1、一一. .数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 21 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 1001 6 9 15 7 2 返回下页上页则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数( (分分) )。即。即1691572406070809010040404040404076.5()分定义定义4.1 设设X是离散型随机变量，它的分布是离散型随机变量，它的分布律是律是: P(X=xk)=pk ,
2、k=1,2,11,()x px pk kk kkkE X如果级数绝对收敛 则称级数为X的数学期望 记为上页下页返回例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望。的数学期望。2761)(61kkXE 返回下页上页 例例3 某厂生产的产品中，某厂生产的产品中，25%是一等品，是一等品，50 %是二等品，是二等品，15 %是三等品，是三等品，10 %是次品。如果每件一，二，三等品分是次品。如果每件一，二，三等品分别获利别获利5、4、3元，一件次品亏损元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每元，试问该厂可以期望每件产品获利多少元？件产品获利多少元？
3、解解 设设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变量，其分布律为量，其分布律为Xpi-2 3 4 50.1 0.15 0.5 0.25 定义定义 4.2 设设X是连续型随机变量，其概率是连续型随机变量，其概率密度函数为密度函数为f(x), - x ,|( )xf x dx若收敛则称则称 .dx)x(xf)X(E为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望。所以所以E(X)=(-2)x0.1+3x0.15+4x0.5+5x0.25=3.5即每生产一件产品平均获利即每生产一件产品平均获利3.5元。元。上页下页返回例例4. 若随机变量若随机变量X服从拉
4、普拉斯分布，其密度函数为服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求试求E(X).xxfexp21)(解解dxxxXEexp2)(dtttxt|exp2令 dttexp0返回下页上页例例5 5：设随机变量：设随机变量X X的分布律为的分布律为解解:求随机变量求随机变量Y=X2的数学期望的数学期望XPk-1 0 1111 333YPk1 0 21 3332310321)(YE4.1.2.4.1.2.随机变量函数的期望随机变量函数的期望返回下页上页 定理定理1 设设X是离散型随机变量是离散型随机变量,它的分布律它的分布律PX=xk=pk, k=1,2, 则则Y=g(X)（g是连续实函是连续实函数）数）,若若
5、 g(xk)pk绝对收敛，绝对收敛， 则则Y的期望的期望E(g(X)为为.)()()(1kkkpxgXgEYE推论推论: : 设设(X, Y)(X, Y)是二维离散型随机变量，它们的是二维离散型随机变量，它们的联合分布律为联合分布律为 PX=x PX=xi i ,Y=y,Y=yj, j,= p= pij ij, , i, j=1, 2, i, j=1, 2, , , 则则Z= g(XZ= g(X，Y)Y)的期望的期望.),(),()(11ijijijpyxgYXgEZE返回下页上页例例6 6 设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律如下，求的分布律如下，求E(XY)E(XY)x y 1
6、200.150.1510.450.25解解:)(XYE15. 01015. 02045. 01125. 02195. 0返回下页上页定理定理2 设设X是连续型随机变量，它的概率是连续型随机变量，它的概率密度为密度为f(x), Y=g(X) (g是连续实函数是连续实函数),若若 绝对收敛，则绝对收敛，则Y=g(X)的期望的期望 .dx)x( f )x(g)X(gE)Y(E推论推论 设设(X, Y)(X, Y)是二维连续型随机变量，它的概率是二维连续型随机变量，它的概率密度为密度为f (x, y), Z=g(X, Y) (g是连续实函数是连续实函数) 绝对收敛绝对收敛,则则Z=g(X, Y)的的期
7、望期望 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE返回下页上页( ) ( )g x f x dx( , ) ( , )g x y f x y dxdy 例例7 7 长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于每时的1010分、分、3030分、分、5555分分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解解:设乘客于某时设乘客于某时X分到达车站分到达车站,候车时间为候车时间为Y,则则60557055305530103010010)(XXXXXXXXXgYothersxxfX
8、0600601)(600)(601)(dxxgYE=10分分25秒秒返回下页上页010305560例例8 设设X服从服从N(0，1)分布，求分布，求E(X2),E(X3),E(X4)2221)(xexfdxexXEx22222)(222xdexdxex22211返回下页上页dxexXEx23322)(0dxexXEx24422)(2322xdexdxexx222233返回下页上页1. E(c)=c,c为常数为常数;2。E(cX)=cE(X), c为常数为常数;4.1.3.数学期望的性质数学期望的性质证明证明:设设Xf(x),则则dxxcxfcXE)()()()(XcEdxxxfc返回下页上页3
9、. E(X+Y)=E(X)+E(Y);证明证明:设设(X,Y)f(x,y) dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxxf),( dxdyyxyf),(dxdyyxfx),( dydxyxfy),(dxxxfX)(dyyyfY)()()(YEXE返回下页上页4. 若若X与与Y独立，则独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明证明:设设(X,Y)f(x,y) dxdyyxxyfXYE),()( dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE返回下页上页例例9.9.设某种疾病的发病率为设某种疾病的发病率为1%1%，在，在10001000个人中普查个人中普
10、查这种疾病这种疾病, ,为此要化验每个人的血。方法是，每为此要化验每个人的血。方法是，每100100个人一组，把从个人一组，把从100100个人抽来的血混在一起化验，个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数次数解解:设设Xj为第为第j组的化验次数，组的化验次数，10,.1jXjPj1 101100%)99(100%)99(1X为为1000人的化验次数，则人的化验次数，则返回下页上页99. 010011 1000100)()()(1
11、01101jjjjXEXEXE)99. 01)(101(99. 010100100644)99. 01)(101(99. 0100100jEX返回下页上页例例10 若若XB(n,p),求求E(X)解解:设设01iX第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则niiXX1pXEi)(niiXEXE1)()(nppni1返回下页上页例例11 若有若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有把看上去样子相同的钥匙，其中，只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除去。试用下面两种方法取求试开次数去。试用下面两种方法取求试开次数X的数学期望的数学期望。（1）写出）写出X的分布律；的分布律； （2）不写出）不写出X的分布律；的分布律；解解111(1) ,1,2,. .knknPP XkknnP1111()2nnkknE XkP Xkkn精品课件精品课件！精品课件精品课件！(2)0iiiX第 把钥匙打开锁令其他1niiXX则而而1, ,iiiP XiE Xinn所以所以1111()()(12.)2nniiiinE XEXE Xnn
