1、交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率1 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA（1 1）常量之间的关系）常量之间的关系0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普
2、通代数不同之处不同之处与或（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)（4）特殊的定理De De morgen morgen定理定理反演律：P14注意 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。基本定律，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：1 BBBABAABAB
3、ABAAABAA1证：吸收律：吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含时，若乘积项分别包含B B和和/B/B两个因子。而其两个因子。而其余因子相同。则两项定余因子相同。则两项定能合并成一项，消去能合并成一项，消去B B和和/B/B两个因子。两个因子。 说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补是另一乘积项的补（/A)/A)，则该乘积项中的则该乘积项中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律吸收律：常用公式常用公式 若若两两个个乘乘积积项项中中分分别别包包含含A A和和A A两两个个因因子子，而而
4、这这两两个个乘乘积积项项的的其其余余因因子子组组成成第第三三个个乘乘积积项项，则则第第三三个个乘乘积积项项是是多多余余的的。可可消消去去CAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAAB冗余律：冗余律：推论：推论：BCAABCCAAB证：P14BACACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB 0A+BC = (A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BC交叉互换律：交叉互换律：加对乘的分
5、配率：加对乘的分配率：P14六式-2(1) (1) 定义：定义：最小项是一个与项最小项是一个与项。 ( (2) 2) 特点特点： n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个与项与项为最小项。为最小项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最小项。个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1 1、最小项、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，乘乘积积项项ABC=1ABC=1。如如果果将将ABCABC的的取取值值101101看看作作
6、一一个个二二进进制制数数，所对应的十进制数就是5。5 5一一般般将将ABCABC这这个个最最小小项项记记做做m m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取原取1,1,反取反取0.0.最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m最小项的重要性质最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为仅有一个最小项的值为1 1。所有最小项之和为所有最小项之和为1 1。1120ni
7、im任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0 0。0jimmji 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。去一对因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA证：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA证：相邻性：相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。则称这两个最小项具有相邻性。例：CBACBABACCBA)( 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 y y都可以用最小项之和的形式表示。都可以用最小项之和的形式表
8、示。而且这种形式是唯一的。而且这种形式是唯一的。1 1、 真值表法：真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将CABCCBAF表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表：ACAC缺缺变变量量B,B,BCBC和和ACAC不不是是最最小小项项。CBABCCAFABC 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量 ,0表示反变量CABCCBAF摩根定律及配项法摩根定律及配项法
9、 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACBAFCBACABBCAABCCBA46370mmmmm m7 . 6 . 4 . 3 . 0原取原取1 1反取反取0 0ABC0001101110卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？真值表法真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ，把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺图对应小方格内填 0 。例：已知真值表为ABCFm m i i0000m m 0 00011m m 1 10101m
10、 m 2 20110m m 3 31001m m 4 41010m m 5 51101m m 6 61111m m 7 7 填有填有1 的所有小的所有小方格的合成区域就是方格的合成区域就是该函数的卡诺图。该函数的卡诺图。01101011ABCD0001101100011110ACBDACABF：例DDCABCABDCABDCAB1213mm CAB是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。同理：在 A=0， B=D=1 所对应的区域填1。 在 A=1，C=1 所对应的区域填1。直接观察法：（填公因子法）直接观察法：（填公因子法）11111111AB
11、CD0001101100011110DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADCABDCABABCDDABCDCBADCBACDBADCBA0m1m2m3m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m14m以四变量为例说明卡诺图的化简方法: 若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。 “0 0”维块：维块： 表示四个变量一个也没有被消去。DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCACBACBACBABCABABAA“0”维块相加 “1”维块 “2”维块 “3”维块从上述分析中可以看出：从上述分析中可以看出：二个二个“0 0”维块维块相加
12、相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子。四个四个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。八个八个“0 0”维块维块相加相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。m0+m1m3+m2m4+m5m7+m6 将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。相邻项2、画出表示该函数的卡诺图。3、画合并圈将相邻的“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少合并圈个数越少，与项数目越少，与门个
13、数越少。3、由于由于 A+A=AA+A=A，所以同一个，所以同一个“1 1”格可以圈多次格可以圈多次。4、每个合并圈中要有新的未被圈过的每个合并圈中要有新的未被圈过的“1 1”格格 。卡诺图化简原则：4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加与项逻辑相加。1、将函数化简为最小项之和的形式。有有“约束约束”的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简l “约束约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约制约”的概的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项随意项、任意项)，或者这些输
14、入变量的取值根本不会（也不允许），或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现出现(约束项约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号项或任意项，在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中表示，在标准与或表达式中用用d（）表示。（）表示。l “约束条件约束条件”所含的最小项称为所含的最小项称为“约束项约束项”，或，或“无关项无关项”、“禁禁止项止项”2.5.6 有有“约束约束”的逻辑函数的化简的逻辑函数的化简l 例例 2.5.3：如图电路，：如图电路，A、B、C、D 是十进制数是十进制数 x 的的 8421
15、BCD 编码，编码，当当 x5 时输出时输出 F 为为1。求。求 F 的最简的最简与或表达式。与或表达式。ABCDFl 解：列真值表解：列真值表 画卡诺图画卡诺图0001111000 01 11 10ABCD11111xA B C DF50 1 0 1160 1 1 0170 1 1 1181 0 0 0191 0 0 11-1 0 1 0-1 0 1 1-1 1 0 0-1 1 0 1-1 1 1 0-1 1 1 1如何处理约束项如何处理约束项0001111000 01 11 10ABCD111110001111000 01 11 10ABCD11111BCABDA CBA BDBC A F
16、 Fl 将约束项当作任意项处理，将约束项当作任意项处理，可可 0 可可 1本章小结本章小结 数字电路中广泛采用数字电路中广泛采用二进制二进制，二进制的特点是逢二进一，二进制的特点是逢二进一，用用0 0和和1 1表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成八进制、十进制八进制、十进制和和十六制十六制。 数字电路的输入变量和输出变量之间的关系可以用数字电路的输入变量和输出变量之间的关系可以用逻辑代逻辑代数数来描述，最基本的逻辑运算是来描述，最基本的逻辑运算是与运算与运算、或运算或运算和和非运算。非运算。 逻辑函数有四种表示方法：逻辑函数有四种表示方法
17、：真值表真值表、逻辑表达式逻辑表达式、逻辑图逻辑图和和工作波形图工作波形图。这四种方法之间可以互相转换，真。这四种方法之间可以互相转换，真值表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一值表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法性。而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时，应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究时，应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻辑函数。的逻辑函数。本章小结本章小结 本章介绍了两种逻辑函数化简法。本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法公式化简法是利用逻是利用逻辑代数的公式和规则，经过
18、运算，对逻辑表达式进行化简。辑代数的公式和规则，经过运算，对逻辑表达式进行化简。它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结它的优点是不受变量个数的限制，但是否能够得到最简的结果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运果，不仅需要熟练地运用公式和规则，而且需要有一定的运算技巧。算技巧。图解化简法图解化简法是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其是利用逻辑函数的卡诺图进行化简，其优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以优点是方便直观，容易掌握，但变量个数较多时（五个以上），则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时，上），则因为图形复杂，不宜使用。在实际化简逻辑函数时，将两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。将两种化简方法结合起来使用，往往效果更佳。本章小结本章小结
