1、 为系统为系统的输入解耦零点；称满足的输入解耦零点；称满足为系统的输出解耦零点；为系统的输出解耦零点；的的 kDukCxkykHukGxkx1 nHGsIrankn snCGsIrankn s定义定义11.1.1 对于系统（对于系统（11.1.5） 我们称满足我们称满足的的11.1 离散动态系统的数学描述离散动态系统的数学描述11.1.1 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述11.1.2 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵 为为 的有理分的有理分式矩阵，并且通常只讨论式矩阵，并且通常只讨论 为真的和严格为真的和严格真的情况，因为非真的真的情况，因为非真的
2、 将不具有因果将不具有因果性，即会出现还没有加入输入作用而已产生性，即会出现还没有加入输入作用而已产生输出响应的现象，这是不符合一般的物理可输出响应的现象，这是不符合一般的物理可实现性的。实现性的。 mrnDCHGsIrankn,min 称满足称满足的的s为系统的传输零点。为系统的传输零点。 zGz zG zG11.2 离散动态系统的运动分析离散动态系统的运动分析 从数学角度看，线性离散系统的运动分析，从数学角度看，线性离散系统的运动分析，归结为对时变的线性差分方程归结为对时变的线性差分方程或定常的线性差分方程或定常的线性差分方程进行求解。进行求解。 01,00,1,2,x kG k x kH
3、 k u kxxk , 2 , 1 , 00,10 kxxkHukGxkx 00, (0)0 ,1 ,2 ,00(0),1,0 0,1,2,100001,(1),(1), .2 11.2.1 .xxuuukxux kG kx kHk u kxxkxGxHukxu给定系统的初始状态以及各采样瞬时的输入则系统的状态可按照如下步骤迭代地进行计算。1 令则由迭代法求解线性离散系统的状态已知从式求得令则由已知程得，求，方 21111xGxHu .令令 ，则由已知，则由已知 和和 ，从式（从式（11.2.1）求得）求得( 为给定问题的时间区为给定问题的时间区间末时间末时)l1 lk 1 lx 1 lu 1
4、111 lulHlxlGlxl11.2.2 线性离散系统的运动规律线性离散系统的运动规律定义定义11.2.1 矩阵差分方程矩阵差分方程 ImmmkkGmk , 1 ImkGmk 0,1和和 mk, mk , 2 , 1 , 00,10 kxxkukHkxkGkx , 2 , 1 , 00,10 kxxkHukGxkx的解阵的解阵和和 分别称为线性分别称为线性时变离散系统时变离散系统和线性定常离散系统和线性定常离散系统的状态转移矩阵。的状态转移矩阵。和线性定常离散系统和线性定常离散系统 mk, mk , 2 , 1 , 00,10 kxxkukHkxkGkx , 2 , 1 , 00,10 kx
5、xkHukGxkx mGkGkGmk21, 定理定理11.2.1 令令和和 分别为分别为线性时变离散系统线性时变离散系统 的状态转移矩阵，则其表达式分别为的状态转移矩阵，则其表达式分别为 所描述的线性时变离散系统，其状态所描述的线性时变离散系统，其状态运动的表达式为运动的表达式为 mkGmk IGImG 0,1 和和 其中其中 , 2 , 1 , 00,10 kxxkukHkxkGkx iuiHikxkkxki1,0 ,100 定理定理11.2.2 对于式对于式 1100 ikHuGxGkxikik所描述的线性时变离散系统，其状态运动的所描述的线性时变离散系统，其状态运动的表达式为表达式为 1
6、11,0 ,100 ikuikHkkxkkxki kmmk, 1 , 0, 或或 其中，其中，是系统的状态转移矩阵。是系统的状态转移矩阵。 , 2 , 1 , 00,10 kxxkHukGxkx iHuGxGkxikkik1100 定理定理11.2.3 对于对于 或或 11.3 线性连续系统的时间离散化线性连续系统的时间离散化11.3.1 实现方法实现方法 下图是将连续时间系统化为离散时间系下图是将连续时间系统化为离散时间系统的一种典型情况。受控对象是连续时间统的一种典型情况。受控对象是连续时间系统，其状态系统，其状态 ，输出，输出 和输入和输入都是时间都是时间 的连续函数向量。控制装置由的连
7、续函数向量。控制装置由数模转换器、数字计算机、模数转换器构数模转换器、数字计算机、模数转换器构成。它只能输入离散时间变量成。它只能输入离散时间变量 ，并输，并输出离散时间变量出离散时间变量 ，其中离散时间序，其中离散时间序列列 。 tx tu tyt ky ku,2,1 ,0 k11.3.3 基本结论基本结论 000,xtxtttutDxtCyutBxtAxa 00, 2 , 1 , 0,1xxkukDkxkCylkkukHkxkGkx定理定理11.3.1 给定线性连续时变系统给定线性连续时变系统则其在基本假设下的时间离散化模型为则其在基本假设下的时间离散化模型为 并且两者的系数矩阵间存在如下
8、的关系式：并且两者的系数矩阵间存在如下的关系式： kTttuku 其中，其中， kTtkTtTkkTtDkDtCkCdBTkkHkkkTTkkG,1, 1,11 T kk, 1 000,xtxtttutDxtCyutBxtAxa kTttxkx kTttyky 为采样周期；为采样周期；是连续系统是连续系统的状态转移矩阵，的状态转移矩阵，定理定理11.3.2 在前述基本假设下，线性连续定在前述基本假设下，线性连续定 常系统常系统 DuCxytxxBuAxx0,00 01,0( ),0,1,2,x kGx kHu kxxy kCx kDu kkBdteHeGTATAT 0, 的时间离散化模型为的时
9、间离散化模型为其中其中 推论推论11.3.1 时间离散化不改变系统的时变性时间离散化不改变系统的时变性或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常系统。系统。推论推论11.3.2 不管连续系统矩阵不管连续系统矩阵 tAA kGG或或是否为非奇异，但离散化系统的矩阵是否为非奇异，但离散化系统的矩阵 或或 将一定是非奇异的。将一定是非奇异的。推论推论11.3.3 对于连续系统的时间离散化系统，对于连续系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必是非奇异的。其状态转移矩阵必是非奇异的。 称为是稳定的
10、，如果对于任称为是稳定的，如果对于任给的给的11.4 离散时间系统的稳定性离散时间系统的稳定性11.4.1 离散时间系统的离散时间系统的Lyapunov稳定性稳定性 1,x kfx kk0 x0 h 0, h 0 x hxkx,;0hk 定义定义11.4.1 离散线性系统离散线性系统的平衡点的平衡点及任何非负整数及任何非负整数，存在，存在使当使当时，有时，有 对于所有对于所有成立。成立。，使得当，使得当无关）无关） 及任意非负及任意非负整数整数 称为是一致渐近稳定的，如果它是一称为是一致渐近稳定的，如果它是一致稳定的，同时对每个致稳定的，同时对每个 称为是渐近稳定的，如果称为是渐近稳定的，如果
11、它是稳定的，同时存在一个它是稳定的，同时存在一个 1,x kfx kk0 x 0 h 0 x 0,;lim0 hxkxk定义定义11.4.2 离散系统离散系统的平衡点的平衡点时，有时，有 0 x0 h00 h 0 T00 x定义定义11.4.3 离散系统离散系统 的平衡点的平衡点，存在一个，存在一个（与（与和和及一及一（与（与h无关），使当无关），使当 1,x kfx kk hxkx,;0 Thk Thk 时，对于所有时，对于所有，有，有 对于所有对于所有成立。成立。0 x0 0 0 0 x 0,;00tkehxkx hk 定义定义11.4.4 离散系统离散系统 的平衡点的平衡点称为是指数稳定
12、的，如果存在一称为是指数稳定的，如果存在一，且对每个，且对每个，存在，存在使当使当时有时有 对于所有对于所有成立。成立。 1,x kfx kk 0011.4.5 . .,1,01,00;,x kfx kkxx kfx kkhxx k xhhhk 离散系统的平衡点称为是不稳定的，如果定义11.4.1中的条件不成立。 关于该系统的方程解的全局性质，我们有如下定义。离散系统的解称为是一致有界的，如果对任何及非负整数存在一个与 无关使得当时，有对于所（有定义定义114 6），成立。称为是大范围一致渐近稳定的，如果称为是大范围一致渐近稳定的，如果1.它是一致稳定的；它是一致稳定的；2.方程的解是一致有界
13、的；方程的解是一致有界的；3.对任何对任何 时趋时趋于于 零。零。定义定义11.4.8 该该离散系统的平衡点离散系统的平衡点称为是大范围稳定的，如果它是稳定的，并称为是大范围稳定的，如果它是稳定的，并且方程的每个解当且方程的每个解当0 x k0 x0 Rh ,Th 0 x hxkx,;0 ,Thk 定义定义11.4.7 该该离散系统的平衡点离散系统的平衡点，任何，任何及及存在存在（与（与无关），使得当无关），使得当时，有时，有 对于所有对于所有成立。成立。0 x0 0 N 0 x 000,;tkexNhxkx 0tk 定义定义11.4.9 离散系统离散系统 的平衡点的平衡点称为是大范围指数稳定
14、的。如果存在称为是大范围指数稳定的。如果存在，并对任何，并对任何，存在，存在，使当，使当时，有时，有 对于所有对于所有成立。成立。 1,x kf x k k 定理定理11.4.1（离散系统的大范围渐近稳定判据）（离散系统的大范围渐近稳定判据） 对于离散系统对于离散系统 11.4.2 离散时间系统的离散时间系统的Lyapunov主稳定主稳定 性定理性定理 , 2 , 1 , 0,1 kkxfkx kx kxV kx kxV kxVkxVkxV 1 kx kxV0 x如果存在一个相对于如果存在一个相对于的标量函数的标量函数，且对任意，且对任意满足：满足： 1. 为正定的；为正定的； 3. 当当时有
15、时有 则原点平衡状态，即则原点平衡状态，即 为大范围渐近为大范围渐近 稳定。稳定。2.负定；负定； 1,( ),( ) (011.) 1.4.2. 4().(0 x kfx kkx kV x kx kV x kV x kxx kV x kx kV x kx 对于离散系统如果存在一个相对于的标量且对任意满足：为正定的； 定，2为负半定的； 3对由任意初态所理离散系统的大范围渐近稳确定的该系统的解的轨迹不恒为零。当时，有则原点平衡状态即为定大.据），判范围渐进稳定。 时，系统的时，系统的原点平衡状态，即原点平衡状态，即 , 2 , 1 , 0,1 kkxfkx 00 f kxf 0 kx kxkx
16、f 0 x推论推论11.4.1 对于离散系统（对于离散系统（11.4.1） 设设，则当，则当收敛，即对所有收敛，即对所有，有，有 为大范围渐近为大范围渐近稳定。稳定。 的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。 2 .其唯一平衡状态其唯一平衡状态 是是Lyapunov意义意义下稳定的充要条件是，下稳定的充要条件是，定理定理11.4.3 对于线性定常离散系统（对于线性定常离散系统（11.4.5） 有：有： 1. 其每一个平衡状态其每一个平衡状态 的幅值均等于或小于的幅值均等于或小于1，且幅值等于，且幅值等于1的那的那些些 特征值是特征值是11.4.3 线性离散时间系统的稳定性判定线性离散时间系统的
17、稳定性判定 01,0,0,1,2,x kGx kxxkexG niGii, 2 , 1, G0 ex的全部特征值的全部特征值 0,1,2,11, 0,0,1,2,0LyapunoviieTGGinLyapunovx kGx kxxkxG PGPQ 是渐进稳定的充要条件是， 的全部特征值的幅值均小于定常线性系统的判据线性定常离散系的零平衡状态为渐进稳定的充要条件是，对于任一给定的正定对称矩阵如下的离散型方定理11.4.4 程有唯一正定对称。Q,矩阵P。 021,0,0,1,2, ,01,1,2,11.4.2 iTx kGx kxxkGGinLyapunovG PGPQP 对于线性定常离散系统矩阵
18、 的所有特征值的幅值均小于即当且仅当对任意给定的正定对称矩阵 ,形如方程有唯一正定对论Q推称矩阵，。 一致渐近稳定的充要条件是对于任何一一致渐近稳定的充要条件是对于任何一致有界、一致对称正定的致有界、一致对称正定的 阶的对称矩阶的对称矩阵，如果存在阵，如果存在定义定义11.4.10 设设 kPnn 0 , 2 , 1 , 0 k IkPI kP , 2, 1, 0,1 kkxkGkxnn kQ 01 kQkPkGkPkGT为一为一，使得对于所有的，使得对于所有的均成立均成立 便称矩阵便称矩阵 为一致有界、一致正定的。为一致有界、一致正定的。定理定理11.4.5 离散时变性系统离散时变性系统 矩
19、阵矩阵Lyapunov差分矩阵方程差分矩阵方程 SchurSchurSchur-Cohn关于存在唯一的一致有界，一致对称正定解。我们称其全部根均位于复平面的单位圆之内的实系数多项式或多项式。判定一个多项式是否为多项式的一个重要判P(据k)为称判据。 由式（由式（11.4.12）定义，则多项式）定义，则多项式 11.4.4 Schur-Cohn判据判据 nnzazaazF 10 nsF ,21 sFnkkkkk, 2 , 1 , 0, 0, 0 为为偶偶数数对对于于为为奇奇数数对对于于10 定理定理11.4.6 （Schur-Cohn判据）判据） 已知由式（已知由式（11.4.11）表出的多项式
20、表出的多项式为为Schur的充要条件是的充要条件是 此处规定此处规定 。11.5 离散时间系统的能控性和能观测器离散时间系统的能控性和能观测器11.5.1 能控性和能达性能控性和能达性0( )(1)(11.5.) ( )( ) ( ),( )0( )0,( )(1,1,)kkkkkhJxu kx kG k x kH k u kkJlJllx lhhJx hlJlhux kGhk如果对初始时刻和状态空间中的所有非零状态都存在时刻和对应的控制使得系统在这个控制的作用下的第 步的状态为零，即则称系统在时刻 为完全能控。对应地，如果对初始时刻初始状态存在时刻和相应的控制使得在这一控制作用下，系统定义(
21、 ) ( )( ) ( ),kk x kH k u kkJ ( )(1)( ) ( )( )11.5.1( ),( ),11,0,1, 2,kx lx kG k x kH k u kkJG kkh lx kGx kHu kkG的状态可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻 为完全能达。线性离散时间系统的能控性和能达性为等价的充要条件定理11.，是其系统矩阵对所有为非奇异。对于线性定常离散时间系统其能控性和能达性为等价的充要条件是系统矩阵h为5.1推理非奇异。(1)()()()(),1,0 , 1, 2 ,(1)()()(1 1 .5 .2.5 .2 )(),kkkxkGkxkHkukkJxk
22、G xkH ukkxkGkxkHkukkJhhJ如 果 离 散 时 间 系 统或是 相 应 的 连 续 时 间 系 统 的 时 间 离 散 化 模型 ， 则 其 能 控 性 和 能 达 性 必 是 等 价 的定 理 1 1能 控 性 判 据定 理 1。（ 时 变 离 散 系 统 的矩 阵 判 据 ）线 性 时 变 离G r a散 系 统在 时 刻为 完 全 能 控 的 充 要 条1件. 5 .m3是 ， 存 在1,1,1klTTckhlJlhG r a mWh lhkHkHkhk有限 时 刻使 如 下 定 义 的矩 阵为 非 奇 异 。 其中，其中， HkHGkG , nHGGHHrankn
23、1n定理定理11.5.4 （定常离散系统的秩判据）（定常离散系统的秩判据） 当当为定常时，线性离散系统（为定常时，线性离散系统（11.5.1）为完全）为完全能控的充要条件是能控的充要条件是 为系统的维数。为系统的维数。 , 2, 1, 0,1 kkhukGxkxxnuG 0121110 xhGhGhGnuuun n 00 xx 推论推论11.5.2 考虑单输入定常离散系统考虑单输入定常离散系统 其中，其中，为为维状态向量；维状态向量；为标量输入；为标量输入； 假定为非奇异。当系统为完全能控时，可假定为非奇异。当系统为完全能控时，可构造如下的控制构造如下的控制 使在使在步内将任意状态步内将任意状
24、态 转移到状转移到状态空间的原点上。态空间的原点上。 的任意非的任意非零初态零初态0 xkJh kJl hl lh, ky0 xh定义定义11.5.2 如果对初始时刻如果对初始时刻，都存在有限时刻，都存在有限时刻 ，且可由且可由上的输出上的输出唯一地确定唯一地确定 则称系统在时刻则称系统在时刻是完全能观测的。是完全能观测的。 定理定理11.5.5 （时变离散系统的（时变离散系统的Gram矩阵判据）矩阵判据） 线性时变离散系统（线性时变离散系统（11.5.15） 为完全能观的充要条件是，为完全能观的充要条件是，存在有限时刻存在有限时刻 ， kJkkxkCkykxkGkx,1 kJhh kJl h
25、l hkkCkCkHhklhWTlhko, 1, 1,1 在时刻在时刻 ，使如下定义，使如下定义的的Gram矩阵矩阵 为非奇异的。为非奇异的。 kCxkykkGxkx, 2, 1, 0,1nCGCGCrankn 1 nCGCGCrankTnTTTT 1定理定理11.5.6 （定常离散系统的秩判据）（定常离散系统的秩判据） 线性时变离散系统线性时变离散系统 为完全能观的充要条件是为完全能观的充要条件是 或或 为标量输出。为标量输出。当系统完全能观测时，可只利用当系统完全能观测时，可只利用 00, 2, 1, 0,1xxkcxkykkGxkxxnyn 1,1,0 nyyy0 x 110110nyy
26、ycGcGcxn推论推论11.5.3 考虑单输出定常离散系统考虑单输出定常离散系统 其中，其中，为为维状态向量；维状态向量；步内的输出值步内的输出值而构造出任意的非零状态而构造出任意的非零状态11.5.4 规范分解与规范型规范分解与规范型 1x kGx kHu ky kCx k kxkxCCkykuHkxkxGGGkxkxccccccccccc001112定理定理11.5.7 定常线性系统定常线性系统 代数等价于下述按能控性结构分解的规范型代数等价于下述按能控性结构分解的规范型 其中，其中， 维能观分状态向量，维能观分状态向量，即即 kxkxCkykuHHkxkxGGGkxkxoooooooo
27、ooo001121按能观性结构分解的规范型按能观性结构分解的规范型 cxp ccHG ,ox q ooCG,为为维能控分状态向量，即维能控分状态向量，即能控；能控；为为 能观。能观。保持能控或能观测的一个充分条件是采样周保持能控或能观测的一个充分条件是采样周期期 的全部特征值的全部特征值且当且当11.6 连续系统时间离散化后保持能控和连续系统时间离散化后保持能控和 能观测的条件能观测的条件11.6.1 问题的描述与结论问题的描述与结论 CxytBuAxx0: ,21Aji ji T T定理定理11.6.1 设系统（设系统（11.6.1）能控或能观，令能控或能观，令为为时有时有，则时间离散化系统
28、，则时间离散化系统的数值，对一切满足的数值，对一切满足 容易验证，该系统为能控和能观测，容易验证，该系统为能控和能观测，且其特征值为且其特征值为 。 , 2, 1, 0Re jiji , 2, 1,Im2 llTji 的特征值，成立的特征值，成立 01110001xxuy 12jj 例例11.6.1 设有线性连续时间系统为设有线性连续时间系统为和和T1222,1,2,()2llTllm cossinsin(1)( )( )sincoscos1( )01( )TTTx kx ku kTTTy kx k 于是，利用上述结论可知，当选择采样周期于是，利用上述结论可知，当选择采样周期的数值，使的数值，
29、使时，其时间离散化系统时，其时间离散化系统必保持为能控和能观测。必保持为能控和能观测。 22sin2sincossincos1cossincos01sincosTTTTHGHTTTTCCGTT 0,det2sincos10,0,detsin0,TlHGHTTTlCTlTCGTl 若直接由时间离散化系统来导出能控性若直接由时间离散化系统来导出能控性和能观测性判别矩阵，有和能观测性判别矩阵，有那么，根据那么，根据11.6.1Tl可知，此时离散化系统在时为能控和能观测，这一点验证了上面的有给出的定理判断结果。 11.711.7.1111. ( )( )( )( ,7) .1 x kGx kHu ky
30、 kCx ku kKx kv kG H离散系统的控制问题离散线性系统的状态反馈极点配置离散线性系统可用状态反馈任意极点配置的充要条件是矩阵对定理能控。 121 1.10.7011ccccx kGx kHu ky kCx kGGHx kx ku kGG离散线性系统的状态反馈镇定系统或矩阵对称为可稳的，如果其定义11.7.1所有不能控振型，也即能控标准结构分解式中的矩阵的所有特征值的模 （G,H）均小于1。 1( )( )( )111G.7 2C.x kGx kHu ky kCx ku kKx kv kx kGx kHu ky kCx k定理定义11.7.3系统可用状态反馈律镇定的充要条件是在离散意义下可稳。系统或矩阵对称为是（离散意义下）可检测的，如果该系统的所有不可观振型均是在离散意义下稳定的，即他们(G的模,H)（ ， ）均小于1。 1 1x kGx kHu ky kCx kx kGx kHu kL Cx ky k离散动态系统存在形式如的全维状态观测器的充要 （G,C）定理11.7.条件是在离散意3义下可检测。
