1、第50讲 解决复数问题的实数化思想【高考地位】复数是中学数学中重要内容之一，也是高考考查重点之一。它具有熔代数、三角、几何于一炉特点，应用广泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互转化，在教学(复习)中可纵横联系，不仅有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力，而且有益于培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意识。在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属低中档题.方法 实数化法万能模板内 容使用场景求复数问题解题模板第一步 首先观察复数的形式；第二步 然后根据分母实数化并由复数的概念对其进行求解；第三步 得出结论.例1. 【海南省2021届高三年级第二
2、次模拟考试】在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限.故选：D.例2、已知，其中是实数， 是虚数单位，则_【答案】【解析】由题意， ，则，所以。例3、【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】【变式演练1】【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试】若复数z为纯虚数，且，则（ ）ABCD2【答案】D【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数为纯虚数，即可求解.【详解】由题意，复数，因为复数为纯虚数，
3、所以，解得.故选：D.【变式演练2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数 ，在平面里对应的点为 故结果为B。【变式演练3】若复数满足，是虚数单位，则的虚部为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由有，所以有，虚部为,选B.考点：复数基本运算.【变式演练4】设复数，则复数的模为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：,故选C.考点：1.复数的乘除运算；2.复数的模.【高考再现】1（2021浙江高考真题）已知，(i为虚数单位)，则（ ）AB1CD3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要
4、条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.2（2021全国高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.3（2021北京高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：.故选：D.4（2021全国高考真题）已知，则（ ）ABCD【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选
5、：C.5（2021全国高考真题（理）设，则（ ）ABCD【答案】C【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.6【2020年高考全国卷文数2】若，则（ ）A B C D 【答案】C【思路导引】先根据将化简，再根据向量的模的计算公式即可求出【解析】，故选C【专家解读】本题考查了复数的运算，考查复数模长的计算公式，考查数学运算学科素养 7【2020年高考全国卷理数1】若，则（ ）A0B1CD2【答案】D【思路导引】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.【解析】由题意可得：，则，故，故选D.【
6、专家解读】本题考查了复数的运算法则和复数的模的计算，考查数学运算学科素养8【2020年高考全国卷文数2】（ ）A B4 C D【答案】A【思路导引】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可【解析】故选A【专家解读】本题考查了复数的乘方运算性质，考查数学运算学科素养9【2020年高考全国卷文数2】复数，则（ ）A B C D【答案】D【思路导引】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.【解析】因为，所以，故选：D【专家解读】本题考查了共轭复数的概念，考查复数的乘法、除法运算，考查数学运算学科素养10【2020年高考全国卷理数2】复数的虚部是（ ）A B C D【答案】D
7、【思路导引】利用复数的除法运算求出z即可【解析】，复数的虚部为，故选D【专家解读】本题考查了复数的概念，考查复数的除法运算，考查数学运算学科素养11【2020年高考浙江卷2】已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）ABCD【答案】C【思路导引】根据复数为实数概念列式求解即可【解析】由条件可知，即，故选C【专家解读】本题考查了复数概念，考查数学运算学科素养 12【2020年高考北京卷2】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意z=1+2i,iz=-2+i,故选B.【专家解读】本题考查了复数的几何意义，考查复数的除法运算，考查数学运算学科素养 13【2020年
8、高考山东卷2】（ ）A B CD【答案】D【思路导引】根据复数除法法则进行计算.【解析】，故选：D。【专家解读】本题考查了复数除法，考查数学运算学科素养14【2020年高考全国卷理数15】设复数满足，则 【答案】【思路导引】令，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.【解析】，可设，两式平方作和得：，化简得：.故答案为：.【专家解读】本题考查了复数的应用，考查复数的加法、减法运算，考查复数模长的计算，考查数学运算、数学建模等学科素养解题关键是正确正确计算复数的模长，理解复数相等的充要条件15【2020年高考江苏卷2】已知为虚数单位，则复数的实部是 .【答案】【思路导引】本题根据
9、复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念即得复数的实部.【解析】，则复数的实部为.【专家解读】本题考查了复数的概念，考查复数的乘法运算，考查数学运算学科素养16【2020年高考天津卷10】是虚数单位，复数_【答案】【思路导引】利用复数的除法法则化简可得结果.【解析】.故答案为：.【专家解读】本题考查了复数的除法运算，考查数学运算学科素养。17【2020年高考上海卷3】已知复数（为虚数单位），则 .【答案】 【解析】，故答案为：。【专家解读】本题考查了复数模长的计算，考查数学运算学科素养【反馈练习】1【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科】若i为虚数单位，（ ）AB
10、CD【答案】D【分析】根据复数的基本运算可求出结果【详解】.故选：D.2【江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）】已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据为纯虚数，令求解.【详解】为纯虚数，则，则，故选：B3【陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测】已知复数，则的虚部为（ ）AB4C3D【答案】C【分析】根据复数的乘法运算法则求出，再根据复数的概念可得答案.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：C4【陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测】已知复数，则为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据复数
11、的运算法则，化简得到，再结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，则.故选：C.5【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试】复数（ ）ABCD【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选：B.6【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试】若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）A2B3CD【答案】D【分析】先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下
12、示意图：所以，故选：D.7【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测】已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】首先化简，以及求得，最后根据复数的几何意义判断选项.【详解】，则，对应的点为，位于第四象限.故选：D8【四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测数学（理科）】复数的实部和虚部分别为，则（ ）A1B2C3D4【答案】A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】，所以，所以，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数；（2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得的值.9【广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟】设复数，则（ ）ABCD【答案】D【分析】运用复数的四则运算化简求解.【详解】，所以，故选：D10【河南省开封市2021届高三第一次模拟考试理科数学】设复数满足，则的虚部为（ ）ABCD【答案】C【分析】由求出，根据复数的定义直接求解即可.【详解】由得，所以则的虚部为.故选：C
