1、贪心策略贪心方法的基本思想 l贪心是一种解题策略，也是一种解题思想贪心是一种解题策略，也是一种解题思想l使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的关系，选择当前状态的局部最优并不一定能推关系，选择当前状态的局部最优并不一定能推导出问题的全局最优导出问题的全局最优l利用贪心策略解题，需要解决两个问题：利用贪心策略解题，需要解决两个问题：l该题是否适合于用贪心策略求解该题是否适合于用贪心策略求解l如何选择贪心标准，以得到问题的最优如何选择贪心标准，以得到问题的最优/ /较优较优解解 引例在N行M列的正整数矩阵中，要求从每行中选出1个数，使得选出的总共N个数的和
2、最大。分析：要使总和最大，则每个数要尽可能大，自然应该选每行中最大的那个数。因此，我们设计出如下算法:l读入N, M,矩阵数据；lTotal := 0;lfor I := 1 to N do begin对N行进行选择l 选择第I行最大的数,记为K；l Total := Total + K；lend；l输出最大总和Total；贪心策略求解的问题具有的特点：l可通过局部的贪心选择来达到问题的全局最优解。运用贪心策略解题，一般来说需要一步步的进行多次的贪心选择。在经过一次贪心选择之后，原问题将变成一个相似的，但规模更小的问题，而后的每一步都是当前看似最佳的选择，且每一个选择都仅做一次。l原问题的最优
3、解包含子问题的最优解，即问题具有最优子结构的性质。在背包问题中，第一次选择单位质量最大的货物，它是第一个子问题的最优解，第二次选择剩下的货物中单位重量价值最大的货物，同样是第二个子问题的最优解，依次类推。但并不是所有但并不是所有具具有有最优子结构的问题都可以用贪心策略求解。因为贪最优子结构的问题都可以用贪心策略求解。因为贪心往往是盲目的，需要使用更理性的方法心往往是盲目的，需要使用更理性的方法动态规动态规划（例如划（例如“0-10-1背包问题背包问题”与与“部分背包问题部分背包问题”） 例1 部分背包问题l给定一个最大载重量为M的卡车和N种食品，有食盐，白糖，大米等。已知第i种食品的最多拥有W
4、i公斤，其商品价值为Vi元/公斤，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有物品总价值最大。分析：分析：l因为每一个物品都可以分割成单位块，单位块的利益越大显然总收益越大，所以它局部最优满足全局最优，可以用贪心法解答，方法如下：先将单位块收益按从大到小进行排列，然后用循环从单位块收益最大的取起，直到不能取为止便得到了最优解。算法算法l问题初始化；问题初始化； 读入数据读入数据l按按Vi从大到小将商品排序；从大到小将商品排序；lI := 1;lrepeat l if M = 0 then Break; 如果卡车满载则跳出循环如果卡车满载则跳出循环l M := M - Wi;l if M = 0
5、then 将第将第I种商品全部装入卡车种商品全部装入卡车l elsel 将将(M + Wi)重量的物品重量的物品I装入卡车装入卡车;l I := I + 1; 选择下一种商品选择下一种商品luntil (M = N)0,1背包问题l给定一个最大载重量为M的卡车和N种动物。已知第i种动物的重量为Wi，其最大价值为Vi，设定M，Wi，Vi均为整数，编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有动物总价值最大。算法?l按贪心法,有反例.l设N=3，卡车最大载重量是100，三种动物A、B、C的重量分别是40，50，70，其对应的总价值分别是80、100、150。例2 排队打水问题l有N个人排队到R个水龙头
6、去打水，他们装满水桶的时间为T1，T2，Tn为整数且各不相等，应如何安排他们的打水顺序才能使他们花费的时间最少？分析分析l由于排队时，越靠前面的计算的次数越多，显然越小的排在越前面得出的结果越小（可以用数学方法简单证明，这里就不再赘述），所以这道题可以用贪心法解答，基本步骤：l将输入的时间按从小到大排序；l将排序后的时间按顺序依次放入每个水龙头的队列中； l统计，输出答案。例3 旅行家的预算 l一个旅行家想驾驶汽车以最少的费用从一个城市到另一个城市（假设出发时油箱时空的）。给定两个城市之间的距离D1、汽车油箱的容量C（以升为单位）、每升汽油能行驶的距离D2、出发点每升汽油价格P和沿途加油站数N
7、（N可以为零），油站i离出发点的距离Di、每升汽油价格Pi（i=1，2，N）。l计算结果四舍五入至小数点后两位。l如果无法到达目的地，则输出“No Solution”。l样例：lInputlD1=275.6 C=11.9D2=27.4 P=2.8 N=2l油站号I离出发点的距离Di每升汽油价格Pi1102.02.92220.02.2lOutputl26.95（该数据表示最小费用）分析：l需要考虑如下问题：l出发前汽车的油箱是空的，故汽车必须在起点（1号站）处加油。加多少油？l汽车行程到第几站开始加油，加多少油？l可以看出，原问题需要解决的是在哪些油站加油和加多少油的问题。对于某个油站，汽车加油
8、后到达下一加油站，可以归结为原问题的子问题。因此，原问题关键在于如何确定下一个加油站。通过分析，我们可以选择这样的贪心标准：l对于加油站I，下一个加油站J可能第一个是比油站I油价便宜的油站，若不能到达这样的油站，则至少需要到达下一个油站后，继续进行考虑。l对于第一种情况，则油箱需要（d（j）-d（i）/m加仑汽油。对于第二种情况，则需将油箱加满。证明 l设定如下变量：lValuei：第i个加油站的油价；lOveri：在第i站时的剩油；lWayi：起点到油站i的距离；lXI：X记录问题的最优解，XI记录油站I的实际加油量。证明l首先，X10，Over1=0。l假设第I站加的XI一直开到第K站。则
9、有，XI.xk-1都为0，而XK0。l若ValueIValuek，则按贪心方案，第I站应加油为lT=（Wayk-WayI）/M-OverI。l若TXI, 则预示着，汽车开到油站K，仍然有油剩余。假设剩余W加仑汽油，则须费用ValueI*W，如果W加仑汽油在油站K加，则须费用ValueK*W，显然ValueK*WValueI*W。l若ValueIValuek，则按贪心规则，须加油为l T=C-OverI（即加满油）。l若TXI，则表示在第I站的不加满油，而将一部分油留待第K站加，而ValueIValuek，所以这样费用更高。算法 lI := 1 汽车出发设定为第1个加油站lL := C*D2；
10、油箱装满油能行驶的距离lrepeat l 在L距离以内，向后找第一个油价比I站便宜的加油站J；l if J存在 then l if I站剩余油能到达J then l 计算到达J站的剩油l elsel 在I站购买油，使汽车恰好能到达J站l elsel 在I站加满油；l I := J； 汽车到达J站luntil 汽车到达终点；：d-规则问题对任意给定的m(mN+)和n(nN+)，满足m1，使得KaP，则修改P为：P=P-y|y=sa,sN+ ，并称该d规则具有分值a。现要求编制一个程序，对输入的m,n值，构造相应的初始集合P，对P每应用一次d规则就累加其相应的分值，求能得到最大累加分值的d规则序列
11、，输出每次使用d规则时的分值和集合p的变化过程。 初看这一问题，很容易想到用贪心策略来求解，即选择集合中最大的可以删除的数开始删起，直到不能再删除为止，而且通过一些简单的例子来验证，这一贪心标准似乎也是正确的，例如，当m=2，n=10时，集合P2,3,10，运用上述“贪心标准”可以得到这一问题的正确的最优解d=54312，即其d-规则过程如下：1. a=5 P=2,3,4,6,7,8,9d=52. a=4 P=2,3,6,7,9d=5+4=93. a=3 p=2,7 d=5+4+3=12分析分析但是，如果再仔细地分析一个例子，当但是，如果再仔细地分析一个例子，当m=3m=3，n n1818时，
12、如果还是使用上述时，如果还是使用上述“贪心标准贪心标准”，则得到，则得到问题的问题的d-d-规则总分为规则总分为d=35d=35，其，其d-d-规则序列为规则序列为（9,8,7,6,59,8,7,6,5），而实际上可以得到最大），而实际上可以得到最大d-d-规则总规则总分为分为d d3838，其对应的，其对应的d-d-规则序列为规则序列为（9,8,7,6,3,59,8,7,6,3,5）。）。为什么会出现这样的反例呢？为什么会出现这样的反例呢？这是因为，问题中要使得这是因为，问题中要使得d-d-规则总分规则总分d d值越大，值越大，不光是要求每一个不光是要求每一个d d分值越大越好，也要求取得分
13、值越大越好，也要求取得的的d d分值越多越好。分值越多越好。因此，本题不能采用上述的贪心策略因此，本题不能采用上述的贪心策略求解。求解。算法改进算法改进将原算法基础上进行改进。下面给出新的算法：1.建立集合P=m.n2.从n div 2到m每数构造一个集合ci，包含该数在P中的所有倍数（不包括i本身）3.从n div 2起找到第一个元素个数最少但又不为空的集合ci4.在d分值中加上i5.把i及ci集合从P集中删除，更新所有构造集合的元素6.检查所有构造集合，若还有非空集合，则继续3步骤，否则打印、结束贪心方法的应用下面看下面看m=3, n=18m=3, n=18时的推演过程：时的推演过程：1.
14、1.初始集合初始集合P=2.18 P=2.18 以及以及c9c3c9c32.2.找到找到i=9, ci=18, P=3.8,10.17i=9, ci=18, P=3.8,10.173.3.找到找到i=8, ci=16, P=3.7,10.15,17i=8, ci=16, P=3.7,10.15,174.4.找到找到i=7, ci=14, P=3.6,10.13,15,17i=7, ci=14, P=3.6,10.13,15,175.5.找到找到i=6, ci=12, P=3.5,10,11,13,15,17i=6, ci=12, P=3.5,10,11,13,15,176.6.找到找到i=3,
15、 ci=15, P=4,5,10,11,13,17i=3, ci=15, P=4,5,10,11,13,177.7.找到找到i=5, ci=10, P=4,11,13,17i=5, ci=10, P=4,11,13,17到此所有构造集合全部为空，到此所有构造集合全部为空，d=9+8+7+6+3+5=38d=9+8+7+6+3+5=38贪心方法的应用贪心方法的应用：l能否证明此贪心策略是正确的？能否证明此贪心策略是正确的？l能否找到其他更好的算法？能否找到其他更好的算法？例5 传染病控制传染病控制 染病的传播具有两种很特殊的性质： 第一是它的传播途径是树型的，一个人X只可能被某个特定的人Y感染，只要Y不得病，或者是XY之间的传播途径被切断，则X就不会得病。第二是，这种疾病的传播有周期性，在一个疾病传播周期之内，传染病将只会感染一代患者，而不会再传播给下一代。 这些性质大大减轻了蓬莱国疾病防控的压力，并且他们已经得到了国内部分易感人群的潜在传播途径图（一棵树）。但是，麻烦还没有结束。由于蓬莱国疾控中心人手不够，同时也缺乏强大的技术，以致他们在一个疾病传播周期
