1、1(1)5. 在下列句子中随机地取一单词在下列句子中随机地取一单词,以以X表示取到的单词所包含的表示取到的单词所包含的字母个数字母个数,写出写出X的分布律并求的分布律并求E(X).“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”解解 共有共有8个单词个单词,随机取到每个单词的概率都是随机取到每个单词的概率都是1/8, X 2 3 4 9 pk 1/8 5/8 1/8 1/8 415819814853812)( XE 设在某一规定的时间间隔里设在某一规定的时间间隔里,某电某电气设备用于最大负荷的时间气设备用于最大负荷的时间X(以分计以分计)是一个随机变量是一个随机变
2、量,其概率密度为其概率密度为 其其它它, 030001500),3000(15000,)(221500115001xxxxxf求求E(X). dxxxfXE)()(解解dxxxdxx 3000150021500115000215001)3000(2230001500231500115000315001)1500(3232xxx 1500)1000()500(4500 X的分布律为的分布律为X的取值为的取值为2,3,4,9,6.7.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X -2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求求E(X),E(X2),E(3X2+5).解解 2 . 03 . 023
3、 . 004 . 0)2()(31 kkkpxXE8 . 23 . 023 . 004 . 0)2()(2223122 kkkpxXE4 .133 . 0 5233 . 0 5034 . 0 5) 2( 3) 53() 53(2223122 kkkpxXE或或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 3 2.8 + 5 =13.4设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 0, 00,)(xxexfx求求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的数学期望的数学期望.解解dxxedxxxfXEx 02)(2)2(2)( 2 2)(20000 xxxxedxexeexddxeedxxfeeEx
4、xxX 0222)()(31310303 xxedxe8.设设( (X,Y)的分布律为的分布律为X 1 2 3 Y 0 0.1 0.0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 -1 0.2 0.1 0.0PX=i 0.4 0.2 0.41.0PY=j0.30.40.3(1)求求E(X),E(Y);(2)设设Z=Y/X,求求E(Z);(3)设设Z= (X- -Y)2,求求E(Z).解解(1)先求出关于先求出关于X,Y的边缘分布律如右的边缘分布律如右故故 E(X)=1 0.4+2 0.2+3 0.4=2E(Y)=-1 0.3+0 0.4+1 0.3=0(2)先求出先求出Z=Y/X的分布律如下的分布律如
5、下Zpk-10.2-1/20.1-1/30.000.41/30.11/20.110.1故故1511 . 011 . 0211 . 0314 . 000)31(1 . 0)21(2 . 0) 1()( ZE(3)先求出先求出Z=(X-Y)2的分布律如下的分布律如下Zpk220.2320.1420.0120.1220.0320.3020.1120.1220.1整理得整理得Zpk00.110.240.390.4故故 E(Z)=0 0.1+1 0.2+4 0.3+9 0.4=59.设设( (X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 010 ,12),(2xyyyxf求求E(X),E(Y),E(XY
6、),E(X2+Y2).xoy11y=x解解 如图如图,阴影部份是阴影部份是f(x,y)不为零的区域不为零的区域 dxdyyxxfXE),()( 10410025/4412dxxdyyxdxx dxdyyxyfYE),()( 10410035/3312dxxdyydxx dxdyyxxyfXYE),()( 10510032/1312dxxdyyxdxx dxdyyxfyxYXE),()()(2222 1004100221212xxdyydxdyydxx 10101055515165325124dxxdxxdxx也可以先求边缘概率密度也可以先求边缘概率密度 dyyxfxfX),()( 其其它它,
7、010 ,412032xxdyyx dxyxfyfY),()( 其其它它, 010 , )(12121322yyydxyy dxxxfXEX)()( 1045/44dxx dyyyfYEY)()( 104353)5141(12)(12dxyy11. 一工厂生产的某种设备的寿命一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计以年计)服从指数分布服从指数分布, 概率密度为概率密度为 0,00,41)(4xxexfx工厂规定工厂规定,出售的设备若在售出一年出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利若工厂售出一台设备赢利100元元,调换一台设备调换一台设备厂方需化费厂方需化
8、费300元元. 试求厂方出售一台设备净赢利的试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望数学期望. .解解 设设Y(元元)表示厂方出售一台设备的净赢利表示厂方出售一台设备的净赢利,则则 Y只能取两个值只能取两个值: Y=100 和和 Y=100-300= -200 .而而 Y=100 时时,设备的寿命必须在一年以上设备的寿命必须在一年以上,即即X 1故故 PY=100=PX 1411441141)( eedxedxxfxx而而 PY= -200=1-PY=100411 e或或 =PX0是常数是常数,求求E(X),D(X).解解 法一法一:利用利用2022 dtet令令t=x/ ,则则20222 dxe
9、x dxxxfXE)()()(2222202022 xxexddxex 202022222 dxexexx dxxfxXE)()(22)(22222022023 xxedxdxex 2022020222202222222 xxxedxxeex22224)()()( XEXEXD法二法二:利用利用 函数的定义及性质函数的定义及性质.)21 (, 1) 1 (),() 1(),0( ,)(01 aaaadtetata令令 t=x2/2 2 ,则则dttdxtx2,2 dtetdttteXEtt 0210222)( 2)21(212)23(2 22020223322)2(222)2()( dtted
10、ttetXEtt19.设随机变量设随机变量X服从服从 分布分布,其概率密度为其概率密度为 0, 0, 0,)(1)(1xxexxfx 其中其中 0, 0是常数是常数,求求E(X),D(X).解解 0)(1)()(dxexdxxxfXEx 令令 t=x/ , 则则 x= t, dx= dt , )()1()()(0dtetXEt 0122)(1)()(dxexdxxfxXEx 222012)1()()1()1()()2()( dtettD(X)=E(X2)- -E(X)2= ( +1) 2- 2 2= 2讨论讨论:(1)当当 =1时时,得到参数为得到参数为 的指数分布的指数分布,E(X)= ,D
11、(X)= 2 .(2)当当 =n/2, =2时时,得到自由度为得到自由度为n的的 2分布分布,E(X)=n,D(X)=2n .19.设随机变量设随机变量X服从几何分布服从几何分布,其分布律为其分布律为PX=k=p(1-p)k-1 ,k=1,2,其中其中0p1是常数是常数,求求E(X),D(X).解解 先复习无穷级数的有关知识先复习无穷级数的有关知识当当|x|Y=PX-Y0=PZ20=1-PZ2 09798.0)05.2(11)1525800(1 PX+Y1400=1-PX+Y 14001539.08461.01)02.1(1)152513601400(1 设随机变量设随机变量 X,Y相互独立相
12、互独立,且且 XN(720, 302), YN(640, 252) ,求求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布的分布,并求概率并求概率PXY,PX+Y1400.解解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640, D(Y)=252 .E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2 720+640=2080D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4 900+625=4225=652故故 Z1N(2080,652)22.(2)28.28.设二维随机变量设二维随机变量( (X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它, 01,1),(22yxyxf 试验证试验证X和和Y是不
13、相关的是不相关的, 但但X和和Y不是相互独立的不是相互独立的.解解 先求边缘概率密度先求边缘概率密度, dyyxfxfX),()(xy1-121xy 21xy 其其它它, 011,12121122xxdyxx dxyxfyfY),()(同理同理 其其它它, 011,12121122yydxyy 显然显然,在单位圆内在单位圆内,即即 时时, 122 yx 1),()1)(1 (4)()(222 yxfyxyfxfYX因此因此X和和Y不是相互独立的不是相互独立的. dxxxfXEX)()(012211 dxxx 同理同理0)()( dyyyfYEY dxdyyxxyfXYE),()(0111112
14、2 xxydyxdx Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 0)()(),( YDXDYXCovXY 因此因此X和和Y是不相关的是不相关的.29. 设随机变量设随机变量 X,Y的分布律为的分布律为X -1 0 1 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 -1 1/8 1/8 1/8PX=i 3/8 2/8 3/81.0PY=j3/82/83/8验证验证X和和Y是不相关的是不相关的, 但但X和和Y不是相不是相互独立的互独立的. 解解 先求出关于先求出关于X,Y的边缘分布律如右的边缘分布律如右显然显然,对每一组对每一组(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有都
15、有 PX=i,Y=j PX=iPY=j ,因此因此X和和Y不是相互独立的不是相互独立的.0831820831)( XE0831820831)( YE81)1(0811)1(810)1(81)1()1()( XYE08101811181)1(18110000 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 0)()(),( YDXDYXCovXY 因此因此X和和Y是不相关的是不相关的.30.设设A和和B是试验是试验E的两个事件的两个事件,且且P(A)0,P(B)0并定义随机变量并定义随机变量X,Y如右如右X=1, 若若A发生发生0, 若若A不发生不发生Y=1, 若若B发生发生0, 若若B不
16、发生不发生证明证明,若若 XY=0,则则X和和Y必定相互独立必定相互独立.证证 PX=1=P(A), 故故PX=0=1-P(A),PY=1=P(B), 故故PY=0=1-P(B),由此得由此得X,Y的边缘分布并设其联合分布如右的边缘分布并设其联合分布如右X 0 1 Y 0 a11 a12 1 a21 a22PX=i 1-P(A) P(A)1.0PY=j 1-P(B)P(B)由表中得由表中得 a11+a21=1-P(A) a12+a22=P(A) a11+a12=1-P(B) a21+a22=P(B) 显然显然E(X)=P(A),E(Y)=P(B),而而 E(XY)=0 0 a11+1 0 a1
17、2+0 1 a21+1 1 a22=a22 由于由于 XY=0,故故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,从而有从而有 a22=E(XY)=E(X)E(Y)=P(A)P(B)代入代入得得 a12=P(A)-a22=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B) 代入代入 a21=P(B)-a22=P(B)-P(A)P(B)=1-P(A) P(B)代入代入a11=1-P(B)-a12=1-P(B)P(A)1-P(B)=1-P(A)1-P(B) 由此可见完全满足由此可见完全满足PX=i,Y=j=PX=iPY=j(i,j=0,1), X和和Y相互独立相互独立31.设随机变量设随机变量
18、(X,Y)具有具有概率密度概率密度 其其它它, 010 ,| , 1),(xxyyxf求求E(X),E(Y),Cov(X,Y).解解 如图如图,阴影部份是阴影部份是f(x,y)不为零的区域不为零的区域GxyGx=yx=-y11-10 dxdyyxxfXE),()( 10210322dxxdyxdxxx dxdyyxyfYE),()(010 xxydydx dxdyyxxyfXYE),()(010 xxydyxdxCov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.法一法一:法二法二:先求出边缘概率密度先求出边缘概率密度(利用利用p86.14的结果的结果) 其其它它, 010 ,21)(xxdy
19、xfxxX 其其它它, 01| |,|1)(yyyfY dxxxfXEX)()(322102 dxx dyyyfYEY)()( 110|)|1(dxyyCov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)0)32(),()32(10 xxydydxxdxdyyxyfx精品课件精品课件！精品课件精品课件！32.设随机变量设随机变量(X,Y)具有具有概率密度概率密度 其其它它, 020 , 20),(81),(yxyxyxf求求E(X),E(Y),Cov(X,Y), XY,D(X+Y).解解 dxdyyxxfXE),()(dxdyyxx)(812020 67416316812232818120220220
20、3202020220 yxxydyxdxdxxdy同理同理E(Y)=7/6, dxdyyxxyfXYE),()(dxdyyxxy)(812020 3438282322381812032022022032020220202 yxyxdyyxdxydydxxCov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=361364934 dxdyyxfxXE),()(2235316881234281812022032042020220203 yxxydydxxdydxxdxdyyxx)(8120202 同理同理E(Y2)=5/3,3611364935)()()(22 XEXEXD同理同理D(Y)=11/36,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=20/36=5/9,.111)()(),( YDXDYXCovXY
