1、1目的与要求：掌握目的与要求：掌握复变函数积分的概念、柯西定理复变函数积分的概念、柯西定理 不定不定积分积分 柯西公式柯西公式重点：重点：难点：难点：1. 1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算2 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,
2、, 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为( (与实函数积分相似，定义为和的极限与实函数积分相似，定义为和的极限) )复平面上的线积分复平面上的线积分3简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说
3、明: : 在今后的讨论中在今后的讨论中, ,常把两个端点中的一个常把两个端点中的一个作为起点作为起点, , 另一个作为终点另一个作为终点, , 除特殊声明外除特殊声明外, , 正方向总是指从起点到终点的方向正方向总是指从起点到终点的方向. .4, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk 设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域内内定义在区域定义在区域设函数设函数oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一点上任意取
4、一点在每个弧段在每个弧段 5,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 记记 , , 11的长度的长度这里这里kkkkkkzzszzz ( , 0 时时无限增加且无限增加且当当 n , )( , , 记为记为的积分的积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 6关于定义的说明关于定义的说明: : .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的
5、积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ),( )( , )2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 7.d)( , )(一定存在一定存在积分积分是光滑曲线时是光滑曲线时是连续函数而是连续函数而如果如果 CzzfCzf证证 ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 8, 0)( ttz并且并且 , ),(),()( 内处处连续内处处连续在在如
6、果如果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 设设 )( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 9knkkzf 1)( 所以所以 nkkkkkkkyixviu1)(,(),( nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,10当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ),( , 下式两端极限存在
7、下式两端极限存在的取法如何的取法如何点点的分法任何的分法任何不论对不论对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 11 : ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式积分的计算法积分的计算法112积分的计算法积分的计算法2 2. d)( 积分来计算积分来
8、计算函数的线函数的线可以通过两个二元实变可以通过两个二元实变 Czzf ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf13 ttztzfzzfCd)()(d)(则则光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由如果如果 , , 21nCCCC Czzfd)(.d)(d)(d)(21 nCCCzzfzzfzzf在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续
9、的总假定被积函数是连续的, 曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.14设设L是简单逐段光滑曲线是简单逐段光滑曲线，f,g在在L L上连续，则上连续，则LLdzzfdzzf;)()(1)LLRdzzfRdzzRf为复常数其中 ,)()(2)L;)()()()(3)LLdzzgdzzfdzzgzf组成的和由是其中21 ,)()()(4) 12LLLdzzfdzzfdzzfLLLLLdszfdzzf)()()5(性质：常数因子可以移到积分号外函数的和的积分等于各函数积分之和反转积分路径，积分反号全路径上的积分等于各段上积分之和15注意到注意到dsdydxidydxdz22)()(性质性质(5)(5
10、)可以写为可以写为LLdzzfdzzf)()( 特别地，若在特别地，若在L上有上有 ，L的长记为的长记为L，则性质则性质(5)(5)成为成为Mzf)(MLdzzfL)( 注意：注意：数学分析中的积分中值定理不能推移到复变函数积分上来，例如：200021iieide而 (6)(6)20( 0)02(00ie16例例1 解解 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)43(2i )dd)(d
11、CCyixiyxzz又因为又因为17 ddddd CCCyxxyiyyxxzz这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关, 43 曲线曲线的的是怎样从原点连接到点是怎样从原点连接到点所以不论所以不论iC .2)43(d2izzC 18例例2 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) : ,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz
12、 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x19(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 20 xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re
13、tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 21例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2( z因为因为 20d)sin(cos4 ii. 0 22例例4 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inner
14、i23zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .24讨论复变函数积分与积分路径的关系讨论复变函数积分与积分路径的关系（一） 单通区域情形在区域中做任何简单闭合围道，围在区域中做任何简单闭合围道，围道内的点都属于该区域道内的点都属于该区域单连通区域：单连通区域：复连通区域复连通区域，或称多连通区域或称多连通区域
15、区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。点。 连续变形：变形时曲线始终属于该区域。变形时曲线始终属于该区域。25复习：二元函数积分的格林公式路径无关的充要条件：路径无关的充要条件：实变线积分实变线积分LPdxQdy在单连通区域在单连通区域B B内与内与在在B B内的偏导数内的偏导数( , ), ( , )P x yQ x y, PQyx连续，并且连续，并且PQyx由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分222111( )zzzzzzf z dzudxvdyi vdxudy因此可得到复变函数的积分与路径无关的充
16、要条件因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件26单连通区域单连通区域柯西定理：柯西定理： 如果函数如果函数f (z)在闭单连通域在闭单连通域B上解析上解析，则沿则沿B上任一分段光上任一分段光滑闭曲线滑闭曲线l（也可以是也可以是B的边的边界），有界），有( )0lf z dz 推广推广：如果函数如果函数f (z)在单通域在单通域B上解析，上解析，在闭单在闭单连通域连通域B上连续，则上连续，则沿沿B上任一分段光滑闭曲线上任一分段光滑闭曲线l（也可以是也可以是B的边界），有的边界），有( )0lf z dz Bl27由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB
17、0z1z 0z1z 1C2C1C2C28( , )( , )()llSvuu x y dxv x y dydxdyxy()0vuxyxvyu,连续，且0),(),(dyyxvdxyxul格林公式同理yvvu,连续，且0uvxy0),(),(dyyxudxyxvl证明：( )( , )( , )( , )( , )lllf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy()lSQPPdxQdydxdyxy回路积分化成面积分29例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西定理根据柯西定理, 有有 1. 0d
18、321zzz30例例2 2. ),1(0d)( 任意闭曲线任意闭曲线是是其中其中证明证明Cnzzcn 证证 , )1(为正整数时为正整数时当当n , )(平面上解析平面上解析在在 zzn 由柯西定理由柯西定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(时时为负整数但不等于为负整数但不等于当当 n , )(平面上解析平面上解析的整个的整个在除点在除点zzn , :点点不包围不包围若若情况一情况一 C31由柯西定理由柯西定理, ; 0d)( cnzz , :点点包围包围若若情况二情况二 C由上节例由上节例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(围成的区域内解析围成的区域内解析在在 Czn 32
19、例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz33 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 34奇点奇点：复变函数不解析的点复变函数不解析的点 若若f(z)在在z=b 不解析（或没有定义），而在不解析（或没有定义），而在z=b的的无心邻域无心邻域 0zb R内解析，则内解析，则z=b为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点
20、。 含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域（二）复通区域情形有时，所研究的函数在区域上并非处处解析有时，所研究的函数在区域上并非处处解析35 沿着一条简单曲线沿着一条简单曲线C C有有两个相反的方向，其中一个两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向方向是：当观察者顺此方向沿沿C C前进一周时，前进一周时，C C的内部一的内部一直在直在C C的左方，即的左方，即“逆时针逆时针”方向，称为正方向；另方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿一个方向是：当观察者顺此方向沿C C前进一周时，前进一周时，C C的的外部一直在外部一直在C C的左方，即的左方
21、，即“顺时针顺时针”方向，称为负方方向，称为负方向。向。区域境界线正方向：区域境界线正方向：36ABCD1llEF在 l 围成的区域中含f(z)的孤立奇点，则可引入曲线l1将此奇点挖掉，在余下的区域(一复连通区域)中， f(z)解析。由柯西定理ABCDBAEFAdzzf, 0)(或或. 0)()()()(1lBAlABdzzfdzzfdzzfdzzf又又.0)()(1lldzzfdzzf, 0)()(BAABdzzfdzzf,)()(1lldzzfdzzf,)()(1lldzzfdzzf l与l1方向相反，但与- l1方向相同。37( (多连通域柯西定理多连通域柯西定理) ) 设B是以1nCl
22、ll 边为界的有界n+1连通区域，其中l1，l2，ln是简单光滑闭曲线l内部互相外离的n条简单光滑闭曲线。若f (z)在 上连续，在B内解析，则有Bcdzzf0)(其中C取关于区域B的正向，或写为：12( )( )( )( )nllllf z dzf z dzf z dzf z dzBC1C2C3C38例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点， 3
23、9, 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 40例例2 2 . 1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆
24、环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,. 0d zzez41例例3 3. , ,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn 解解 , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故可取很小的正数故可取很小的正数 , : 1内部内部含在含在使使 az1 , )(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 naz42由复合闭路定理由复合闭路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie
25、 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 因为因为不必是圆不必是圆, a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线内即可内即可.43例例4 4. , ,d)(121 00为自然数为自然数闭曲线闭曲线的任意正向的任意正向为含为含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此处不妨设此处不妨设 . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin则有则有44柯西定理总结1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭单通区域
26、上的解析函数沿境界线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。和。固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分ABRRCllS45定理一定理一 . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数CzzfBzfC 由定理一可知由定理一可知:
27、 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, (如下页图如下页图)1. 1. 两个主要定理两个主要定理: :46BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定47 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且析函数析函数内的一个解内的一个解必为必为那末函数那
28、末函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理二定理二证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.B , 内任一点内任一点为为设设Bz z, KBz小圆小圆内的内的为中心作一含于为中心作一含于以以K48B zK , 内内在在充分小使充分小使取取Kzzz zz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)( 由于积分与路线无关由于积分与路线无关, , d)(00zzfzzz到到的积分路线可先取的积分路线可先取 , zzz 沿直线到沿直线到然后从然后从 0z ) d)( :(0路线相同路线相同的的这一段与这一段与注意注意 zzf , )( 的定义的定义由由zF49 )()(
29、 zFzzF于是于是,d)( zzzf zzzzf d)( 因为因为 zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 所以所以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz 50B zKzz 0z , )( 内解析内解析在在因为因为Bzf , )( 内连续内连续在在所以所以Bzf, 0, 0 故故 , 内内都在都在的一切的一切使得满足使得满足Kz , 时时即即 z,)()( zff总有总有由积分的估值性质由积分的估值性质,)()()( zfzzFzzF 51)()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d| )()(|1zffzzzz
30、.1 zz, 0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于是于是).()( zfzF 即即 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕522. 2. 原函数的定义原函数的定义: :. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数的一个原函数是是显然显然zffzFzz 原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差z
31、f证证 , )( )( )( 的任何两个原函数的任何两个原函数是是和和设设zfzHzG53 )()()()( zHzGzHzG 那末那末0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 为任意常数为任意常数c , )( )( zFBzf内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果如果那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, . )()(为任意常数为任意常数一般表达式为一般表达式为cczF 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕543. 3. 不定积分的定义不定积分的定义: : .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 记作记作的不定积分的
32、不定积分为为为任意常数为任意常数的原函数的一般表达式的原函数的一般表达式称称定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内的两点内的两点为域为域这里这里那末那末的一个原函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )55证证 , )( d)( 0的原函数的原函数也是也是因为因为zfzzfzz ,)( d)( 0czGzzfzz 所以所以 , 0时时当当zz 根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理, , )( 0zGc 得得 , )
33、()( d)( 00zGzGzzfzz 所以所以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或证毕证毕说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.56典型例题例例1 1解解 . d 10的值的值求求 zzzz , 是解析函数是解析函数因为因为 z ,21 2z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 57例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dc
34、os21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)58例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函数是解析函数因为因为zz ,cossin zzz 它的一个原函数是它的一个原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e59例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此
35、方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”60例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得 ,)1( zzezze 的一个原函数为的一个原函数为 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 课堂练习课堂练习. dsin 10的值的值求求 zzz答案答案. 1cos1sindsin10 zzz61例例5 5. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的值的值求求内的圆弧内的圆弧试沿区域试沿区域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在所设区域内解析在所设区域内解析函数函数 zz ,2)1(l
36、n 2 z它的一个原函数为它的一个原函数为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 62例例6 6).cos1(),sin(:20 . d)182( 2 ayaxaCzzzC的摆线的摆线到到是连接是连接其中其中的值的值求求解解 , 182 2在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为函数因为函数 zz所以积分与路线无关所以积分与路线无关, 根据牛根据牛莱公式莱公式: Czzzd)182(2 azzz202d)182(azzz 2023432.2163162233aaa 63 柯西积分公式柯西积分公式:
37、 : 若若f (z)在闭单通区域B上解析，l为B境界线，为B内的任一点，那么1( )( ) 2lf zfdziz 证明：由于1( )( ) 2lffdziz 只需证明1( )( ) =02cf zfdziz max( )( )( )( ) 20Cf zff zfdzz lllSiSzdzI)(.2)(, 064如果如果l是圆周是圆周z= +rei，201( )()2iffred 这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周的平均值。圆周的平均值。 若若f (z)在在l所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点所围区域上存在奇点，这就要考虑挖去奇点后的复通
38、区域。在复通区域上后的复通区域。在复通区域上f (z) 解析，显然柯西公式仍解析，显然柯西公式仍然成立，只要将然成立，只要将l l理解为所有境界线，理解为所有境界线，并且其方向均取正向并且其方向均取正向。 定理定理：解析函数解析函数f(z)的导数仍为解析函的导数仍为解析函数数，它的，它的n阶导数为：阶导数为：()010!( )() (1,2,) 2()nnlnfzfzdznizz其中其中l为解析区域内围绕为解析区域内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线。65 Morera定理：(Cauchy定理的逆定理）设f(z)在区域G中连续，如果对于G中的任何闭合围道l，都有则f(z)
39、在G内解析。( ) =0lf z dz 证明：由路径无关性，定义由路径无关性，定义0( )( )zzF zf z dz()( )1( ) ( )( )zzzF zzF zf zff z dzzf(z) 的连续性的连续性0所以所以F(z) 解析，其导数为解析，其导数为f(z) ，再由高阶导数的存在性再由高阶导数的存在性，f(z)在在G内解析内解析。66 模数定理模数定理：f(z)在某个闭区域上解析，则在某个闭区域上解析，则 |f(z)| 只只能在境界线上取极大值能在境界线上取极大值应用柯西公式应用柯西公式证明：对对 ( )nf z1 ( ) ( ) 2nnlff zdiz 若若 |f(z)| 在
40、在l上极大值为上极大值为M，|z| 的极小值为的极小值为 ，l的的长为长为s( )2nnMf zs1( )2nsf zMn ( )f zM67 Liouville定理定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。21( )( ) 2()lffzdiz 半径为R的园周21( )2 2NfzRRR ( )0fz总结复数zxiy复数函数复数函数单值复数函数多值复数函数( )( , )( , )f zu x yiv x y单值复数函数( )f z单值函数( )f z与实变函数相似两个二元实变函数的有序组合重点68奇点奇点柯西定理及推论柯西定理及推论极限
41、极限连续连续积分积分导数导数( (微分微分) )解析函数解析函数解析区域解析区域柯西公式柯西公式高阶导数公式高阶导数公式u,v 可微C-R条件点点点点可导可导( (不解析的点不解析的点) )积分区域积分区域有无奇点有无奇点69典型例题例例1 1解解 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求下列积分求下列积分 4dsin21(1)zzzzi , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位于位于 zz70 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi; 0 由柯西积分公式由柯西积分公
42、式0sin221 zzii71例例2 2 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf , 2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 72例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf , 21 )( 内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 73例例解解).1( ,d173)( , 3
43、222ifzzfyxCC 求求表示正向圆周表示正向圆周设设 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, , 内时内时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1 内内在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以74例例5 5;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 75例例5 5;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 21
44、1d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解76 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理, 得得例例5 5. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 77例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , irez令令, 1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 78
45、 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e79例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225为正向圆周为正向圆周其中其中计算下列积分计算下列积分 , 1 )1(cos )1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据
46、公式根据公式80 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 811C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizz
47、izei 2)()!12(2,2)1( iei821C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i83例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式8
48、4 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 85例例3 3解解) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西积分公式得由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 86, 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根
49、据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni87课堂练习课堂练习 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案 ; 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 内内在在88例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 232
50、31! 12 zzi;83 i 8931)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz90 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 91例例5 5. )( , 0d)( , )( 内解析内解析在在证明证明都有都有内任何一条简单闭曲线内任
