1、微分方程模型微分方程模型2 如何预报人口的增长如何预报人口的增长3 如何施救药物中毒如何施救药物中毒4 人口预测和控制模型人口预测和控制模型1 目标跟踪问题目标跟踪问题动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程. 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律. 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态. 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段. 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设. 按照内在规律或用类比法建立
2、微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程.1 目标跟踪问题目标跟踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点轴上点A(1, 0)处的乙舰处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0(常数常数)沿平行于沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？由(1),(2)消去t, 整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值条件为: 0)0(y 0)0( y解法二解法二(数值解法)1建立M文
3、件eq1m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2 取x0=0，xf=09999，建立主程序如下： x0=0，xf=09999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b) hold on y=0:001:2; plot(1,y,b*) 结论结论: 导弹大致在（导弹大致在（1，02）处击中乙舰）处击中乙舰.2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y, y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组结果见图导弹大
4、致在（1，02）处击中乙舰，与前面的结论一致返 回 结论：时刻结论：时刻t=021时，导弹在（时，导弹在（1，021）处击中乙舰）处击中乙舰背景背景 年份年份 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年份年份 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长2 如何预
5、报人口的增长如何预报人口的增长做出较准确的预报做出较准确的预报 建立人口数学模型建立人口数学模型 指数增长模型指数增长模型马尔塞斯马尔塞斯1798年年提出提出常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x(t) 时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0d,(0)dxrxxxt0( )(e )rtx txtrx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长. 与常用公式的一致与常用公式的一致?rtextx0
6、)(指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测. 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律. . 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程. .1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型Logistic 模型模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原
7、因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)()(mxxrxr1r是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrddxrxtd( )dxr x xtdx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢增加先快后慢xmx0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )1 (mxxrx)1()(
8、mxxrxr指数增指数增长模型长模型Logistic 模型的应用模型的应用 经济领域中的增长规律经济领域中的增长规律( (耐用消费品的售量耐用消费品的售量).). 种群数量模型种群数量模型 (鱼塘中的鱼群鱼塘中的鱼群, 森林中的树木森林中的树木).S形曲线形曲线参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数必须先估计模型参数 r 或或 r, xm .模型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和预报 arty指数增长模型指数增长模型0( )ertx tx阻滞增长模型阻滞增长模型d(1)dmxxrxtxsxryd /d,mxt
9、xrysxx tx0ln,lnxaxy由统计数据用由统计数据用线性最小二乘法线性最小二乘法作参数估计作参数估计例：美国人口数据例：美国人口数据(百万百万) t 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 r =0.2022/10年，x0 =6.0450 模型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和预报 指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型r=0.2557/10年，xm =392.0886 年年实际实际人口人口计算人口计算人口(指数增长模型指数增长模型
10、)计算人口计算人口 (阻滞增长模型阻滞增长模型)17903.96.03.918005.37.45.01960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.10510152025010020030040050005101520050100150200250300指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型用模型计算用模型计算2000年美国人口年美国人口/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx误差约误差约2.5%与实际数据比较与实际数据比
11、较(2000年年281.4)=274.5模型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和预报 为作为作模型检验模型检验在参数估计时未用在参数估计时未用2000年实际数据年实际数据加入加入2000年数据重估模型参数年数据重估模型参数r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 预报预报美国美国2010年人口年人口 美国人口普查局美国人口普查局2010年年12月月21日公布：截止到日公布：截止到2010年年4月月1日日美国总人口为美国总人口为3.087亿亿.预报误差不到预报误差不到1%！场景场景3 如何施救药物中毒如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室两位家长带着孩
12、子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下诉说两小时前孩子一次误吞下11片片治疗哮喘病、剂量治疗哮喘病、剂量100mg/片片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状. 按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100200mg ，儿童是儿童是35 mg/kg.过量服用可使血药浓度过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量单位血液容积中的药量)过高，过高，100g/ml浓度会出现浓度会出现严重中毒严重中毒, 200g/ml浓度可致命浓度可致命. 医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到医生需要判断：孩子的血药浓度
13、会不会达到100200 g/ml；如；如果会达到，应采取怎样的果会达到，应采取怎样的紧急施救紧急施救方案方案. 调查与分析调查与分析转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立血液系统看作一个房室，建立“一室模型一室模型” .药量药量x(t)药量药量y(t)血液系统对药物的吸收率血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移率胃肠道到血液系统的转移率) 和排和排除率可以由除率可以由半衰期半衰期确定确定.半
14、衰期半衰期可以从药品说明书上查到可以从药品说明书上查到. 通常，血液总量约为人体体重的通常，血液总量约为人体体重的7 % 8%，体重，体重5060 kg的成年人有的成年人有4000ml左右的血液左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为为其血液总量约为2000ml. 调查与分析调查与分析血药浓度血药浓度=药量药量/血液总量血液总量 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的原来（人体自身）的2倍倍. 临床施救的办法：临床施救的办法： 体外血液透析，药物排除率可增加
15、到原来的体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但倍，但是安全性不能得到充分保证是安全性不能得到充分保证.模型假设模型假设 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系成正比，比例系数数(0)，总剂量，总剂量1100 mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.2. 血液系统中药物的排除率与血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物时血液中无药物.3. 氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000
16、 ml. 胃肠道中药量胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量血液系统中药量y(t)，时间，时间t以以孩子误服药的时刻为起点（孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 模型建立模型建立x(t)下降速度与下降速度与x(t)成正比成正比(比例系数比例系数), 总剂量总剂量1100mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度与，由排除而减少的速度与y(t) 成成正比正比(比例系数比例系数) , t
17、=0时血液中无药物时血液中无药物.d,(0)0dyxyytd,(0)1100dxxxt 模型模型求解求解 d,(0)1100dxxxt 药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5 h ( )1100etx t(ln2)/50.1386(1/h)51100e1100/22/ )0()5(xxddyxyt1100 ety 0)0(y药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6 h 1100( )(ee)tty t只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除2/)6(,)(ayay()( )ety taddyyt (ln2)/60.1155(1/h)0.1386( )1100etx t0.11550.1386
18、( )6600(ee)tty t0510152025020040060080010001200t(h)x,y(mg)x(t)y(t)血液总量血液总量2000ml血药浓度血药浓度200g/ml结果及分析结果及分析 胃肠道药量胃肠道药量血液系统药量血液系统药量血药浓度血药浓度100g/mly(t) =200mg严重中毒严重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约约3h3h后将致命！后将致命！y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率增至
19、原来的增至原来的2倍倍. d,2,1100e,(2)236.5dtzxztxzt孩子到达医院孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作就开始施救，血液中药量记作z(t) 0.13860.2310( )1650e1609.5e,2ttz tt=0.1386 (不变)， =0.11552=0.2310 施救方案施救方案 0510152025020040060080010001200t(h)x,y,z(mg)x(t)y(t)z(t)t=5.26z=318 施救后血液中药量施救后血液中药量z (t)显著低于显著低于y(t). z (t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平. 要使要使z (t)在
20、施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少应为至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，若采用体外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定. 偏微分方程与数学模型2022-3-24济南大学 数学科学学院24偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations）指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科
21、学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程2022-3-24济南大学 数学科学学院25什么是偏微分方程？什么是偏微分方程？ 2022-3-24济南大学 数学科学学院26物理量物理量( (如位移、温度等如位移、温度等)-)-时间、空间位置时间、空间位置 u),(,321xxxxt-),(),(321xxxtuxtuu物理量的变化规律物理量的变化规律)(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu( (偏微分方程偏微分方程) ) 例子 2022-3-24济南大学 数学科学学院27
22、0: ),() 1 (yuyxuu0: ),()2(xyuyxuu)(),(: ),()3(为已知函数wyxwuyxuuxy)()(为任意函数fxfu ),)()(为任意连续可微函数gfygxfu),()()(),(00为任意连续可微函数gfygxfdsdttswuxxyy 研究内容研究内容 2022-3-24济南大学 数学科学学院28一般规律一般规律+ + 定解条件定解条件( (初始条件、边界条件初始条件、边界条件) ) 定解问题定解问题 定解问题的适定性：定解问题的适定性：存在性（存在性（ExistenceExistence） 唯一性（唯一性（UniquenessUniqueness） 稳
23、定性（稳定性（StabilityStability）+ + 附加条件附加条件方程方程4 人口预测和控制人口预测和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性. 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移.人口人口发展发展方程方程的人口）年龄人口分布函数rtrF(),(人口密度函数),(trp人口总数)(tN最高年龄)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp)
24、,(人数年龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(), 0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口发展方程人口发展方程p0(r)已知函数已知函数(人口调查人口调查)f(t)生育率生育率(控制人口手段控制人口手段)(0rp)(tf0trrt rt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),
25、(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性别比函数女性 )(),(trk生育数女性 )(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多
26、少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高5
27、 烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失现象现象和和问题问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域成圆形不透光区域. 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失. 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系析消失时间与各因素的关系.问题问题分析分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化. 观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸
28、收、观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收、以及仪器对明暗的灵敏程度有关以及仪器对明暗的灵敏程度有关.gradCkq模型模型假设假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律的影响；扩散服从热传导定律.2）光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾）光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强.3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定明暗界限由仪器灵敏度决定.模型模型建立建立1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxC
29、热传导定律：单位时间通过单位法热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比向面积的流量与浓度梯度成正比. . )(gradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通过,ttt内烟雾改变量sVdVqdivdnq曲面积分曲面积分奥氏公式奥氏公式1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxCVdVgradCdivk)(12QQ的微分形式，并利用积分中值定理的微分形式，并利用积分中值定理222222zCyCxCkktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyx
30、zCyCxCktC 初始条件初始条件Q炮弹释放的烟雾总量炮弹释放的烟雾总量 单位强度的点源函数单位强度的点源函数 对任意对任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 仅当仅当 t, 对任意点对任意点(x,y,z), C01）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxC)()(lIlCdldI2）光强穿过烟雾时的变化规律）光强穿过烟雾时的变化规律假设假设2）光强的相对减少与烟雾浓度成正比）光强的相对减少与烟雾浓度成正比.lldssCeIlI0)(0)(I(l) 沿沿l方向的光强，方向的光强， C(l) 沿沿l方向的烟雾强度方向的烟雾强度记未进入烟雾记未进
31、入烟雾(l l0)时光强为时光强为 I(l0)=I01),(dztzyxCe观测结果为暗仪器灵敏度，当,1/0II3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化烟雾浓度连续变化烟雾中光强连续变化烟雾中光强连续变化lldssCeIlI0)(0)(仪器仪器z- 设光源在设光源在z=- , 仪器在仪器在z= ,则观测到的则观测到的明暗界限为明暗界限为不透光区域有扩大、不透光区域有扩大、缩小、消失的过程缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定分，明暗界限由仪器灵敏度决定.不透光区域边界不透光区域边界tkQktt
32、r4ln4)(ktyxektQ4224adxeax24）不透光区域边界的变化规律）不透光区域边界的变化规律1),(dztzyxCektzyxektQtzyxC423222)4(),(很小）(11ln1),(dztzyxCktyxektQdztzyxC4224),(222ryx对任意对任意t, 不透光区域边界是圆周不透光区域边界是圆周不透光区域不透光区域边界半径边界半径)(41最大值，eQrrekQttm0,42rkQttr(t)rm0t1t2ttkQkttr4ln4)(结果分析结果分析1127 .2tett观测到不透光区域边界达到最大的观测到不透光区域边界达到最大的时刻时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻可以预报烟雾消失的时刻t2mrtQ,11tk
