAAf x y dyF y dy所以 关于 , xa b一致收敛。( , )cf x y dy知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含
9、参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日12 阿贝耳判别法:;,),()(上上一一致致收收敛敛在在若若badyyxfic ( ) , ,( , ),iixa bg x yyx 函数为 的单调函数, 且对参量则含参量反常积分 cdyyxgyxf),(),(.,上上一一致致收收敛敛在在ba( , ) , g x ya b在上一致有界知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日13.,上一致收敛在ba则含参量反常积分( ) , ,( ), ( , )0,iixa bg xyyx g x y 函数关于
10、是单调递减 且当时对参量一致地收敛于cdyyxgyxf),(),( 狄利克雷判别法狄利克雷判别法; , ,xa b对参数 在上一致有界( ),( , )NciNcf x y dy若含参量反常积分知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日14三、含参量反常积分一致收敛的性质1. 连续性定理( , ) , ,)f x ya bc设在上连续,( )( , ) , ,( )( , ) , .ccI xf x y dya bI xf x y dya b+,在上一致收敛 则函数在上连续( )( , ) , ,aI yf
11、 x y dxc d+a在上一致收敛 则函数I(y)=f(x,y)dx在c,d上连续.( , )( , )|,f x yx yaxcyd 设在上连续(1)(2)知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日15:注连续性定理说明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换顺序000lim( , )( , )lim ( , )cccx xx xf x y dyf x y dyf x y dy知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期
12、日日星期日16证明证明:因为 在 内一致收敛，所以adxyxf),(,dc000, , ,|( , )|AAaAAyc df x y dx 因此，当 时，, dcyAdxyyxf),(又 在 上连续，所以作为 的函数在 连续，于是),(yxf,;,dcAaAadxyxf),(y,dc(就就(1)的情况的情况)知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日17,|, 0, 0时当yAaAadxyxfdxyyxf),(),(从而，当 时，有 | y3),(),(),(),(| )()(|AAAaAadxyxfdxy
13、yxfdxyxfdxyyxfyIyyI定理证毕。知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日182. 积分顺序交换定理adcdcadyyxfdxdxyxfdy),(),(设 在 上连续， 关于在 上一致收敛，则 在可积，并且),(yxf,;,dcay,dcadxyxf),(adxyxfyI),()(,dc即积分顺序可以交换即积分顺序可以交换.证明证明(从略从略)(1).af xydx对于含参量积分I(y)=（ ， ）有可积性定理可积性定理知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积
14、分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日19(2).cf xydy对于含参量积分I(x)=（ ， ）有 可积性定理可积性定理若上连续在区域设，cbayxf),),(cdyyxfxI),()(且上可积在则上一致收敛在，baxIba,)(,( , )( , ) .bbaccadxf x y dydyf x y dx 知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日203. 积分号下求导的定理aadxyxfydxyxfdyd),(),(设 在 上连续， 收敛， 关于 在 上一致收敛，则),(),(yx
15、fyxfy,;,dcay,dcadxyxf),(aydxyxf),(adxyxfyI),()(在 可导，且,dc即求导和积分顺序可以交换即求导和积分顺序可以交换.可微性定理可微性定理(1).af xydx对于含参量积分I(y)=（ ， ）有知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日21可微性定理可微性定理若上连续在区域与设，cbayxfyxfx),),(),(,上收敛在bacdyyxfxI),()(且上可微在则致收敛，baxI,)(,cxdyyxf),(上一在, ba.),()(cxdyyxfxI.),()
16、,(dyyxfxdyyxfdxdcc(2).cf xydy对于含参量积分I(x)=（ ， ）有知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日22证明证明:aydxyxfy),()(因为 在 连续，由连续性定理),(yxfy,;,dca在 连续，,dc 沿区间 积分 ，得到)(,dycyc)(y( )( , )( , )( , )( , )( )( )yyyyyccaacaay dydyfx y dxdxfx y dyf x y dxf x c dxI yI cadxyxfdydy),()(在上式两端对 求导，得
17、y定理证毕。(就就(1)的情况的情况)知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日23知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日24:1例:证明,111cos22xxxyRy有由于收敛而反常积分021xdx故有魏尔斯特拉斯判别法知20cos1xydxx证明反常积分证明反常积分20cos1xydxx在在 R上一致收敛上一致收敛.含参量反常积分含参量反常积分在在R上一致收敛上一致收敛.知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十
18、八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日252:例:证收敛由于反常积分dxxx0sin), 0,(上一致收敛它在对于参量当然dy，单调且对任何对每个函数, 0),(dxeyxgxy0,0( , )1.xyyd xg x ye都有（有界）由知,含参阿贝耳判别法量反常积分0sinxyxedxx证明含参量反常积分证明含参量反常积分在在0,d上一致收敛上一致收敛. 0sinxyxedxx在在0,d上一致收敛上一致收敛. 知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日263
19、:例:证明.),22axuxeeau有收敛而无穷积分02dxeax魏尔斯特拉故有斯判别法知20uxedx证明含参量反常积分证明含参量反常积分在在 上一致收敛上一致收敛 . ),a)0( a含参量反常积分含参量反常积分 20uxedx在在 上一致收敛上一致收敛 . ),a)0( a知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日27例例4 证明证明证明: （1）用分段处理的方法. |sin|2Ayxydxe|sin|2Aytdteyy02|sin|dteyyt|sin|2yy()知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不
20、摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日28因为 0sinlim0yyy|sin|2Ayxydxesin|(1)2yy22|sin|yxxeyey又知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日292|sin|2yxAeydxy ，（ ）|sin|2Ayxydxe), 0 y知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日30例例5 计算积分 0) , 0 ( , sinsin
21、abpdxxaxbxeIpx解解 00sinsincosbpxpxabxaxIedxexydy dxxsinsincosbabxaxxydyx0cosbpxadxexydy220cosbbpxaapdyexydxdypyarctanarctanbapp知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日31例例 6 利用积分号下求导求积分 012)()(nnaxdxaI解解 因为 10212)(1)(1nnaxax00 aa012)()(nnaxdxaI因为 aaxaaxdx2arctan1|002故 02axdxd
22、ad022)(axdx2/ 3)21(2a知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日320222axdxdad032)(2axdx2/5)23)(21(2a由数学归纳法易证02axdxdadnn012)(!) 1(nnaxdxn2122!)!12() 1(2nnnan于是 012)()(nnaxdxaI212!)!2(!)!12(2nann知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日33例例7 计算积分计算积分 0)(22
23、2dxexax解解 0)(222dxexax02)(2dxeaxax0)(22dxeexaxa令 txaxdtet202)()1 (2dxxaexax知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日340)(2xadexax0)(2dxexax在第二项积分中令 yxa得 0)(2xadexax0)(2dyeyay故 0)(222dxexax0)(22dxeexaxaae2222-t0taee d知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期
24、日日星期日35小 结(2), 含参量反常积分一致收敛的定义;(1), 含参量反常积分的定义;(3), 含参量反常积分一致收敛的判别;一致收敛的柯西准则:一致收敛的充要条件;魏尔斯特拉斯判别法;知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日36 P264: 2 (2)(3), 4 (1)(3) ,5 阿贝耳判别法;狄利克雷判别法;(4), 含参量反常积分的性质;( i), 连续性;(ii), 可微性;作业作业(iii), 可积性;知难而进知难而进 , 无坚不摧无坚不摧第十八章第十八章 含参变量的反常积分含参变量的反常积分2022年年3月月20日星期日日星期日37
