1、2022-3-25控制科学与工程系15.1李雅谱诺夫意义下稳定性的基本概念李雅谱诺夫意义下稳定性的基本概念 000000( , ); ( ;, ),( ;, )xf x tx t x txx tx t1平衡状态平衡状态 0),(txfxe则称xe为系统的平衡状态。对线性定常系统，则有 Axtxfx),(2李雅谱诺夫意义下的稳定性李雅谱诺夫意义下的稳定性 exxk1222e11ee()() nnxxxxxxxe为球心，为球心，k为半径的球域为半径的球域exx0初始状态域00e( ;, )x t x tx状态轨迹域如果对应于每一个状态的闭球域( )s，总存在着一个初始状态的闭球域( )s使得当t无
2、限增加时，从出发的轨迹不离开( )s，系统平衡状态ex在李雅谱诺夫意义下称为稳定的。 ( )s2022-3-25控制科学与工程系2李雅谱诺夫意义下的稳定李雅谱诺夫意义下的稳定3渐近稳定性渐近稳定性 如果平衡状态如果平衡状态ex在李雅谱诺夫意义下稳定，且满足在李雅谱诺夫意义下稳定，且满足 00lim( ;, )0etx t x tx渐近稳定渐近稳定 2022-3-25控制科学与工程系34大范围渐近稳定性大范围渐近稳定性 对所有的状态（状态空间的所有各点），如果由这些状态出发的轨迹都对所有的状态（状态空间的所有各点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，那么平衡状态就叫做在大范围内渐近稳定的
3、。保持渐近稳定性，那么平衡状态就叫做在大范围内渐近稳定的。 5不稳定性不稳定性 如果对于某个实数如果对于某个实数0和任意一个实数和任意一个实数0，不管这二个实数有多么小不管这二个实数有多么小( )s内总存在着一个状态内总存在着一个状态0 x，使得由这一状态出发的轨迹脱离开，使得由这一状态出发的轨迹脱离开( )s那么平衡状态那么平衡状态ex就称为不稳定的。就称为不稳定的。 在在，以上所述稳定性概念，若与t0无关，即状态的具体初始时刻与平衡态是否稳定无关，所涉及的稳定性则为一致稳定性。如一致李雅谱诺夫意义下的稳定、一致渐进稳定及一致大范围渐进稳定等。 2022-3-25控制科学与工程系46.2 李
4、雅谱诺夫稳定性判别方法李雅谱诺夫稳定性判别方法 1李雅谱诺夫第一方法李雅谱诺夫第一方法 基本思路：求出系统的状态方程，根据状态方程的解判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只要求出系统的特征值就可判别其稳定性对于非线性系统，必须首先将系统的状态方程线性化，然后用线性化方程(即一次近似式)的特征值来判别系统的稳定性。 2022-3-25控制科学与工程系52.李雅谱诺夫第二方法李雅谱诺夫第二方法 李雅谱诺夫第二方法的基本思想是用能量变化的观点分析系统的稳定性。若系统储存的能量在运动过程中随着时间的推移逐渐减少，则系统就能稳定；反之，若系统在运动的过程中，不断地从外界吸收能量，使其储存的能量越来越大，
5、则系统就不能稳定。例如日常生活中的单摆，当考虑空气的阻尼，系统就是稳定的；如果在理想真空中，甚至于因势能给它不断补充能量，系统就不能稳定。 2022-3-25控制科学与工程系6（1） 标量函数的符号标量函数的符号 标量函数的正定性标量函数的正定性 如果对所有在域如果对所有在域中的非零状态中的非零状态x，有，有V(x)0，而且在而且在x=0处有处有V(0)=0，那么在域，那么在域（域（域包含状态空间的原点）内的包含状态空间的原点）内的标量函数标量函数V(x)称为是正定的。称为是正定的。TxxxxxxV),(,)(21222122212)(xxxV22222112)(xxxxV 标量函数的正半定性
6、标量函数的正半定性 如果对所有在域如果对所有在域中的非零状态中的非零状态x，有，有V(x)0，而且在而且在x=0处有处有V(0)=0，那么在域，那么在域（域（域包含状态空间的原点）内的标包含状态空间的原点）内的标量函数量函数V(x)称为是正半定的。称为是正半定的。TxxxxxxxxV),(,)()(32123221TxxxxxxxV),(,)(3212221221)()(xxxV2022-3-25控制科学与工程系7 标量函数的负定性标量函数的负定性 如果对所有在域如果对所有在域中的非零状态中的非零状态x，有，有V(x)0. a若若0)(xV则系统是渐近稳定的（如果随着则系统是渐近稳定的（如果随
7、着x，有，有)(xV，则系统是大范围渐近稳定的）。，则系统是大范围渐近稳定的）。0)(xV，则系统是不稳定的。，则系统是不稳定的。0)(xV，但，但)(xV不恒等于零（除了不恒等于零（除了0)0(V则系统是渐近稳定的；但是，若则系统是渐近稳定的；但是，若 )(xVb若若c若若以外），以外），恒等于零则按照恒等于零则按照李雅谱诺夫关于稳定性的定义，系统是稳定的。但不是李雅谱诺夫关于稳定性的定义，系统是稳定的。但不是渐近稳定的。渐近稳定的。示例2022-3-25控制科学与工程系103 李雅谱诺夫第二方法在线性定常系统中应用李雅谱诺夫第二方法在线性定常系统中应用 PxxxVT)(1) 线性定常连续系
8、统的李雅谱诺夫稳定性分析 Axx 假设假设A是非奇异矩阵，那么唯一的平衡状态是在原点是非奇异矩阵，那么唯一的平衡状态是在原点x = 0处处。 PxxxVT)(P0, PT=PxPxPxxxVTT)(PAxxPxAxTT)(PAxxPxAxTTTxPAPAxTT(QxxT()TQA PPA 正定李雅谱诺夫方李雅谱诺夫方程程 P0, PT=P( )TV xx Qx Q0Q0, QT=QP02022-3-25控制科学与工程系11定理定理 设描述系统的方程为：设描述系统的方程为：Axx 上式中，上式中，x为为n维状态向量；维状态向量；A为为nxn维常系数非奇异矩阵。维常系数非奇异矩阵。平衡状态平衡状态
9、xe=0在大范围内渐近稳定的充要条件为：给定一在大范围内渐近稳定的充要条件为：给定一个正定对称的矩阵个正定对称的矩阵Q，则存在着一个正定对称的矩阵，则存在着一个正定对称的矩阵P，使得使得 QPAPATQ0, QT=QP0PxxxVT)(是系统的一个李雅谱诺夫函数。是系统的一个李雅谱诺夫函数。 2022-3-25控制科学与工程系12几点注意几点注意如果如果QxxxVT)(沿任意一条轨迹不恒等于零，那么沿任意一条轨迹不恒等于零，那么Q可取为可取为正半定的。正半定的。如果我们取一个任意的正定矩阵（或者，如果如果我们取一个任意的正定矩阵（或者，如果)(xV不恒等于零，则可取一个任意的正半定矩阵不恒等于
10、零，则可取一个任意的正半定矩阵Q），并解矩阵方程），并解矩阵方程 沿任一轨迹沿任一轨迹QPAPAT确定确定P。对于平衡状态。对于平衡状态x=0的渐近稳定性，的渐近稳定性，P的正定性是充要条件。的正定性是充要条件。 只要特殊的矩阵只要特殊的矩阵Q选成是正定的（或根据情况选为正半定的），选成是正定的（或根据情况选为正半定的），那么最终结果与矩阵那么最终结果与矩阵Q选择无关。选择无关。 在确定是不是存在一个正定的赫米特或实对称矩阵在确定是不是存在一个正定的赫米特或实对称矩阵P时，取时，取Q = I是很方便的，其中是很方便的，其中I是单位矩阵。于是，是单位矩阵。于是，P的各元素可按下式确定：的各元素可
11、按下式确定： TA PPAI 而后检验矩阵而后检验矩阵P是不是正定的。是不是正定的。 示例2022-3-25控制科学与工程系13(2) 线性定常离散系统的李雅谱诺夫稳定性分析 设离散线性定常系统的状态方程为 )() 1(kGxkx式中，x为n维状态向量；G为n x n常系数非奇异矩阵。原点xe= 0是平衡状态。 假设取一个正定的二次型函数（李雅谱诺夫函数）为 )()()(kPxkxkxVTP0, PT=P在离散系统中，我们采用Vx(k+1)和Vx(k)之差来代替)(xV，即 )()1()(kxVkxVkxV)()() 1() 1()(kPxkxkPxkxkxVTT)()()()(kPxkxkP
12、GxkGxTT)()()()(kPxkxkPGxGkxTTT)()(kxPPGGkxTT2022-3-25控制科学与工程系14定理定理 设描述系统的方程为：设描述系统的方程为：(1)( )x kGx k上式中，上式中，x为为n维状态向量；维状态向量；G为为nxn维常系数非奇异矩阵。维常系数非奇异矩阵。平衡状态平衡状态xe=0在大范围内渐近稳定的充要条件为：给定一在大范围内渐近稳定的充要条件为：给定一个正定对称的矩阵个正定对称的矩阵Q，则存在着一个正定对称的矩阵，则存在着一个正定对称的矩阵P，使得使得 TG PGPQ Q0, QT=QP0PxxxVT)(是系统的一个李雅谱诺夫函数。是系统的一个李雅谱诺夫函数。 QPPGGT)()()(kQxkxkxVT示例
