1、第四章 杆系结构的有限元法章节目录4.1 概述4.2 拉压直杆的有限元分析4.3 梁的有限元分析4.4 刚架的有限元分析4.1 概述4.1.1 杆系结构定义 由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构分类n平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内n空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内工程中常见类型n拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架（平面和空间）4.1 概述4.1.2 杆系单元定义 杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。 杆系单元为一维单元。结构离散 一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间
2、的杆件即构成单元。F节点1节点2单元节点3节点2单元4.1 概述4.1.2 杆系单元分类n桁架单元：桁架中的杆件n刚架单元：刚架中的杆件区别： 桁架节点：铰节点 传递力！ 刚架节点：刚节点 传递力和力矩！4.1 概述4.1.3 杆系单元的有限元分析与平面问题和空间问题比较，基本流程完全相同；具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.1 拉压直杆 （单元描述）几何形状：等截面A,长度为l载荷q：沿轴线分布节点：2个局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系 ox因此，节点坐标 在x轴的坐标： xi , xj节点位移（自由度） 沿x轴的位移： ui , uj单元节点位移
3、列阵ijlxuiuj4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.2 位移模式 单元位移模式的推导位移模式形函数ijlxuiuj1()()ijjiNNNlxxxxl4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.3 应变应变分量 拉压直杆只有轴向应变：几何方程的推导4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.4 应力应力分量 拉压直杆只有轴向应力：物理方程的推导4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.5 单元刚度矩阵4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.5 单元节点等效载荷 （轴向载荷）集中力 根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上体力 轴向分布载荷q(x)推导依据： 面力 按照集中载荷施加在面所在的节点上4.2 拉压直杆的
4、有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析网格离散单元分析整体分析400mm300mmXY20kN25kN1234ij4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析网格离散单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：整体坐标系:OXY局部坐标系: OxyxyXYO4.2.6 平面桁架的有限元分析整体坐标系OXY ：节点位移为Ui ,Vi (i , j)局部坐标系 Oxy： 节点位移为ui ,uj 则有：4.2 拉压直杆的有限元分析ijxyXYOUjVjUiViujui从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵T
5、 4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析推导：注意：局部坐标系下的应力和应变4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：4.2 拉压直杆的有限元分析4.2.6 平面桁架的有限元分析 在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：4.3 梁的有限元分析4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)几何形状：长度l，横截面为A。材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。节点：i , j 共2个局部坐标系：oxy4.3 梁的有限元分析n材料力学基础知识22223322dxvdEyEdxvdydxvdEIQdxvdEIMdxdv应变和
6、应力公式：弯曲公式：4.3 梁的有限元分析4.3.1 纯弯梁单元 (单元描述)节点坐标值：xi=0, xj=l节点位移值：挠度vi和转角i节点力：弯距 Mi 和剪力 Qi因此，单元位移列阵：单元载荷列阵： TjjiieTjjiieMQMQFvv4.3 梁的有限元分析4.3.2 位移模式 代入单元两个节点的坐标和位移条件，即可求解四个待定常数a1-a4：4.3 梁的有限元分析4.3.3 应变22223322dxvdEyEdxvdydxvdEIQdxvdEIMdxdv应变和应力公式：弯曲公式：4.3 梁的有限元分析4.3.4 应力4.3.5 单元刚度矩阵 eekF单元平衡方程：4.3 梁的有限元分
7、析4.3.6 等效节点载荷若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。 原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。 dxxqNFTe4.3 梁的有限元分析4.3.7 应用实例12312kN/m1m1m4.4 刚架的有限元分析4.4.1 平面刚架相互独立的两种变形形式n轴向拉压n面内弯曲因此：刚架单元杆单元梁单元局部坐标系: oxyz4.4 刚架的有限元分析4.4.1 平面刚架两个坐标系： 局部坐标系 整体坐标系4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）节点位移n轴向位移n横向位移n绕z轴的转角节点
8、载荷n轴向力n剪力n弯矩4.4 刚架的有限元分析刚架的有限元分析因此，局部坐标系下：单元节点位移列阵：单元节点载荷列阵：n4.4.2 平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）4.4 刚架的有限元分析4.4.3 单元刚度矩阵 (局部坐标系下) lEAlEAlEAlEAke lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke4602606120612000002604606120612000002223232223233n单元分析：局部坐标系n整体分析：整体坐标系 因此，需要进行坐标转换。4.4 刚架的有限元分析4.4.4 坐
9、标变换（推导过程省略）4.4 刚架的有限元分析4.4 刚架的有限元分析4.4.5 空间刚架结构分析办法：将平面刚架结构扩充到空间刚架结构。n节点位移（自由度）：6个（3个平动位移和3个旋转位移）第四章 杆系结构的有限元法学习要求：n掌握拉压直杆单元和梁单元的单元特性，了解刚架单元的单元特性；n掌握拉压直杆单元和梁单元的单元分析方法，了解刚架单元的单元刚度矩阵的构成；n掌握平面杆系结构的有限元分析中局部坐标系和整体坐标系之间的转换方法；n掌握单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系；n掌握单元节点载荷在局部坐标系和整体坐标系下的转换关系。思考题n常见的一维杆系单元有哪些？节点位移与节点力有何不同？n平面桁架结构如何进行整体坐标与局部坐标的转化？n梁单元的适用条件？
