1、定理：定理：f(x)连续，连续，f(a)与与f(b)异号，异号，ab，则方程，则方程f(x)=0在区间在区间(a,b)内至少有一个根，称内至少有一个根，称(a,b)是该是该方程的一个有根区间方程的一个有根区间。若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根区间单根区间。确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有逐步搜索法、逐步搜索法、 图形放大法、图形放大法、 数值迭代逼近法数值迭代逼近法2 2）图形放大法）图形放大法y=f(x)y=f(x)图象与图象与x轴交点（的横坐标）即为轴交点（的横坐标）即为f(x)=0f(x)=0根。根。借助计算机，逐步画图
2、，就可得近似根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。1）逐步搜索法逐步搜索法适当取一个小正数适当取一个小正数h，逐步计算，逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、 的值，直到相邻两个值的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。异号，则取这两点的中点为近似根。 3）数值迭代逼近法）数值迭代逼近法（1）区间迭代法（缩小有根区间）区间迭代法（缩小有根区间）对分法对分法 就是将已知有根区间就是将已知有根区间a,b一分为二，比较三一分为二，比较三个数个数的正负，根据的正负，根据“介值定理介值定理”确定哪一半有根；重复多次。确定哪一半有根；重复多次。 黄金分割法与对分法本
3、质上一致，只不过每次压缩区黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为间的比例不是一半，而是压缩比例为0.618（黄金分（黄金分割比例）割比例）区间迭代法区间迭代法 1 1）对分法）对分法 2 2）黄金分割法）黄金分割法点迭代法点迭代法 1 1）简单迭代法）简单迭代法 2 2）牛顿切线法）牛顿切线法 3 3）单点割线法）单点割线法 4 4）两点割线法）两点割线法 例例1：用对分法求：用对分法求x4+x-3=0在在(1,2)内的一个内的一个根，误差根，误差0.05。0322)2(, 0311) 1 (44ff解：设f(x)=x4+x-3。则。则,0)2(,0)1
4、(ff有根区间是(1,2) 035 . 15 . 1)5 . 1 (4f有根区间(1,1.5) 0)25.1 (f有根区间(1,1.25) 有根区间(1.125,1.25) 有根区间(1.125,1.1875) 0)125.1 (f, 0)1875. 1 (f15625. 121875. 1125. 1*x03125. 02125. 11875. 1误差（2 2）点迭代法）点迭代法若数列若数列xxk k 收敛，则极限值就是准确根。满足收敛，则极限值就是准确根。满足x=x=(x)(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。求解的不动点法。注意到迭
5、代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。一般迭代法一般迭代法：将：将f(x)=0f(x)=0适当变形为适当变形为x=x=(x),(x),在根的在根的邻近找一个点邻近找一个点x x0 0作为初始点，作迭代作为初始点，作迭代,21baxx )()(2121xxLxx10 L定理（压缩映像原理）设迭代函数设迭代函数 x(x)(x) 在闭区间在闭区间a,b上满足：上满足：（1） 对任意对任意x
6、a,b，(x) a,b； （2） 满足满足Lipschitz条件条件 则则 x(x)(x) 在闭区间在闭区间a,b上上 存在唯一解存在唯一解x*，使，使得对任意得对任意xa,b，由，由xk+1= (xk) 产生的序列产生的序列xk收敛于收敛于x*。 *x)()(xyxyxxy=x2x0 x1x迭代法的几何意义交点的横坐标即为f(x)=0的根。y=(x)简单迭代收敛情况的几何解释 解：由 建立迭代关系：31xx311kkxx例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)内的实根。k=0,1,2,3.5102132472.1x但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3-
7、1，k=0,1仍取x0=1.5，则有 x1=2.375，x2=12.39，显然结果越来越大，xk 是发散序列。31)x(x作业：作业： 证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。牛顿迭代法牛顿迭代法：方程：方程f(x)=0，求导，求导f(x)，在根的，在根的邻近找邻近找一个点一个点x0 作为初始点，作迭代作为初始点，作迭代,.1 , 0)()(1nxfxfxxnnnn以此产生的序列以此产生的序列Xn得到得到f(x)=0的近似解，称为的近似解，称为NewtonNewton法，又叫切线法。法，又叫切线法。当初值x0和方程的根x*接近时，f(x)近似等于f(x0)+f(x0)(x-x0)，则f(x)
8、=0与f(x0)+f(x0)(x-x0)0看作近似同解方程。取x=x-f(x)/f(x)作为迭代函数。Newton迭代法几何解释Newton迭代法算法框图Newton迭代法算法。输出）转（做输入1101001001000:)4(;2) 3;)2;/) 1|while(3);();()2(;,) 1 (xendwhilexxffxxfxffxffx5 . 1, 14)(, 3)(03/4xxxfxxxf1640.11431640.11431641.11431723.11432543.115.1435.15.15.1444445333433432242233114112341xxxxxxxxxxx
9、xxxxxxxxxx例例1：用牛顿法求：用牛顿法求x4+x-3=0在在(1,2)内的一个根，内的一个根，初值为初值为1.5。得到方程的一个得到方程的一个近似根近似根1.1640，误差小于误差小于0.0001. 解：解：弦截法 Newton迭代法有一个较强的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f(x) 。)()()()()(,(P)(,(P,)(10101111100010*xxxxxfxfxfyxfxxfxbxaxxbaxf得弦的方程及则过，取上有唯一零点在设令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。.,.)2 , 1()()()(.,)()()(0)()()()(001320
10、10101121201011称之为定端点弦截法计算再由解得nxfxfxfxxxxxxxxfxfxfxxxxxxxxxfxfxfnnnnn定端点弦截法又称单点割线法。.,.)2 , 1()()()(,111321又称快速弦截法称之为变端点弦截法以此类推计算若由nxfxfxfxxxxxxxnnnnnnn变端点弦截法又称两点割线法弦截法的几何解释求解方程f(x)=0的快速弦截法。输出停止计算输出失败信息时做输入LxNLffffxxxxLLxfffffxxxxfxffxffLNxx,)4(;endwhile,thenif)3;)2; 1);(;) 1|while)3();(),(, 0)2(;,:) 1 (221102102210101121110010作业：求下面方程的数值解。作业：求下面方程的数值解。093 xx5 . 0)sin(xx)18, 0(),tan(xxx精品课件精品课件！精品课件精品课件！谢谢 谢！谢！
