第四章平稳过程课件.ppt

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第1页共45页1、严平稳过程、严平稳过程 设随机过程设随机过程,),(TttX若对于任意的若对于任意的n和任意的和任意的TtttTtttnn ,2121有有),;,(),;,(21212121nnnnxxxtttFxxxtttF 则称则称),(TttX为严平稳过程。为严平稳过程。由定义可知严平稳过程的一维分布与由定义可知严平稳过程的一维分布与t 无关，即无关，即;),();();(txFxtFxtF二维分布函数满足二维分布函数满足)(,;,(),;,(121212121txxttFxxttF4.1

2、 平稳过程的概念平稳过程的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第2页共45页 若严平稳过程存在二阶矩，则有若严平稳过程存在二阶矩，则有mxxdFtXEtmX)()()(（常数）（常数）)()(),(tXsXEtsRX ),;,(2121xxtsdFxxstRstRxxstdFxxXX ),()(),;, 0(2121同理同理stCtsCXX),(),(2、宽平稳过程、宽平稳过程设二阶矩过程设二阶矩过程),(TttX满足：满足：即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关.4

3、.1 平稳过程的概念平稳过程的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第3页共45页 显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过程。以后平稳过程均指宽平稳过程。过程。以后平稳过程均指宽平稳过程。 解解:0)(, 1nXXEnmn),(, 1,nmXXXEnmRmnnmnm, 0,2所以所以, 2 , 1, nXn具有平稳性具有平稳性,称其为平稳随机序列。称其为平稳随机序列。试讨论试讨论平稳性平稳性. 例例1、设、设 ,),(2102kNXk , 21nXn是不相关的随机变量序列

4、，且是不相关的随机变量序列，且, 21nXn（1）mtmX)(（常数）（常数）（2）stRtsRXX),(),(则称则称),(TttX 为宽平稳过程。为宽平稳过程。4.1 平稳过程的概念平稳过程的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第4页共45页)cos()cos(21tataE)()(),(2121tXtXEttRX.,cos2122tta其中其中 例例2、设、设,),cos()(atatX在在, 20上均匀分布，试讨论其平稳性。上均匀分布，试讨论其平稳性。解：解：)cos()()(taEtXEtmX0)cos(2120dta

5、为常数，为常数，4.1 平稳过程的概念平稳过程的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第5页共45页 1、相关函数的性质、相关函数的性质),(XR则则设设),(TttX是平稳过程，其相关函数为是平稳过程，其相关函数为(1); 0)()0(22XXmtXER(2);()(_XXRR(3);0()(XXRR(4)(XR具有非负定性，即具有非负定性，即Ttttnn , 121及复数及复数n,21 有有; 0)(11_kjXjnknjkttR4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(

6、西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第6页共45页_)()()(tXtXERX)()(_tXtXE);(XR（2) (3)2_2)()()(tXtXERX()(22tXEtXE),0(2XR);0()(XXRR证明证明：(1)()()()0(2_tXEtXtXERX; 0)(2XmtXD4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第7页共45页 (4)()()(_11_11_jkjnknjkkjXjnknjktXtXEttRnjjjnkkktXtXE1_1)()(. 0)(

7、21nkkktXE 由相关函数的性质可知：由相关函数的性质可知：（1）若）若 是实平稳过程，则其相关函数是是实平稳过程，则其相关函数是偶函数，即偶函数，即);()( XXRR ),(TttX （2）设）设是平稳过程是平稳过程,则其协方差函数则其协方差函数)(XC满足满足:).0()(, 0)()0(XXXXCCtDC),(TttX4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第8页共45页 2、若、若),()(tTXtX则称则称)(tX 为周期平稳过程，使得上式为周期平稳过程，使得上式成立的

8、最小正数成立的最小正数T为过程的周期。周期平稳过程的相关函数为过程的周期。周期平稳过程的相关函数也为周期函数，且其周期同过程的周期。也为周期函数，且其周期同过程的周期。证明：证明：)()()(_tTXtXETRX)()(_tXtXE).(XR 3、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得 （1）平稳过程）平稳过程)(tX均方连续的充要条件为均方连续的充要条件为)(XR在在 0处连续。处连续。)(XR （2）平稳过程）平稳过程均方可导的充要条件为均方可导的充要条件为在在0处一阶、二阶导数都存在。处一阶、二阶导数都存在。)(tX4.2 平稳过程相关函数的性质平

9、稳过程相关函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第9页共45页（3）若平稳过程）若平稳过程)(tX均方可导，则其导数过程均方可导，则其导数过程)(tX 仍为平稳过程，且仍为平稳过程，且).()(, 0)( XXXRRtm 4、联合平稳过程的互相关函数及其性质、联合平稳过程的互相关函数及其性质.),()(),(stRstRstRXYXYXY记记 （2）)(XYR的性质的性质, )()(_YXXYRR1）特别，当特别，当)(),(tYtX 为联合平稳为联合平稳; )()(_YXXYRR的实过程时，的实过程时，（1）定义：设）定义

10、：设),(,),(TttYTttX为两个平稳过程，为两个平稳过程，),(),(,stRtsRTstXYXY则称这两个过程为联合平稳过程。则称这两个过程为联合平稳过程。若对于任意若对于任意4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第10页共45页2）对任意的复常数）对任意的复常数)()(,tYtX 也是平稳过程，且也是平稳过程，且它们的互相关函数满足：它们的互相关函数满足：);()()()()(2_2YYXXYXYXRRRRR3）).0()0()()0()0()(22YXYXYXXYRRR

11、RRR 证明证明：1）)()()(_tYtXERXY_)()(tXtYE_)(YXR)()()()()()2_tYtXtYtXERYX4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第11页共45页)()()()()(2_2YYXXYXYXRRRRR)()()()3_22tYtXERXY)()(2_tYtXE)()(22tYEtXE)0()0(YXRR同理可得同理可得).0()0()(2YXYXRRR)()()()()()()()(_tYtYtXtYtYtXtXtXE4.3 平稳过程的各态历经

12、性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第12页共45页1、各态历经概念、各态历经概念 设设 是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数怎样通过试验近似地确定？作怎样通过试验近似地确定？作n次试验，得样本函数次试验，得样本函数 nitxi, 2 , 1),( )(tX对于固定的对于固定的,0t)()()()(1)(00100tXtXERtxntmXniiX)()(1010txtxninii 由大数定律，由大数定律，n必须很大，难以实现。由于平稳过程的统计必须很大，难以实现。由于

13、平稳过程的统计特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征呢？下面引入各态历经概念。特征呢？下面引入各态历经概念。4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第13页共45页 (1)时间平均与时间相关函数时间平均与时间相关函数设设),( ttX是平稳过程，称是平稳过程，称1)()(21tXdttXTmilTTT为平稳过程为平稳过程),( ttX在在)( t的时间平均。的时间平均。2)TTTtXtXdttXtXTmil)()

14、()()(21_为平稳过程为平稳过程),( ttX在在)( t的时间相关函数。的时间相关函数。 (2)设设),( ttX是均方连续的平稳过程是均方连续的平稳过程,若若1)() 1XmtXP则称该过程的均值具有各态历经性则称该过程的均值具有各态历经性; 2)1)()()(_XRtXtXP则称该过程的相关函数具有各态历经性则称该过程的相关函数具有各态历经性;4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第14页共45页 3)均值与相关函数都具有各态历经性均值与相关函数都具有各态历经性,则称该过程为各

15、则称该过程为各态历经过程。态历经过程。 例例3、设、设 )cos()(tatX其中其中, a是常数，是常数，在在2 , 0上均匀分布，试讨论其各态历经性。上均匀分布，试讨论其各态历经性。 解：可以求出解：可以求出,cos2)(, 0)0(2aRmXXTTTdttXTmiltX)(21)(TTTdttaTmil)cos(21TTtTmilT)sin(21=01)(XmtXP4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第15页共45页TTTdttXtXTmiltXtX)()(21)()(_TTTd

16、tttaTmil)cos()cos(212TTTdttTmila)222cos(cos2122,cos22a, 1)()()(_XRtXtXP 所以，原过程的相关函数具有各态历经性。于是该过程为所以，原过程的相关函数具有各态历经性。于是该过程为各态历经过程。各态历经过程。 2、各态历经性的判定定理、各态历经性的判定定理（1）均值各态历经定理）均值各态历经定理设设),( ttX 是平稳过程，则其均值具有各态历经是平稳过程，则其均值具有各态历经 性的充要条件为性的充要条件为 4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程202

17、2年3月27日星期日 第16页共45页0)(2121lim22dCTTXTTT 证明：证明：TTTdttXTmilEtXE)(21)(TTTdttXET)(21limXm22)()(XmtXEtXDTTTTTdttXdttXTEtXE)()(41lim)(211_222 TTTTXTdtdtttRT21212)(41lim1t2tTT0为了计算上述积分，作变量替换令为了计算上述积分，作变量替换令vttutt2121,4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第17页共45页21),(),(,

18、2,22121vuttJuvtvutuTuTTTXTdvduuRTtXE222222)(81lim)(duuRTuTXTTT)()21 (21lim22dRTTXTTT)()21 (21lim22v0uT2T2又又1)21 (2122dTTTT所以所以TTXXTdmRTTtXD222)()(21 (21lim)(dCTTXTTT)(2121lim224.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第18页共45页由由0)(tXD充要条件知：充要条件知：1)(XmtXP只须只须. 0)(2121li

19、m22dCTTXTTT若若),( ttX 是实平稳过程，其相关函数为偶函数，则是实平稳过程，其相关函数为偶函数，则均值各态历经的充要条件为均值各态历经的充要条件为. 0)(211lim20dCTTXTT设设),( ttX是平稳过程，如果是平稳过程，如果, 0)(limXC则则),( ttX的均值具有各态历经性。的均值具有各态历经性。(2)相关函数的各态历经定理相关函数的各态历经定理由于由于),()()(_tXtXERX令令,),()()(_ttXtXtY有有)()(XRtYE4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2

20、022年3月27日星期日 第19页共45页若若,),()()(_ttXtXtY是平稳过程是平稳过程,则则)()()()()(_utXutXtXtXEuRY 于是于是,),( ttX 的相关函数的各态历经性转化为的相关函数的各态历经性转化为)(tY的均值的各态历经性判定的均值的各态历经性判定,所以所以实际应用中通常定义实际应用中通常定义 t0TTdttXTmiltX0)(1)(TTdttXtXTmiltXtX0_)()(1)()(平稳过程平稳过程),( ttX的相关函数具有各态历经性的充要的相关函数具有各态历经性的充要. 0)()(2121lim222duRuRTuTXYTTT条件为条件为4.3

21、 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第20页共45页 例例4、设平稳过程的协方差函数、设平稳过程的协方差函数)(XC满足满足dCX)(则该过程的均值具有各态历经性。则该过程的均值具有各态历经性。 证明：证明：dCdCTXX)()(21所以所以0)(2121lim22dCTTXTTT从而，该过程的均值具有各态历经性。从而，该过程的均值具有各态历经性。3、各态历经性的应用、各态历经性的应用设设)(tX是具有各态历经性的平稳过程，即是具有各态历经性的平稳过程，即1)()()(, 1)(_XXRtX

22、tXPmtXP4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第21页共45页 这就从理论上保证可以认为由试验得到的样本函数这就从理论上保证可以认为由试验得到的样本函数),(tx由由)(tx确定确定),(tX均值和相关函数，有均值和相关函数，有TTTXdttxTm,)(21lim或或TTXdttxTm0,)(1limTTTXdttxtxTR,)()(21lim)(_或或TTXdttxtxTR0_.)()(1lim设设,0),(ttX为实过程，将为实过程，将0,TN等分，于是等分，于是称称NT),(

23、11NkNTXkxNmNkNkT, 2 , 1 , 0, 为采样点为采样点,取取N足够大，足够大，足够小。足够小。4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第22页共45页令令 rNkNTNkTNTXrkXxrNrRmrNTr1)()(1)(, 2 , 1 , 0,4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第23页共45页1、相关函数的谱分解、相关函数的谱分解(1)维勒维勒辛钦定理辛钦定理

24、 是均方连续的平稳过程，则其相关是均方连续的平稳过程，则其相关函数函数 设设),( ttX)(XR可表示为可表示为),(),(21)(XjXdFeR 其中其中 )(XF是是)( t 上上 非负、有界、单调不减、右连续非负、有界、单调不减、右连续函数，且函数，且 ).()(,)(020XXXRFF 证明：若证明：若, 0) 0 (XR则则, 0)(XR此时此时0)(XF即为所求。即为所求。若若, 0) 0 (XR令令,) 0 ()()(XXRRf)(f连续、非负定且连续、非负定且, 1) 0 (f4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章

25、 平稳过程2022年3月27日星期日 第24页共45页于是，于是，)(f 必为某随机变量的特征函数，从而存在分布函数必为某随机变量的特征函数，从而存在分布函数),(G使得使得)() 0 ()()(dGeRRfjXX即得即得 )()()( GRFXX02 即为所求。即为所求。(2)定义定义. )(21)(XjXdFeR 称称 )(XF为平稳过程为平稳过程),( ttX的谱函数的谱函数,称称)( , )(21)(XjXdFeR 为平稳过程为平稳过程),( ttX相关函数的谱展开式。相关函数的谱展开式。4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4

26、章 平稳过程2022年3月27日星期日 第25页共45页 如果存在非负函数如果存在非负函数)(XS使得使得),(,)()(duuSFXX则称则称)(XS为随机过程为随机过程),( ttX的谱密度。的谱密度。(3)谱密度与相关函数的关系谱密度与相关函数的关系表明表明)(),(XXSR是互为富氏变换对。是互为富氏变换对。 例例5、设、设),( ttX是平稳过程，其相关函数为是平稳过程，其相关函数为,)( eRX其中其中,是正数，求其谱密度与谱函数。是正数，求其谱密度与谱函数。 设设),( ttX均方连续的平稳过程，且均方连续的平稳过程，且)(XR 绝对可积，绝对可积，,)(dRX则则)( ,)(2

27、1)()( ,)()(dSeRdReSXjXXjX 即即4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第26页共45页 解：解：deeSjX)(0)(0)(dedejj222duuSFXX)()(222udu)(arctan22 试证明试证明 例例6、设、设F(x)是任意单调不减、右连续的有界函数，且是任意单调不减、右连续的有界函数，且, 0)(limxFx 又设又设X,Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，X以以)(/ )(FxF为其分布函数，为其分布函数，Y在在2 , 0 上均匀分布

28、。对上均匀分布。对),(t令令,2)()()(YXtjeFtX),( ttX是均值为是均值为0的平稳过程，且的平稳过程，且F(x） 为其谱函数。为其谱函数。4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第27页共45页证明：设证明：设F(x,y)为为(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数,)(),(yFxFYX 分别为分别为X,Y的分布函数，因为的分布函数，因为 )()(),(yFxFyxFYX)()()(yFFxFY ),(2)()()()(yxdFeFtXEtmyxtjX )()()(12)()(y

29、dFxdFFeFYXyxtjdyexdFeFjyjxt21)()(21=0)()(), (_tXtXEttRX ),(2)()()(yxdFeeFyxxtjyxtj4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第28页共45页 ),(2)(yxdFeFjxdyxdFej2021)(21)(21xdFej)(XR因此，因此，),( ttX是平稳过程，且是平稳过程，且F(x)为其谱函数。为其谱函数。2、谱密度的物理意义、谱密度的物理意义 设设x(t) 为一确定性功率信号，由为一确定性功率信号，由“信号与系统

30、信号与系统”可知：可知：x(t)在频率在频率 处的功率谱密度为处的功率谱密度为2)(21lim)(TTtjTXdtetxTS 设设)(XR是平稳过程是平稳过程),( ttX相关函数，如果相关函数，如果)(XR绝对可积，则绝对可积，则)(21lim)(2TTtjTXdtetXETS),(21lim2TFETXT4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第29页共45页 证明：证明：)(212TTtjdtetXETTTTTtjsjdtetXdsesXET)()(21_ TTTTstjdsdtetXsXE

31、T)(_)()(21 TTTTstjXdsdtestRT)()(21dudveuRTujX)(41可得可得类似于各态历经性定理类似于各态历经性定理的证明令的证明令vstust ,dueuRujXTTTu)(1222 故故)(212TTtjdtetXETdueuRujXTTTu)(1222)()(XujXSdueuR这就是功率谱密度的物理意义。这就是功率谱密度的物理意义。3、谱密度的性质和计算、谱密度的性质和计算4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第30页共45页 (1) (2)若若 (4)设设

32、 为两个正交的平稳过程为两个正交的平稳过程(即即 设设)(XS为平稳过程为平稳过程),( ttX 谱密度，则谱密度，则)(XS为实值非负函数为实值非负函数;),( ttX为实值平稳过程为实值平稳过程,则则);()(XXSS (3);)() 0 (,)(21) 0 (dRSdSRXXXX),(,),(TttYYTttXX),0),(tsRXY则则),()()(TttYtXtZZ 的谱密度为的谱密度为).()()( YXZSSS 例例7、若平稳过程、若平稳过程X(t)的谱函数的谱函数)(XF对某对某a满足满足)(dFea 则则X(t)是任意是任意n次均方可微的。次均方可微的。证明：因为证明：因为,

33、 )(21)(XjXdFeR)()(21)(2)2(XjnnXdFejR4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第31页共45页, )()(21) 0 (2)2(XnnXdFjR 由由0lim2ane)()()(2XaXndFedFj 可知可知)(tX是任意是任意n次可微分的。次可微分的。若若)(XR 不是绝对可积，则谱函数不存在。下面引进不是绝对可积，则谱函数不存在。下面引进函数，推广谱密度的概念。函数，推广谱密度的概念。称称. 1)(,0, 00,)(dt为冲击函数（广义函数）。为冲击函数（广

34、义函数）。 若若)(tf连续，则有连续，则有).0 ()()(fdttf 证明：令证明：令, 00 ,0, 0)(1tttt4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第32页共45页则有则有),(lim)(0tttdtttfdtttft)(lim)()()(0dttft010)(lim)0 ( ,)(lim10f).0 ()(lim10ff于是有于是有21212121)()(,)(1)(dedededejjjj 例例8、设平稳过程、设平稳过程X的相关函数为的相关函数为,cos)(aRX 求其谱密度。

35、求其谱密度。解：解：deaSjXcos)(deeejjja2deejja)()(2)()( a4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第33页共45页 4、互谱密度及其性质、互谱密度及其性质(1)互谱密度的定义互谱密度的定义绝对可积绝对可积,即即设设)(XYR是联合平稳过程是联合平稳过程),(,),(ttYttX的互相关函数的互相关函数,如果如果)(XYR,)(dRXY则称则称,)()(dReSXYjXY为联合平稳过程为联合平稳过程),(,),(ttYttX的互谱密度。的互谱密度。 (2)互谱密度

36、的性质互谱密度的性质1）);()(_YXXYSS2）)(),(XYXYSR是一对是一对Fourier变换，即变换，即)( ,)(21)()( ,)()(dSeRdReSXYjXYXYjXY4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第34页共45页 3)若若X,Y为实过程为实过程, 则则 )(XYS 的实部的实部)(Re(XYS是偶是偶部部)(Im(XYS是奇函数；是奇函数；4)TTTTtjYtjXYXTTXYdttYeTFdttXeTFTFTFES.)(),(,)(),(),(),(lim)(_21

37、 5).()()(),()()(22YXYXYXXYSSSSSS函数函数,虚虚4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第35页共45页1、线性时不变系统概念、线性时不变系统概念Lx(t)y(t)y(t)=Lx(t),称称L为系统，也称为系统，也称L为算子。为算子。 若系统若系统L满足：满足： (1)()()()(txLatxLatxatxaL22112211 其中其中21,aa为常数为常数,则称则称L为线性系统为线性系统;(2)()(, tytxL则称则称L为线性时不变系统为线性时不变系统;满足满

38、足(1)和和(2)的系统的系统,称为线性时不变系统。称为线性时不变系统。4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第36页共45页设设L为线性时不变系统，为线性时不变系统，, 2 , 1),( ntxn为一列信号，为一列信号，若当若当)()(limtxtxnn时有时有, 2 , 1),()( ntxLtynn)()(limtxLtxLnn则称则称L为保持连续性的时不变系统。为保持连续性的时不变系统。2、线性时不变系统的脉冲响应函数与频率响应函数、线性时不变系统的脉冲响应函数与频率响应函数(1

39、)频率响应函数频率响应函数设系统设系统L 为线性时不变系统，输入为为线性时不变系统，输入为),()(ttx输出为输出为),()(),(tLthth称称)(th脉冲响应函数。脉冲响应函数。t连续点时，有连续点时，有由由)(t )()()(txdtx 为为性质知，当性质知，当)(tx4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第37页共45页设系统输入为设系统输入为),(tx系统的脉冲响应函数为系统的脉冲响应函数为)(th 则系统的输出为则系统的输出为).()()(thtxty证明：证明：)()(

40、)()(dtxLtxLtydtLx)()()()()()(thtxdthx (2)频率响应函数频率响应函数 系统的脉冲响应函数的傅氏变换，称为系统的频率响应系统的脉冲响应函数的傅氏变换，称为系统的频率响应函数，记作函数，记作),(H即即dttheHtj)()(4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第38页共45页由于由于)()()(thtxty两端作傅氏变换，得两端作傅氏变换，得)()()(HXY其中其中dttxeXdttyeYtjtj)()()()(设系统的输入为设系统的输入为,)(t

41、jetx则系统的输出为则系统的输出为).()(Hetytj为系统的频率响应函数。为系统的频率响应函数。其中其中)(H4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第39页共45页证明：证明：dtxhty)()()(dehtj)()(dehejtj)()(Hetj 例例8、如图所示、如图所示R-C电路，试求频率响应函数。电路，试求频率响应函数。)(txRC)(ty解：右图系统的方程为解：右图系统的方程为)()()(11txtytyRCRCdtd令令tjtjeHtyetx)()(,)(代入得代入得R

42、CtjtjtjaaeeaHejH1,)()(解之得解之得.)(jaaH4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第40页共45页3、线性时不变系统对随机输入的响应、线性时不变系统对随机输入的响应变系统，其脉冲响应和频率响应函数分别为变系统，其脉冲响应和频率响应函数分别为且满足：且满足： 设系统的输入为平稳过程设系统的输入为平稳过程),(ttXX其相关函数其相关函数和谱密度分别为和谱密度分别为),(),(XXSR且且)(XR绝对可积，绝对可积，L是线性时不是线性时不),(),(Hth (1);

43、)(dtth(2) dsdtstRthshX)()()(_则有则有L的输出的输出),(ttYY为为 (1)babadssXsthmiltY)()()();()()()(tXthdssXsthdtstXsh)()(4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第41页共45页(2)dtdsstRthshRdtthmmXYXY)()()()(;)(_ );()()(_XRhh (3)Y的谱密度存在的谱密度存在,且且).()()(2XYSHS例例9、设例、设例8中输入为平稳过程的功率谱密度是中输入为平

44、稳过程的功率谱密度是,2(白噪声白噪声)，求输出的相关函数。，求输出的相关函数。(白噪声白噪声)，解：由上例知系统的频率响应函数为解：由上例知系统的频率响应函数为jaaH)(4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第42页共45页22222)()()(aaSHSXYdeaaRjY222221)().(212aea 4、线性时不变系统输入与输出的互相关函数与互谱密度、线性时不变系统输入与输出的互相关函数与互谱密度 设线性时不变系统的输入和输出分别为平稳过程设线性时不变系统的输入和输出分别为平

45、稳过程),(,),(ttYYttXX且存在谱密度且存在谱密度),(XS则则X 与与Y平稳相关，且它们的互谱密度为平稳相关，且它们的互谱密度为4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第43页共45页)()()(XXYSHS其中其中)(H为系统的频率响应。为系统的频率响应。 例例10、设、设Y 是均方二次可微的平稳过程，是均方二次可微的平稳过程，X是均方连续的是均方连续的平稳过程，且满足平稳过程，且满足)()()( )(20tXtYtYtY试用试用X的谱密度表示的谱密度表示Y的谱密度。的谱密度

46、。)()()(_XYXSHS则系统输出则系统输出),()(Hetytj代入微分方程得代入微分方程得tjtjtjtjeeHeHjeHj)()()()()(202解：该系统为线性系统，先求频率响应，设解：该系统为线性系统，先求频率响应，设tjetx)(4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2022年3月27日星期日 第44页共45页得得jH2201)(设输入设输入X 的谱密度为的谱密度为),(XS则则).()()()()()(2XXYXYSHSSHS作业作业:P146 习题四习题四 1、6、10、11、15、18、21、23、24、26、33、364.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程