1、第24讲 数列求和的常见方法【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位.数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一.此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧.方法一 公式法万能模板内 容使用场景等差，等比以及相关给定公式的数列解题模板第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系；第二步 根据已知
2、条件列方程求出未知量；第三步 利用前项和公式求和结果例1. 设为等差数列，为数列的前n项和，已知，为数列的前n项和，求【变式演练1】【四川省名校联盟2020届高考模拟信息卷】已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Snann(nN*)（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列an1的前n项和Tn.方法二 分组求和法万能模板内 容使用场景可分解为几个可以直接求和的数列解题模板第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的
3、和. 例2. 已知数列an是321,6221,9231,12241，写出数列an的通项公式并求其前n项Sn.【变式演练2】【江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研】已知数列的前项和为，满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前项和.方法三 裂项相消法万能模板内 容使用场景通项公式可以裂项为两项之差的形式解题模板第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和.例3. 已知数列:, ,若，那么数列的前项和为（ ）A B C. D来【变式演练3
4、】【广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测】已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前2020项和.【变式演练4】设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ）ABCD【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01（浙江专用）方法四 错位相减法万能模板内 容使用场景等差数列和等比数列乘积的形式解题模板第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步 确定等差、等比数列的通项公式；第三步 构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步 求和：根据差式的特征准确求和.例4. 已知数列满
5、足， .记，则数列的前项和_【变式演练5】【广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试】设数列满足，.（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记，求数列的前n项和.方法五 倒序相加法万能模板内 容使用场景首项与末项相加为定值解题模板第一步 列出前n项和；第二步 按倒序列出前n项和；第三步 两式相加；第四步 得出结果.例5.【湖北省武汉市三校联合体2020届高三期中】已知函数，则（ ）A2018B2019C4036D4038【变式演练6】【江西省莲塘一中、临川二中2020届高三上学期第一次联考】已知，数列满足，则_方法六 并项求和法万能模板内 容使用场景可几项进行结合的数
6、列解题模板第一步 按给定数列的特点进行分类讨论；第二步 将通项加和进行分析；第三步 加和后的数列作为新数列求和；第四步 得出结果.例6.【贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考】已知数列满足，则数列的前32项之和为_.【变式演练7】【陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末】已知数列满足，则数列的前40项和为_. 【高考再现】1（2021浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）ABCD2（2021全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次
7、共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.3（2021浙江高考真题）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.4【2020年高考全国卷理数4】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A块 B块 C块 D块5.【2020年
8、高考山东卷14】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 6.【2020年高考山东卷18】已知公比大于的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和7.【2020年高考天津卷19】已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知集合A=x|x=2n-1,nN*，B=x|x=2n,nN*将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn12an+1成立的n的最小值为_9.（2017新课标全国I
9、I理科）等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则k=1n1Sk=_10.【2017山东，文19】已知an是各项均为正数的等比数列,且. (I)求数列an通项公式；(II)bn为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.11.【2017北京文，15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通项公式；（）求和：12【2017山东，理9】已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+
10、1, n+1)得到折线P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.13.【2017天津理，18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【反馈练习】1【2020届安徽省皖江名校联盟高三下学期5月联考】数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）ABCD2【2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯
11、河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研】著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，满足，若，则( )A2020B4038C4039D40403已知数列中，（是自然对数的底数）记数列的前项和为，则（ ）ABCD【来源】浙江省A9协作体2021-2022学年高三上学期暑假返校联考数学试题4【2020届湖南省长沙市长郡中学高考模拟】已知函数，正项等比数列满足，则等于_5【湖南省衡阳市2020届高三下学期三模】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前n项和，则的值为_.6函数在点处的切线记为，直线，及轴围成的三角形的面积记为，则_.【来源】贵州省贵阳市2022届高三摸底考试试卷数学（理）试题7
12、【天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中】已知数列的前项和，数列满足：，.（）求数列，的通项公式；（）求8【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】已知函数，数列，满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.9【安徽省马鞍山市2020届高三数学（理科）二模】已知数列、中，（1）求证：数列是等比数列，并求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和10【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试四】已知数列为等比数列，其中，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.11【天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考】已知数列的前项和为
13、，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.（1）求数列与数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和.12【山东省临沂市第十九中学2020届高三上学期质量调研考】已知公差不为零的等差数列an中，a37，又a2，a4，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn ，求数列bn的前n项和Sn13【云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测】已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.14【福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测】已知为等差数列，为单调递增的等比数列，.（1）求与的通项公式；（2）求数列的前项和15【重庆市巴蜀中学2020
14、届高三下学期适应性月考】已知等比数列的前n项和为，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.16【福建省福州第一中学2020届高三下学期开学质检】已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.17已知数列的前项和为，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【来源】浙江省百校2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题18已知正项数列及其前项和满足：（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为若不等式对任意都成立，求的取值范围【来源】浙江省A9协作体2021-2022学年高三上学期暑假返校联考数学
15、试题19已知数列的前项和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和【来源】重庆市第八中学2022届高三上学期入学摸底数学试题20已知数列的前项和，令，其中表示不超过的最大整数，.（1）求；（2）求；（3）求数列的前项之和.【来源】广东省佛山市南海区2022届高三上学期8月开学摸底数学试题21已知数列，满足，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列（1）求，的通项公式；（2）求的前n项和【来源】广东省2022届高三上学期金太阳大联考开学数学试题22已知数列的前项和为，且满足，设（1）分别求和的通项公式；（2）求数列的前项和【来源】安徽省六校教育研究会2021-2022学年高三上
16、学期第一次素质测试文科数学试题23已知各项均为正数的数列满足，（1）求的通项公式；（2）若求数列的前n项和【来源】广东省2022届高三上学期综合能力测试（一）数学试题24已知数列中，其前项和满足.（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【来源】江西省赣州市南康区第三中学2021届高三数学（理）期中考试模拟试题25已知正项数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若_，求的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【来源】山东省（新高考）2021届高三模拟冲关押题卷（二）数学试题26已知数列的
17、前项和为，且，在公差不为0的等差数列中且，成等比数列（1）求数列，的通项公式；（2）记，求的前项和【来源】江苏省南京市第一中学2021-2022学年高三上学期期初学情调研数学试题27已知公比的等比数列和等差数列满足：，其中，且是和的等比中项（1）求数列与的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当时，等式恒成立，求实数的取值范围【来源】浙江省Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）2021-2022学年高三上学期第一次联考数学试题28等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【来源】贵州省贵阳市2022届高三摸底考试试卷数学（理）试题29已知数列满足，.（1）求证数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.【来源】2021年秋季高三数学（理）开学摸底考试卷03 11 / 11
