1、4.1 4.1 数学期望数学期望 4.1.1 概念概念例例1 1、盒子中有、盒子中有6 6个球（如图），个球（如图），122333从中任取一球再放回，重复了三次，问三次从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。抽到号码的平均值。定义定义4.1：设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列是的分布列是 ，若级数若级数 收敛，则称随机变量收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，且的数学期望存在，且称级数称级数 的和为的和为 X 的数学期望，并记为的数学期望，并记为EX，有时也称，有时也称 EX 为为 X 的均值。的均值。iipxXP)(iiipx11iiipx1,2,.i 对连续型随
2、机变量对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定的数学期望类似的可定义如下：义如下：定义定义4.2：如果连续型随机变量如果连续型随机变量X具有密度函数具有密度函数 f(x)，积分，积分 收敛，则称收敛，则称 X 的数学的数学期望存在，否则称期望存在，否则称X的数学期望不存在。若的数学期望不存在。若X 的数学期望存在，称积分值的数学期望存在，称积分值 为为 X 的数学期望，也记为的数学期望，也记为 EX。dxxfx)(dxxxf)(注注1、若、若 ，仍称，仍称X的的 数学期望不存在。数学期望不存在。11,kkkkkkpxpx而2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在、离散型取有限个值，连续型密度
3、函数只在有限区间上积分，则有限区间上积分，则X的期望一定存在。的期望一定存在。3、离散型只取非负值，连续型只在、离散型只取非负值，连续型只在x0时时f(x)0，则只需直接计算期望。，则只需直接计算期望。4.1.2 4.1.2 常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望 （1）（）（01）分布）分布p1-pP10XpXPXPEX)1(1)0(0npppnpppknknnpppknknkkXkPEXnnkknkknknknk11110)1()1 ()!()!1()!1()1 ()!( !)(（2）二项分布）二项分布B(n,p)nkppCkXPknkkn, 1 , 0)1 ()(，（3）泊松分布）
4、泊松分布P(), 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk01110!)!1(!)(iikkkkkiekeekkkXkPEX（4）几何分布）几何分布G(p), 3 , 2 , 1,)(1kpqkXPkpqqpqpkqpkXkPEXkqkkkk1)1()()(1110（5）超几何分布）超几何分布H(N, M ,n)()1,2,3, ,0, 0kn kMN MnNC CP Xkkln MCnNMN01111111()!(1)!()!()!kn kllMN MnkkNn kn kllkN MN MMnkkNC CEXkP XkkCCCMMCNNkMkCn NnnnMN（6）均匀分布）均匀分布U(a,
5、b)其它01)(bxaabxf21)(baxdxabdxxxfEXba（7）指数分布）指数分布000)(xxexfx1)2(1)(1)(00 xdxedxexdxxxfEXxx（8）正态分布）正态分布 N(,2 2)1021)(21)(21)(2222222)(2)(2)(dxedxexdxexdxxxfEXxxx4.1.3 4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1)()(kkkpxgXEgEY定理定理4.14.1：设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即 （g 是连续函数），是连续函数），（1 1）若）若X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为而
6、级数而级数 绝对收敛，则有绝对收敛，则有,2, 1,)(kpxXPkk1)(kkkpxg)(XgY （2 2）若）若 X 是连续型随机变量，其密是连续型随机变量，其密度函数为度函数为 ，若积分，若积分 绝对收敛，则有绝对收敛，则有 )(xfdxxfxg)()(dxxfxgXEgEY)()()(定理定理4.24.2：设设Z Z是二维随机变量是二维随机变量（X，Y）的的函数，即函数，即Zg（X，Y），），则则（1 1）若）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有是二维离散型随机变量，有11),(),(jiijjipyxgYXEgEZ（2 2）若）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有是二维连续型随机变量
7、，有dxdyyxfyxgEZ),(),( 例例1 1：设：设 XB（n，p），），求求EX(X1)。解：因解：因XB（n，p），），则则X的分布律为的分布律为, 2 , 1 , 0)(kqpCkXPknkkn令令 Yg（X） X(X1)nkknkknqpCkkXEX0) 1() 1(knknkqpkknnkk0!)!(!) 1(knknkqpkknnpnn222)!2()!()!2() 1(2202!)!2()!2() 1(ininiqpiinnpnn22)() 1(nqppnn2) 1(pnn例例2 2、已知、已知XN(0,1)，求，求E(X4)22244423322242220051221
8、( )222 2 ()()2222254 3 11 ( )( )322 22xxxEXx f x dxx edxxxx eed例例3 3、（X,Y）的联合密度函数为：的联合密度函数为：其其它它0102),(yxyxf求：求：EY1002( , )23yEYyf x y dxdyydydx 例例4 4：设随机变量：设随机变量（X，Y）服从二维正态分服从二维正态分 布，其密度为布，其密度为2exp21),(22yxyxf求求 的数学期望的数学期望。22YXZ解：解：dxdyyxyxEZ2exp212222rdrerdr2020221drerr22022212例例5 5：设：设X、Y相互独立同服从标
9、准正态分布相互独立同服从标准正态分布N（0，1），），求求 E（maxX,Y）。解：由题设，解：由题设，(X，Y)的联合密度为的联合密度为2exp21),(22yxyxfdxdyyxYXYXE2exp,max21,max22dxdyxedxdyyeyxyxyxyx222222212122222222y1122xyyxxedxyedyedyxedx1（1 1） ECC，(C为常数为常数)（2 2） E(CX)CEX ，(C为常数为常数)（3 3） E(X+Y)EXEY E(aX+b)aEXb， E( )（4 4）若若X、Y是相互独立的随机变量，则是相互独立的随机变量，则 E(XY)EXEY 。
10、niiX1niiEX14.1.4 4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质例例6 6、盒中有、盒中有N个球，其中个球，其中M个黑球，个黑球，N-M个个白球，从中任取白球，从中任取n个球，令个球，令X表示取得黑球的表示取得黑球的个数，求个数，求 EX。nMEXN4.2 随机变量的方差随机变量的方差 4.2.1 4.2.1 方差的定义方差的定义 对随机变量的特征进行考察，除了数学对随机变量的特征进行考察，除了数学期望外，还要考察期望外，还要考察X的可取值与的可取值与EX的偏离情的偏离情况，由于况，由于XEX可正可负可正可负，因此用因此用XEX2 来考虑来考虑。 定义定义4.34.3：设设X是一个随
11、机变量，若是一个随机变量，若(XEX)2 的数学期望存在，则称的数学期望存在，则称E(XEX)2为为X的方差，的方差，记为记为DX或或Var(X)，即即DXE(XEX)2 离散型随机变量：离散型随机变量：12)(kkkpEXxDX连续型随机变量连续型随机变量：dxxfEXxDX)()(2方差的计算公式：方差的计算公式：22)(EXEXDX4.2.2 4.2.2 几种常见的随机变量的方差几种常见的随机变量的方差pqDX pEXpEX2,（1 1）（）（0 01 1）分布）分布p1-pP10X（2 2）二项分布）二项分布：)1 (pnpDX) 1(,(22nppnnEXnpEX（3 3）泊松分布）
12、泊松分布：DX) 1(,(2XEXEX（4 4）均匀分布：）均匀分布：2baEX12)()2(1)()2(222abdxbaxabdxxfbaxDXba（5 5）指数分布）指数分布：1EX220220222)3(1)()(1xdexdxexEXxx2221)(EXEXDX（6 6）正态分布：）正态分布：EX2222202)(202)(222212)23(22)(2222)(22)()()(2222xdexdxexdxxfxEXXEDXxx4.2.3 4.2.3 方差的性质方差的性质 （1 1）D(C)0，( (C为常数为常数) ) （2 2）D(CX)C2DX ，( (C为常数为常数) ) （
13、3 3）若）若X、Y是相互独立的随机变量，则是相互独立的随机变量，则 D(X+Y)=D(X-Y)DXDY （4 4）DX01)(EXXP例例1 1、已知、已知 XN(1,22)，YN(2,22)，且，且X、Y相互独立，求：相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方的数学期望和方差。差。 定理：切比雪夫不等式定理：切比雪夫不等式221)|(|)|(|, 0DXEXXPDXEXXP或者或者|0,(|)(1,2,)kkE XPXk 推广（马尔可夫不等式 ）：4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数4.3.1 协方差与相关系数的概念协方差与相关系数的概念 我们在证明方差的性质时看到，当两个我们在证明方差
14、的性质时看到，当两个随机变量随机变量X和和Y相互独立时，有相互独立时，有0)(EYYEXXE但当但当 X 和和 Y 不相互独立时，它们之间的关不相互独立时，它们之间的关系呢？系呢？称称 为为 X、Y 的相关系数的相关系数。DYDXYXXY),cov(定义定义4.44.4：设设 X、Y 是两个随机变量，称是两个随机变量，称为随机变量为随机变量 X、Y 的协方差，记为的协方差，记为 即：即：),cov(YX)(EYYEXXE)(),cov(EYYEXXEYX相关系数的特征相关系数的特征： 是一个无量纲的是一个无量纲的量。它描述的是量。它描述的是 X、Y 之间的线性相关程之间的线性相关程度。度。XY
15、0XY特殊的特殊的，当当时时，称称X,Y不相关不相关。结论结论：X、Y相互独立，则其一定不相关相互独立，则其一定不相关；但若但若 X，Y不相关，却未必相互独立不相关，却未必相互独立。4.3.2 4.3.2 协方差与相关系数的性质协方差与相关系数的性质1、协方差的性质、协方差的性质:),cov(),cov() 1 (XYYX(4) cov(,)cov(, )aX bYabX Y1212(5) cov(, )cov(, )cov(, )XX YX YX YDXXX),cov()2(6) cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y(3) cov(,)0,X CC是常数(7),cov(
16、, )0X YX Y 若相互独立，则2、相关系数的性质、相关系数的性质:（1）| | 1 ;（2）| | = 1 的充要条件为的充要条件为 X 与与 Y 以概以概率率1 1线性相关。即存在常数线性相关。即存在常数 a、b，a0 0 ，使使XY1baXYPXY例例1 1、已知随机变量、已知随机变量X,Y相互独立，且相互独立，且(2004, 1),(2005, 1),XNYN求求 3X-Y 与与 X+Y 的相关系数。的相关系数。独立与不相关的关系：独立与不相关的关系：X、Y相互独立，则其一定不相关相互独立，则其一定不相关；但若但若 X，Y不相关，却未必相互独立不相关，却未必相互独立。例例2 2、已
17、知、已知（X,Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为：其其它它011),(22yxyxf证明：证明：X，Y 不相关不相关，X，Y 不独立不独立。4.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵4.4.1 矩矩定义定义4.54.5：设设X、Y是随机变量是随机变量， 称为称为X的的k阶原点矩阶原点矩, 2 , 1kEXkk 称为称为X的的k阶中阶中心矩心矩, 2 , 1)(kEXXEkk, 2 , 1,)()(lkEYYEXXElkkl称为称为X与与Y的的k+l阶混合中心矩阶混合中心矩4.4.2 协方差矩阵协方差矩阵设设n维随机变量维随机变量 X ，记记 称称 为为X的的期望向量期望向量，记记 为为 Xi 与
18、与Xj 的协方差的协方差，则称则称n阶矩阵阶矩阵),(21nXXX12(,)n iiEXijnnnn1111为随机变量为随机变量X的的协方差矩阵协方差矩阵。设设n维随机变量维随机变量 X ，记记 称称 为为X的的期望向量期望向量，记记 为为 Xi 与与Xj 的协方差的协方差，则称则称n阶矩阵阶矩阵nnnn1111协方差矩阵的性质：协方差矩阵的性质：（1）（2） ，即协方差矩阵即协方差矩阵是对称的是对称的。（3）协方差矩阵协方差矩阵是非负定矩阵，即对任是非负定矩阵，即对任意的意的 n n 维实向量维实向量 t ，有有 t t （4）iiiDXjiij),(21nttt011njnijiijt t
19、jjiiij24.4.3 n维正态分布维正态分布112211( )exp()()2(2 )nf xxx定义定义4.64.6：若若n维随机向量维随机向量X 的联合概率密度为的联合概率密度为),(21nXXX其中其中x ， ，是是 n维实向量，维实向量， 是是n阶正定矩阵阶正定矩阵，|表示表示的行列式，则称的行列式，则称X服从服从n维正态维正态分布分布，记为记为XN（，nn）。）。),(21nxxx),(21nnnij)()1 (1)1 ()1 ()1 (1, )1 (222221221221122221rrrrrrr特殊的，特殊的，n=2时，即时，即：222121212121,rrXXX其中其中
20、0, 1| , 0, 021从而从而r1 1、定义、定义：22222122112111222121)()(2)()1 (21exp121),(xxxrxrrxxf其中其中 任意任意，21,1| , 0, 021r（二二维维正正态态分分布布）称称),(),(22221121rNXX),(),(21)(22222211112)(11212111NXNXRxexfxX；同理：；同理：即即）（、)1 (, )(|)(),()|(322211122212112|111112rxrNXxfxxfxxfxXXxXX可得：可得：、为相关系数）为相关系数）（参数（参数所以所以、rrrEXXEXXEXXXX2121221121)(),cov(4121212121250( ,)()(),X XXXrf x xfxfxXX、也即：不相关相互独立。)(),(, 2 , 1, ),(6122112为常数为常数则则相互独立相互独立、iniiiniiiniiiiiiCCCNXCniNX7 7、 Xn1N（n1,nn）的充要条件是）的充要条件是 lXN（l， l l）（）（其中其中l为为n维常向量维常向量）（其含义是：（其含义是：X 服从多维正态分布的充要条服从多维正态分布的充要条件是其任一线性组合服从一维正态分布。）件是其任一线性组合服从一维正态分布。）
