1、机械优化设计一、多目标优化问题一、多目标优化问题1、概念、概念同时要求实现：同时要求实现： 成本、重量、体积成本、重量、体积利润、产量、承载能力利润、产量、承载能力兼顾多方面的要求，则称为兼顾多方面的要求，则称为多目标优化问题多目标优化问题。机械优化设计一般地说，若有一般地说，若有 l个目标函数，则多目标优化个目标函数，则多目标优化问题的表达式可写成：问题的表达式可写成： 121minminnnTllx Rx RVFXfXfXfXfX. .st01,2,jgXjp01,2,khXkq121minTllF XfXfXfXfX称为向量目标函数。称为向量目标函数。 minV 表示向量极小化，表示向量
2、极小化， 即向量目标函数中各个目标函数被即向量目标函数中各个目标函数被同等同等的极小化的极小化的意思。的意思。机械优化设计 在多目标的优化模型中，还有一类模型是在约束条件在多目标的优化模型中，还有一类模型是在约束条件下，各个目标函数不是同等的被最优化，而是按不同的下，各个目标函数不是同等的被最优化，而是按不同的优优先层次先层次先后地进行优化先后地进行优化-分层多目标优化问题分层多目标优化问题。2多目标优化问题的特点多目标优化问题的特点 任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，在多目任意两个设计方案的优劣一般是难以判别的，在多目标优化问题中得到的是标优化问题中得到的是非劣解。非劣解。 例：求例：
3、求 12minTVF xfxfx 2122 ,fxxx fxx 02Dxx ， 对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但是却无法求得两者共同的最优解。是却无法求得两者共同的最优解。机械优化设计3多目标优化问题解得可能情况多目标优化问题解得可能情况（1）最优解）最优解（2）劣解）劣解 （3）非劣解）非劣解（4）弱非劣解或称弱有效解。）弱非劣解或称弱有效解。0f2f1 1 3 2 4 6 5 对于对于f1(x)，1最好，其次为最好，其次为3，2，4，5，6； 对于对于f2(x)，2最好，其次为最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，综合考
4、虑，1，2，3为为非劣解非劣解，4，5，6为为劣解劣解。机械优化设计二、多目标优化方法二、多目标优化方法主要有两大类：主要有两大类：一类直接求出非劣解，然后从中选择较好解；一类直接求出非劣解，然后从中选择较好解；另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理另一类是将多目标优化问题求解时作适当的处理。 重新构造一个函数（即重新构造一个函数（即评价函数评价函数），将多目标（），将多目标（向量）优化问题转变为评价函数的单目标（标量）优向量）优化问题转变为评价函数的单目标（标量）优化问题化问题主要目标法、统一目标法主要目标法、统一目标法。 将多目标（向量）优化问题转化为一系列单目标将多目标（向量）优化问
5、题转化为一系列单目标（标量）优化问题来求解（标量）优化问题来求解分层序列法分层序列法 协调曲线法协调曲线法机械优化设计 1主要目标法主要目标法 抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作为主抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作为主要目标，将其他目标转化成约束条件）要目标，将其他目标转化成约束条件）2统一目标法统一目标法 又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，通过又称为综合目标法，它是将原多目标优化问题，通过一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目一定方法转化为统一目标函数或综合目标函数作为该多目标优化问题的评价函数，然后用前述的单目标函数优化方标优化问题的评价函数，然后
6、用前述的单目标函数优化方法求解。法求解。（1）线性加权和法（线性组合法）线性加权和法（线性组合法）（2）极大极小法）极大极小法（3）理想点法与平方和加权法）理想点法与平方和加权法（4）分目标乘除法）分目标乘除法（5）功效系数法）功效系数法几何平均法几何平均法机械优化设计（1）线性加权和法（线性组合法）线性加权和法（线性组合法） 根据多目标优化问题各个目标函数根据多目标优化问题各个目标函数 121llfXfXfXfX的重要程度，对应的选择一组权系数的重要程度，对应的选择一组权系数 12,lw ww，并有，并有11,0(1,2, )iiiiwwil用用 ifX与与 (1,2, )iw il的线性组
7、合构成一个评价函数的线性组合构成一个评价函数1miniiiiF Xw fX将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数将多目标优化问题转化为单目标优化问题，即求评价函数1minminiiiXDXDiF Xw fX的最优解，的最优解， 它就是原多目标优化问题的解。它就是原多目标优化问题的解。机械优化设计难点：如何找到合理的权系数难点：如何找到合理的权系数解决方法：将各单目标最优化值的倒数取作权系数解决方法：将各单目标最优化值的倒数取作权系数1(1,2, )min(1,2, )iiiiXDwilfffXil1 1）可反映各个单目标对整个多目标问题的重要程度；）可反映各个单目标对整个多目标问题
8、的重要程度；2 2）对各个分目标函数作统一量纲处理。）对各个分目标函数作统一量纲处理。机械优化设计多目标优化问题的MATLAB函数有fgoalattain需确定各分目标的加权系数需确定各分目标的加权系数需知各分目标的单个的最优值需知各分目标的单个的最优值目标函数的最大值逐次减小目标函数的最大值逐次减小fminimax机械优化设计6.1 函数函数fgoalattain min v s.t. fi(X)-wiv goali i=1,2,t AXb （线性不等式约束）（线性不等式约束） AeqX=beq （线性等式约束）（线性等式约束） C(X)0 （非线性不等式约束条件）（非线性不等式约束条件）
9、Ceq(X)=0 （非线性等式约束）（非线性等式约束） Lb X Ub （边界约束条件）（边界约束条件）一、多目标优化问题数学模型一、多目标优化问题数学模型标量变量标量变量各分目标函数各分目标函数分目标函数的权重分目标函数的权重各分目标函数的目标值各分目标函数的目标值机械优化设计 二、优化函数使用格式二、优化函数使用格式 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)设置优化选项参数设置优化选项参数各分目标权重各分目标权重各分目标期望值各分目
10、标期望值目标函数在最优解的海色矩阵目标函数在最优解的海色矩阵返回目标函数在最优解的梯度返回目标函数在最优解的梯度优化算法信息的一个数据结构优化算法信息的一个数据结构返回算法的终止标志返回算法的终止标志返回目标函数的最优值返回目标函数的最优值返回目标函数的最优解返回目标函数的最优解附加参数附加参数非线性约束条件的函数名非线性约束条件的函数名设计变量的下界和上界设计变量的下界和上界线性等式约束的常数向量线性等式约束的常数向量线性等式约束的系数矩阵线性等式约束的系数矩阵线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的常数向量线性不等式约束的系数矩阵线性不等式约束的系数矩阵无定义时以空矩阵无定义时以空矩阵符号
11、符号“ ”代替代替初始点初始点目标函数文件名目标函数文件名机械优化设计三、例题三、例题 设计带式输送机传动装置上的普通设计带式输送机传动装置上的普通V带传动。已知电机额定功率带传动。已知电机额定功率P=4kW，转，转速速n1=1440r/min，传动比，传动比i=3，采用，采用A型型V带，每天工作不超过带，每天工作不超过10小时。要求小时。要求传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。传动结构紧凑（带的根数尽量少，带轮直径和中心距尽量小）。 解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： V带传动的独立设计变量是小带轮直径带传动的独立设计变量是小带
12、轮直径dd1和带的基准长度和带的基准长度Ld X=dd1,LdT=x1,x2T 目标函数：目标函数：l小带轮直径：小带轮直径：l中心距中心距:l带的根数带的根数:L00A3KK)PP(PKz)X(fmin 22112aaaa)X(fmin 8)1i (d4La1dd1 8)1i (da221d2 1.1拟合直线拟合直线P0=(0.02424dd1-1.112879)(kW)0.17kWKL=0.20639Ld0.211806拟合幂函数方程拟合幂函数方程拟合拟合双曲双曲线方线方程程395144.80549636. 0Kminf1(X)=dd1=x1机械优化设计 约束条件约束条件:含性能约束和边界
13、约束含性能约束和边界约束0 x100dd)X(g11dmind1 02560000ndv60000nd)X(g11dmax11d2 0 x21180120)1i ( 1dd1180)X(g1min1min3 0ax8 . 2a)1i (d7 . 0)X(g11d4 0 x80)X(g15 0100 x)X(g16 0 x630)X(g27 04000 x)X(g28 小带轮直径小带轮直径=推荐的推荐的A型带轮最小直径型带轮最小直径最大带速最大带速120带传动的中心距要求带传动的中心距要求小带轮基准直径的下限和上限小带轮基准直径的下限和上限带基准长度的下限和上限带基准长度的下限和上限性性 能能
14、约约 束束边边 界界 约约 束束三、例题三、例题机械优化设计解解:(1)建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型 设计变量：设计变量： X=dd1,LdT=x1,x2T 目标函数：目标函数：l小带轮直径：小带轮直径：l中心距中心距:l带的根数带的根数:L00A3KK)PP(PKz)X(fmin 22112aaaa)X(fmin minf1(X)=dd1=x180100mm320400mm14按容限值确定权重按容限值确定权重，以使目标函数值，以使目标函数值在数量级上统一在数量级上统一 222T222T3215 . 140102142320400280100wwww 约束条件约束条件: (2)
15、确定分目标和它们的权重确定分目标和它们的权重机械优化设计(3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)%V带传动多目标优化设计的目标函数文件带传动多目标优化设计的目标函数文件function f=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，工况系数已知条件：功率，传动比，工况系数f(1)=x(1); %f1-小带轮基准直径小带轮基准直径:目标函数目标函数1
16、a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)2*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);f(2)=a; %f2,中心距中心距：目标函数：目标函数2P0=0.02424*x(1)-1.1128789; %单根带额定功率单根带额定功率DP0=0.17; %功率增量功率增量alpha=180-180*x(1)*(i-1)/pi/a; %小带轮包角小带轮包角Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数包角系数KL=0.20639*x(2)0.211806; %长度系数长度系数f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/
17、KL; %f3-V带根数带根数：目标函数：目标函数3机械优化设计(3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件 %V带传动多目标优化设计的约束函数文件带传动多目标优化设计的约束函数文件 functiong,ceq=VDCD_3mb_YS(x) i=3;n1=1440; %已知条件：传动比，转速已知条件：传动比，转速 g(1)=100-x(1); %小带轮直径小带轮直径=Ddmin g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25 %带速范围带速范围V=alpmin g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a; %中心距范围中心距范围a=amin ceq=; x,fval,exitflag,outpu
18、t, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2)机械优化设计(3)编制优化设计的编制优化设计的M文件文件%V带传动多目标优化设计的带传动多目标优化设计的调用命令调用命令P=4;i=3;n1=1440;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，转速，工况系数已知条件：功率，传动比，转速，工况系数x0=100;1250; %初始点（小带轮直径，初始点（小带轮直径，V带基准长度带基准长度）goal=75,280,2; %分目标分目标w=10(-2),40(-2),1.5(-2); %分目标加
19、权系数分目标加权系数lb=80,630; %最小带轮直径和最小带轮直径和A型型V带的基准长度带的基准长度ub=100;4000; %最大带轮直径和最大带轮直径和A型型V带基准长度带基准长度xopt,fopt=fgoalattain(VDCD_3mb_MB,x0,goal,w,lb,ub,VDCD_3mb_YS) x,fval,exitflag,output, grad,hessian= fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2) , , , ,机械优化设计Optimization terminated succe
20、ssfully: Search direction less than 2*options.xopt = 1.0e+003 * 0.1000 1.2269fopt = 100.0000 281.5296 3.5957(4) M文件运算结果文件运算结果(5) 优化结果处理优化结果处理 dd1100mm1227mmLd小带小带轮基轮基准直准直径径带传带传动中动中心距心距带带的的根根数数1250mm圆圆整整4圆圆整整机械优化设计%优化结果数据处理后部分参数计算优化结果数据处理后部分参数计算Dd1=100;Dd2=Dd1*i;z=4;Ld=1250;v=pi*Dd1*n1/6e4;a1=Ld/4-pi
21、*Dd1*(i+1)/8;a2=Dd12*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);alpha=180-180*Dd1*(i-1)/pi/a;disp disp *计算结果计算结果*fprintf(1, 小带轮基准直径小带轮基准直径 Dd1=%3.0fmmn,Dd1);fprintf(1, 大带轮基准直径大带轮基准直径 Dd2=%3.0fmmn,Dd2);fprintf(1, V带基准长度带基准长度 Ld=%3.0fmmn,Ld);fprintf(1, 传动中心距传动中心距 a=%3.2fmmn,a);fprintf(1, 小带轮包角小带轮包角 alpha=%3.2f度度n,alp
22、ha);fprintf(1, V带根数带根数 z=%3.0fmmn,z);(4) M文件运算结果文件运算结果(5) 优化结果处理优化结果处理 机械优化设计*计算结果计算结果* 小带轮基准直径小带轮基准直径 Dd1=100mm 大带轮基准直径大带轮基准直径 Dd2=300mm V带基准长度带基准长度 Ld=1250mm 传动中心距传动中心距 a=293.82mm 小带轮包角小带轮包角 alpha=141.00度度 V带根数带根数 z= 4(4) M文件运算结果文件运算结果(5) 优化结果处理优化结果处理 (6) 最终方案最终方案 机械优化设计%V带传动多目标优化设计的目标函数文件带传动多目标优化
23、设计的目标函数文件function f=VDCD_3mb_MB(x)P=4;i=3;KA=1.1; %已知条件：功率，传动比，工况系数已知条件：功率，传动比，工况系数f(1)=x(1); %f1-小带轮基准直径小带轮基准直径:目标函数目标函数1a1=x(2)/4-pi*x(1)*(i+1)/8;a2=x(1)2*(i-1)2/8;a=a1+sqrt(a12-a2);f(2)=a; %f2,中心距中心距：目标函数：目标函数2P0=0.02424*x(1)-1.1128789; %单根带额定功率单根带额定功率DP0=0.17; %功率增量功率增量alpha=180-180*x(1)*(i-1)/p
24、i/a; %小带轮包角小带轮包角Kalp=alpha/(0.549636*alpha+80.396114); %包角系数包角系数KL=0.20639*x(2)0.211806; %长度系数长度系数f(3)=KA*P/(P0+DP0)/Kalp/KL; %f3-V带根数带根数：目标函数：目标函数3%V带传动多目标优化设计的约束函数文件带传动多目标优化设计的约束函数文件 functiong,ceq=VDCD_3mb_YS(x) i=3;n1=1440; %已知条件：传动比，转速已知条件：传动比，转速 g(1)=100-x(1); %小带轮直径小带轮直径=Ddmin g(2)=pi*x(1)*n1/6e4-25 %带速范围带速范围V=alpmin g(4)=0.7*x(1)*(i+1)-a; %中心距范围中心距范围a=amin ceq=;
