1、 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法一、直接法27变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体，则该球的体积为积为 .4 3A1AC1CO1、求正方体的外接球的有关问题、求正方
2、体的外接球的有关问题例例1、若棱长为、若棱长为3的正方体的顶点都在同一的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为球面上，则该球的表面积为 .2、求长方体的外接球的有关问题、求长方体的外接球的有关问题例例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此，则此球的表面积为球的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为体对角线长为 ，故球的表面积为，
3、故球的表面积为 .1414变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为高为4，体积为，体积为16，则这个球的表面积为（，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 16202432C二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体
4、是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积343VR 球球24SR 球球 面面多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球棱切：棱切：一个几何体各个面分别与另一个几一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。何体各条棱相切。图3图4图5中截面中截面设棱长为设棱长为1 1214=SR 甲甲球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表
5、面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. C. D.1: 2: 31: 8: 27331: 4: 9球与棱柱的组合体问题球与棱柱的组合体问题ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方正方形形的对角线等于球的直径。的对角线等于球的直径。224=2SR 乙乙.球内切于正方体的棱球内切于正方体的棱设棱长为设棱长为1 1ABCDD1C1A1OB1A1AC1CO对角面对角面223R 球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。234=3SR 丙丙球外接于正方体球外接于正方体设棱长为设棱长为1 1ACBPO O二、构造法二、构造法1、构造正
6、方体、构造正方体例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 39变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， 则球O的体积等于 3,BCABDABCABABCDA，平面?D?A?C?B?O图429ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径例例5、 求棱长为求棱长为 a 的正四面体的正四面体 P ABC 的外接球的表面积。的外接球的表面积。变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. B. C. D. 2343 36A2、在等腰梯形ABCD中， E为AB
7、的中点，将 分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ），060, 22DABDCABBECADE与2734. A26.B86.C246.D?A?B?E?D?C?D?C?E?P图3C2、构造长方体、构造长方体已知点A、B、C、D在同一个球面上， ，则B、C两点间的球面距离是 . BBCDA 平面BCDC6,AC=2 13,AD=8AB ?A?C?B?D?O图534三、确定球心位置法 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为()12125. A9125.B6125.C3125
8、.D?C?A?O?D?B?图4四、公式法 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为89解 ： 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离.外接球的半径小结 本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.263,1,2936,384xxx hh21r23d.34, 122球VdrR222drR思考题：思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_，体积为_五、构造直角三角形五、构造直角三角形例例13、求棱长为1的正四面体外接球
9、的体积.86463434,463332,32311,33,3322212121111RVRRRAOORtAOSASOrABCrAORSOOABCDSSO球，解得中，由勾股定理得，在从而识得，中，用解直角三角形知则在上，设外接球半径为在的高，外接球的球心是正四面体解：设六、寻求轴截面圆半径法六、寻求轴截面圆半径法 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上，则此球的体积为 .2?C?D?A?B?S?O?1?图3解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O，如图3所示.由球的截面的性质，可得又 ，球心O必在 所在的直线上. 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆
10、，外接圆的半径就是外接球的半径.在 中，由 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故1OABCDOO平面11SOASCASC12., 2,2222ACRtACASCACSCSAACSCSA为斜边的是以得34球VABCDSO平面12几何体的内切球几何体的内切球正四面体的棱长为正四面体的棱长为a，则其内切球和外，则其内切球和外接球的半径是多少？接球的半径是多少？ 图1解：如图1所示，设点o是内切球的球心，正四面体棱长为a由图形的对称性知，点o也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R正四面体的表面积正四面体的体积 在 中， 即 ，得 得223434aaS表22221234331BEABaAEaV
11、BCDA322212233123aaaaBCDAVrS表31aaaSVrBCDA12631223323表BEORt222EOBEBO22233raRaR46rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之间的关系。4h43hOBERt(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心(2)求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”(3)正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的 .(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)31内切表多RSV
12、4143球的旋转定义球的旋转定义：1.半圆半圆以它的以它的直径直径所在的直线所在的直线为轴为轴旋转所成的曲面叫做旋转所成的曲面叫做球面球面。2.半圆面半圆面以它的以它的直径直径所在的直线所在的直线为轴为轴旋转所成的旋转所成的几何体叫做几何体叫做球体球体。(球是旋转体球是旋转体 )3.注意注意：球面和球体的球面和球体的区别区别：球面仅仅是指球的表面，球面仅仅是指球的表面，而球体不仅包括球的表面，而球体不仅包括球的表面，而且还包括球面所围成的几何空间。而且还包括球面所围成的几何空间。球心球心球的半径球的半径球的直径球的直径性质性质1：用一个平面去截球，截面是用一个平面去截球，截面是圆面圆面；用一个
13、平面去；用一个平面去 截球面，截球面， 截线是圆截线是圆。大圆大圆-截面过球心，半径等于球半径；截面过球心，半径等于球半径；小圆小圆-截面不过球截面不过球心心A2、球心和截面圆心的连线、球心和截面圆心的连线垂直垂直于截面于截面OABCD1OdrR22dRr3、球心到截面的距离与、球心到截面的距离与球的半径球的半径R及截面的半及截面的半径的关系：径的关系：性质性质1：用一个平面去截球，截面是用一个平面去截球，截面是圆面圆面；用一个平面去；用一个平面去 截球面，截球面， 截线是圆截线是圆。大圆大圆-截面过球心，半径等于球半径；截面过球心，半径等于球半径；小圆小圆-截面不过球截面不过球心心精品课件精品课件！精品课件精品课件！球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
