1、2022-3-271三维图形变换三维图形变换教学目标教学目标:一、总体目标：一、总体目标：掌握三维图形学的基本思想，掌握三维图形学的基本思想，理解三维观察的基本原理。理解三维观察的基本原理。二、通过本章的学习，应能做到：二、通过本章的学习，应能做到： 掌握下列概念：掌握下列概念：三维平移三维平移、旋转旋转、缩放变换。缩放变换。 掌握理解掌握理解三维图形的平移变换三维图形的平移变换，比例变换比例变换，对称变换对称变换，旋转变换旋转变换，复合变换复合变换。 了解了解形体的投影变换形体的投影变换：正平行投影正平行投影，斜平行斜平行投影投影。 2022-3-272三维图形变换三维图形变换三、重点难点：
2、三、重点难点： 重点：三维图形的平移变换，比例变换，重点：三维图形的平移变换，比例变换，对称变换，旋转变换，复合变换。对称变换，旋转变换，复合变换。 难点：理解三维复合变换。难点：理解三维复合变换。四、外语词汇：四、外语词汇： Translation，Rotation，Scale，Mirror 五、作业与上机练习：五、作业与上机练习： 课本：P146（3、5）上机。其他练习。 2022-3-2735.1 三维图形几何变换矩阵三维图形几何变换矩阵 三维齐次坐标变换矩阵三维齐次坐标变换矩阵snmlrihgqfedpcbaTD32022-3-274 几何变换几何变换图形的几何变换图形的几何变换是指对
3、图形的几何信息经过平移、是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。比例、旋转等变换后产生新的图形。点的矩阵变换点的矩阵变换线框图的变换线框图的变换用参数方程描述的图形的变换用参数方程描述的图形的变换2022-3-275 平面几何投影平面几何投影投影变换投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。面上得到二维平面图形。平面几何投影平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。面图形：三视图、轴测图。
4、观察投影观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变是指在观察空间下进行的图形投影变换。换。2022-3-276 投影中心、投影面、投影线：投影中心、投影面、投影线： BAAB投影线投影中心线段BAAB投影线投影中心在无穷远处线段(a) 透视投影(b) 平行投影图5-1 线段AB的平面几何投影2022-3-277平面几何投影可分为两大类：平面几何投影可分为两大类：透视投影透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的的投影中心到投影面之间的距离是有限的平行投影平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的的投影中心到投影面之间的距离是无限的SSS(a)透视投影(b)正投影(c)斜投影图5-2 平面几何
5、投影分为透视投影和平行投影2022-3-278平面几何投影平行投影透视投影正投影斜投影三视图正轴测斜等测斜二测正等测正二测正三测主视图侧视图俯视图一点透视二点透视三点透视图5-3 平面几何投影的分类总结：总结：2022-3-279观察投影观察投影观察空间的定义用户坐标系到观察坐标系的转换规范化投影变换三维裁剪正投影二维变换输出裁剪后的三维形体用户坐标系中的几何形体观察坐标系中的三维形体规范化观察空间中的三维形体二维坐标系下的图形输出设备上的图形2022-3-27105.2 三维图形基本变换矩阵三维图形基本变换矩阵snmlrjihqfedpcbazyxTpzyxpD1132022-3-2711
6、三维基本几何变换三维基本几何变换 三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。轴进行的几何变换。 假设三维形体变换前一点为假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)p(x,y,z)，变换后，变换后为为p(x,y,z)p(x,y,z)。2022-3-2712平移变换平移变换1010000100001TzTyTxTtZYX(x,y,z)(x,y,z)图5-5 平移变换2022-3-2713比例变换比例变换1000000000000jeaTs局部比例变换2022-3-2714例：例：对如图对如图5-65-6所示的长方形体进行比例变换，所示的长方形体
7、进行比例变换，其中其中a=1/2a=1/2，e=1/3e=1/3，j=1/2j=1/2，求变换后的长方形体各，求变换后的长方形体各点坐标。点坐标。 yzxyzxABCDEFGH图5-6 比例变换2231112022-3-2715举例计算举例计算2点点1001100002/100003/100002/11002B1111100002/100003/100002/11232G2022-3-2716旋转变换旋转变换右手规则右手规则zyX图5-7 旋转变换的角度方向2022-3-2717绕绕z轴旋转轴旋转1000010000cossin00sincosRZTzyX2022-3-2718绕绕x轴旋转轴旋
8、转10000cossin00sincos00001RXTzyX2022-3-2719绕绕y轴旋转轴旋转10000cos0sin00100sin0cosRYTzyX2022-3-2720对称变换对称变换1000010000100001FxyT1000010000100001FyzT关于关于yoz平面对称平面对称关于关于xoy平面对称平面对称2022-3-27211000010000100001FzxT1000010000100001FxT关于关于zox平面对称平面对称关于关于x轴轴对称对称2022-3-2722关于关于y轴轴对称对称1000010000100001FyT1000010000100
9、001FzT关于关于z轴轴对称对称2022-3-2723错切变换错切变换1000010101hgfdcbTSH一般形式一般形式10000100010001gdTSHx沿沿x方向错切方向错切 2022-3-272410000100010001hbTSHy10000100010001fcTSHz沿沿z方向错切方向错切 沿沿y方向错切方向错切 2022-3-2725逆变换逆变换所谓所谓逆变换逆变换即是与上述变换过程的相反的变换即是与上述变换过程的相反的变换10100001000011zyxtTTTT10000100001000011ieaTs平移的逆变换平移的逆变换局部比例逆变换局部比例逆变换202
10、2-3-27261000010000cossin00sincos1000010000)cos()sin(00)sin()cos(1RZT旋转的逆变换旋转的逆变换2022-3-2727三维复合变换三维复合变换) 1( )(321nTTTTPTPPn2022-3-2728相对任一参考点的三维变换相对任一参考点的三维变换相对于参考点相对于参考点F(xF(xf f,y,yf f,z,zf f) )作比例、旋转、错切等变作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步：换的过程分为以下三步： (1)(1)将参考点将参考点F F移至坐标原点移至坐标原点 (2)(2)针对原点进行三维几何变换针对原点进行三维几何变
11、换 (3)(3)进行反平移进行反平移2022-3-2729例例：相对于相对于F(xF(xf f,y,yf f,z,zf f) )点进行比例变换点进行比例变换T=TT=Tt t(-T(-Tx x,-T,-Ty y,-T,-Tz z) )T Ts s(S(Sx x,S,Sy y,S,Sz z) )T Tt t(T(Tx x,T,Ty y,T,Tz z) )(x,y,z)zyxzyx(x,y,z)zyx(x,y,z)zy(x,y,z)xFF图5-8 相对参考点F的比例变换(a)原图(b)移至坐标原点(c)基本比例变换(d)移回F点原来位置2022-3-2730绕任意轴的三维旋转变换绕任意轴的三维旋转
12、变换问题问题：如何求出为TRAB。 RABTzyxzyx 1 1XYZABPP图5-9 P点绕AB轴旋转2022-3-2731 先将图形随直线（旋转轴）一起移动和旋转并先将图形随直线（旋转轴）一起移动和旋转并使直线与某一坐标轴重合，再将图形绕直线进行使直线与某一坐标轴重合，再将图形绕直线进行旋转变换，最后将旋转变换后的图形和直线一起旋转变换，最后将旋转变换后的图形和直线一起作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。具作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。具体变换步骤是：体变换步骤是： 2022-3-27321、平移使点（、平移使点（x1,y1,z1）位于坐标原点，变换矩阵是：）位于坐标原点，变
13、换矩阵是： 2022-3-27332、绕、绕x轴旋转，使直线处在轴旋转，使直线处在x-z平面上。为此，旋转角应等平面上。为此，旋转角应等于直线在于直线在y-z平面上的投影与平面上的投影与z轴夹角。因此投影线与轴夹角。因此投影线与z轴夹轴夹角角的旋转变换矩阵是：的旋转变换矩阵是： 2022-3-27343、绕、绕y轴旋转，使直线与轴旋转，使直线与z轴重合。如图所示，直线与轴重合。如图所示，直线与z轴夹角轴夹角-的旋转变换矩阵是：的旋转变换矩阵是： 2022-3-27354、进行图形绕直线即绕、进行图形绕直线即绕z轴旋转，旋转矩阵是：轴旋转，旋转矩阵是： 2022-3-2736图形绕空间任意轴旋转
14、的总变换矩阵是图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是 5、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕指定直线旋、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕指定直线旋转变换后的图形。转变换后的图形。直线回到原来位置需要进行（直线回到原来位置需要进行（3）（）（1）的逆变换，其中：）的逆变换，其中：2022-3-2737类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤：类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤：使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。平移变换。使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止
15、一次。换，且旋转变换可能不止一次。针对该坐标轴完成变换。针对该坐标轴完成变换。用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。2022-3-27385.3图形的投影变换图形的投影变换5.3.2 平行投影平行投影平行投影可分成两类：平行投影可分成两类：正投影正投影和和斜投影斜投影。投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)正投影(b)斜投影5-11 平行投影投影平面法向a2022-3-2739 正投影正投影正投影又可分为：三视图和正轴测图。正投影又可分为：三视图和正轴测图。当投影面与某一坐标轴
16、垂直时，得到的投影为当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图三视图；否则，得到的投影为否则，得到的投影为正轴测图正轴测图。 投影方向投影平面(a)三视图(b)正轴测5-12 正投影xzyO投影平面投影方向zxy2022-3-2740三视图三视图 包括主视图（包括主视图（xozxoz面）、侧视图（面）、侧视图（yozyoz面）和俯面）和俯视图（视图（xoyxoy面）三种。面）三种。xzyOZYXY主视图俯视图侧视图5-13 三维形体及其三视图2022-3-2741 三视图的三视图的计算步骤：计算步骤：(1)(1) 确定三维形体上各点的位置坐标。确定三维形体上各点的位置坐标。(2)(2) 引
17、入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵。引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵。(3)(3) 将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点体上各点(x,y,z)(x,y,z)经变换后的相应点经变换后的相应点(x,z),(x,y)(x,z),(x,y)或或(y,z)(y,z)。 (4)(4) 由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。三视图。2022-3-2742主视图的变换矩阵：主视图的变换矩阵：1000010000000001vT只需要消去各点的只需要消去各点的y坐标，即令单位矩阵中元素坐标，即令单位
18、矩阵中元素e=0。2022-3-2743俯视图的变换矩阵：俯视图的变换矩阵：1000000000100001xoyT1000001001000001RxT1000010000100001zTtz 先向先向xoy面进行投影，再把该投影绕面进行投影，再把该投影绕X轴旋转轴旋转-90度。为使度。为使两视图之间具有一定距离，还需将得到的俯视图沿两视图之间具有一定距离，还需将得到的俯视图沿z轴平移轴平移-Z0。2022-3-2744于是得：于是得：1000000001000001zTTTTtzRxxoyH2022-3-2745侧视图的变换矩阵：侧视图的变换矩阵：1000010000100000yozT1
19、000010000010010RzT1000010000100001xTtx 先向先向yoz面进行投影，再把该投影绕面进行投影，再把该投影绕z轴旋转轴旋转90度。为度。为使两视图之间具有一定距离，还需将得到的侧视图沿使两视图之间具有一定距离，还需将得到的侧视图沿x轴平轴平移移-x0。2022-3-2746于是得：于是得：1000010000010000 xTTTTtxRzyozW2022-3-2747正轴测图正轴测图 若将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向若将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向旋转，再向该投影面做正投影，即可得到立体正轴旋转，再向该投影面做正投影，即可得到立体正轴测图。通常
20、选测图。通常选xoz面为轴测投影面。面为轴测投影面。 等轴测：等轴测：投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等正二测：正二测：投影面与两个坐标轴之间的夹角相等投影面与两个坐标轴之间的夹角相等正三测：正三测：投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等2022-3-2748xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等轴测(b)正二测(c)正三测图5-14 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面投影平面投影平面2022-3-2749公式推导公式推导：(1) (1) 先绕先绕z z轴正向（逆时针）旋转轴正向（逆时针）旋转角角
21、(2) (2) 再绕再绕x x轴反向（顺时针）旋转轴反向（顺时针）旋转角角(3) (3) 将三维形体向将三维形体向ZOXZOX平面作正投影平面作正投影最后得到正轴测图的投影变换矩阵最后得到正轴测图的投影变换矩阵10000cos000sincos0sin0sinsin0cos aaaapRxRzTTTT2022-3-2750用变换矩阵来表示这个过程则为：用变换矩阵来表示这个过程则为： z xT TV 1000010000cossin00sincos10000cossin00sincos0000110000100000000012022-3-2751 所以正轴测投影变换矩阵TTz Tx Tv 这样
22、，每给定一对和角，就可以生成一种正轴测投影。10000cos000sincos0sin0sinsin0cos2022-3-27522.正轴测投影的参数正轴测投影的参数正轴测投影的参数指的是轴向变形系 数和轴间角。讨论过程是先沿三个坐标轴取三个单 位长度，如 OA 、OB和 OC，然后对 A 、B、三点进行正轴测投影变换。（见图）A (1,0,0)XB (0,1,0)OYC (0,0,1)Z2022-3-2753变换结果：1 0 0 1 cos 0 -sinsin 1=A：0 1 0 1-sin 0 -cossin 1：0 0 1 10 0 cos 1根据以上变换后的点，可以画出新的坐标轴投影如
23、图10000cos000sincos0sin0sinsin0cos2022-3-2754XXA YB C Z(Z )(0,0,cos)(cos,0,-sinsin)(-sin,0,-cossin)xaya轴向变形系数和轴间角2022-3-2755 (1)轴向变形系数轴向变形系数xOA/OAcos+sinsinyOB/OBsin+cossinzOC/OCcos（以上分式中的分母均为单位长度）2022-3-2756 (2)轴间角tgax = sinsin/cos = tgsintgay = cossin/sin = ctgsinXXA YB C Z(Z )(cos,0,-sinsin)(-sin,
24、0,-cossin)2022-3-27573 .正等测正等测正等测的特点是：三轴上的变形系数均相等，即x = y = z cos+sinsin = sin+cossin = cos解以上联立方程可得：4535162022-3-2758正等测的变换矩阵正等测的变换矩阵将以上求得的和角代入矩阵 T，可得到正等测的变换矩阵为：1000035cos00035sin45cos045sin035sin45sin045cos2022-3-2759正等测的正等测的轴向变形系数轴向变形系数 x = y = zcos3516= 0.816正等测的正等测的轴间角轴间角tgax = tg45sin35 = 0.577
25、4tgay = ctg45sin35 = 0.5774 ax = ay = 30（在手工绘制等轴测图时，我们把三根轴测轴画成互成120)a2022-3-2760正等测图：正等测图：可推出：可推出：=45=45 =35=35xzyOABCDEF图5-15 正轴测图的形成2022-3-2761将将和和的值代入的值代入T T得到正等测图的投影变换矩阵：得到正等测图的投影变换矩阵：100008165. 00004082. 007071. 004082. 007071. 0100003600066022066022T2022-3-2762正二测图：正二测图：可推出：可推出：=21=21 =19=1910
26、0009428. 00003118. 003535. 001178. 009354. 0T2022-3-2763 斜投影斜投影 即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影即斜轴测图，是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面投影方向不垂直于投影面所得到所得到的平面图形。的平面图形。 常用的斜轴测图有常用的斜轴测图有斜等测图斜等测图和和斜二测图斜二测图。2022-3-2764op=opop=2op投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等测(b)斜二测5-16 斜平行投影apOp投影方向投影平面apOp投影平面法向2022-3-2765斜轴测图的形成斜轴测图的形
27、成:通常通常取取3030或或4545。 yzxp(0,0,zp)p(xp,yp,0)投影平面投影方向am5-17 斜平行投影的形成oyzx投影平面amo(b)q点为空间任意一点(a)p点在z轴上q(xq,yq,zq)yqxqyqxqq(xq,yq,0)zq2022-3-2766azctgm sinmy cosmx acoszctgx asinzctgy 100000sincos00100001aactgctgT2022-3-2767对于斜等测图有：对于斜等测图有：=45=45,ctg=1,ctg=1斜二测图则有：斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2=arctg(2),ctg=1/2
28、投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等测(b)斜二测5-16 斜平行投影apOp投影方向投影平面apOp投影平面法向2022-3-2768斜平行投影的投影变换矩阵为：斜平行投影的投影变换矩阵为：对于斜等测图有：对于斜等测图有：=45=45,ctg=1,ctg=1斜二测图则有：斜二测图则有：=arctg(2),ctg=1/2=arctg(2),ctg=1/2100000sincos00100001aactgctgT2022-3-2769xzyxzyxzy 4530 xzy30 45111111/211/2(a)斜等测(b)斜二测5-18 单位立方体的斜平行投影2022-3-27705.3.2.3
29、 透视投影透视投影分析分析：yzxp(x,y,z)dp(x,y,z)o图5-19 点的一点透视2022-3-2771在介绍三维变换矩阵时，说到矩阵中的元素（p , q , r)取非 全时，能产生透视效果。sdddrcccqbbbpaaa3213213213212022-3-2772 .透视变换矩阵透视变换矩阵 (1) 一点透视一点透视先设 q 0 , p = r = 0, 对点 x y z 进行变换：1 0 0 0 x y z 1 0 1 0 q = x y z qy+1 0 0 1 0 0 0 0 1 = x/(qy+1) y/(qy+1) z/(qy+1) 1 （齐次化）2022-3-27
30、73现在来对的取值情况进行讨论：现在来对的取值情况进行讨论：当 y = 0 （在XOZ坐标平面内）x y z 1 = x 0 z 1 当 y x y z 1 = 0 1/q 0 1 * x/(qy+1) y/(qy+1) z/(qy+1) 1 *a2022-3-2774从以上结果可以看到：当值无限变大时，所有点经过变换后均集中于轴上的 1/q 处，于是所有平行于轴的直线将延伸相交于此点。该点( 0，1/q ，0)称为灭点。形成一个灭点的透视称为一点透视，亦称平行透视。为了取得较好的效果，取 q0 。（让灭点位于轴的负半轴上）(0,-1/q,0)XYZ2022-3-2775同样道理，当 p 0,
31、q=r=0时，则产生的一个灭点在轴上(1/p,0,0)处。在这种情况下，所有平行于轴的直线 将延伸交于该点。当 r 0,p=q=0时，则产生的一 个灭点在轴上(0,0,1/r)处。在这种情况下，所有平行于轴的直线将延伸交于该点。2022-3-27761 0 0 p x y z 1 0 1 0 0 0 0 1 r 0 0 0 1 = x y z px+rz+1 = x/(px+rz+1 ) y/(px+rz+1 ) z/(px+rz+1 ) 1 x y z 1一个灭点在轴上的 1/p 处；另一个灭点在轴上的 1/r 处。(2) 二点透视二点透视2022-3-2777(3)三点透视三点透视以此类推
32、，当 p、q、r三个元素全为非 0 时，变换的结果将形成三点透视。产生的三个灭点将分别位于轴上的 1/p 处、轴上的 1/q 处和轴上的 1/r 处。2022-3-2778灭点：灭点： 不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点点，这个点称为灭点(Vanishing Point)(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。轴正交，与另外
33、两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。轴都相交。2022-3-27795-20 透视投影灭点灭点灭点灭点(a)一点透视(b)二点透视(c)三点透视灭点灭点2022-3-2780生成透视投影图的方法生成透视投影图的方法 生成透视图分两步进行：对立体进行透视变换；然后向XOZ坐标平面作正投影。 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 q 0 0 0 0 0 0 0 q 0
34、0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 12022-3-2781(1) 一点透视图的生成一点透视图的生成在生成一点透视图时，为了避免特殊位置透视，使产生的透视图立体感较好，通常要在进行透视变换前先将立体平移到一个合适的位置（例如离开坐标系中心），然后再进行透视变换。在进行投影前位置不合适产生的结果2022-3-2782 一点透视一点透视分析分析：要考虑下列几点：要考虑下列几点：(1)(1)三维形体与画面（投影面）的相对位置；三维形体与画面（投影面）的相对位置；(2)(2)视距，即视点（投影中心）与画面的距离；视距，即视点（投影中心）与画面的距离；
35、(3)(3)视点的高度。视点的高度。2022-3-2783假定视点（投影中心）在原点，画面（投影面）与假定视点（投影中心）在原点，画面（投影面）与z z轴垂直（轴垂直（z=dz=d）。）。 一点透视的步骤：一点透视的步骤：(1)(1)将三维形体平移到适当位置将三维形体平移到适当位置l l、m m、n n；(2)(2)令视点在令视点在z z轴，进行透视变换；轴，进行透视变换；(3)(3)最后，为了绘制的方便，向最后，为了绘制的方便，向xoyxoy平面作正投影变平面作正投影变换，将结果变换到换，将结果变换到xoyxoy平面上。平面上。2022-3-27841000000000100001.1000
36、/100000100001.10100001000011dnmlTp1/1 .0000000100001dnml2022-3-2785例：例：试绘制如图试绘制如图7-21(a)7-21(a)所示的单位立方体的一点所示的单位立方体的一点透视图。透视图。xyz111ABCDEFGH图5-21 单位立方体的一点透视(a)单位立方体xy0.51.01.50.51.01.5ABCDHFEG(b)一点透视图2022-3-2786假定l=0.8, m=-1.6, n=-2, d=-2.54 . 14 . 14 . 14 . 100006 . 06 . 06 . 16 . 18 . 08 . 18 . 18
37、. 08 . 18 . 1006 . 06 . 08 . 08 . 18 . 106 . 18 . 18 . 106 . 18 . 08 . 106 . 18 . 04 . 000000100001.111111111100011011001101100110002022-3-2787化规范化齐次坐标：化规范化齐次坐标：1111000043. 043. 044. 144. 157. 029. 129. 157. 0110033. 033. 044. 011089. 011089. 044. 04 . 14 . 14 . 14 . 100006 . 06 . 06 . 16 . 18 . 08
38、. 18 . 18 . 08 . 18 . 1006 . 06 . 08 . 08 . 18 . 106 . 18 . 18 . 106 . 18 . 02022-3-2788 二点透视二点透视构造二点透视的一般步骤：构造二点透视的一般步骤：(1)(1)先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定先将三维形体平移到适当位置，使视点有一定高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；高度，且使形体的主要表面不会积聚成线；(2)(2)将形体绕将形体绕y y轴旋转一个轴旋转一个角角(9090) )，方向满，方向满足右手定则；足右手定则；(3)(3)进行透视变换进行透视变换(4)(4)最后向最后向xoyxoy面作
39、正投影，即得二点透视图。面作正投影，即得二点透视图。10001000010001rpT2022-3-2789令s=sin,c=cos,c=cos,则得则得二点透视的变换矩二点透视的变换矩阵为：阵为：1).().(0.000010.002slcnrsnclpmsnclcrspssrcpcTp2022-3-2790例：例：试绘制上例（图试绘制上例（图7-21(a)7-21(a)）中的单位立方体的）中的单位立方体的二点透视图。二点透视图。xy1.02.03.01.02.03.0ABDHFEGC图5-22 单位立方体的二点透视2022-3-2791令令p=-0.1, q=0, r=-0.45, =30
40、=300 0 , l=n=0, m=-1.4则可得二点透视的变换矩阵为：则可得二点透视的变换矩阵为：104 . 1044. 0005 . 0001014. 000866. 02pT2022-3-279256. 07 . 07 . 056. 000004 . 04 . 04 . 14 . 15 . 036. 136. 15 . 0114. 1004 . 04 . 00866. 014. 104 . 1866. 0104 . 10104 . 1044. 0005 . 0001014. 000866. 0.111111111100011011001101100110002022-3-2793化规范化
41、齐次坐标：化规范化齐次坐标：1111000071. 057. 00 . 25 . 289. 094. 194. 189. 011004 . 035. 0076. 01023. 176. 0104 . 1056. 07 . 07 . 056. 000004 . 04 . 04 . 14 . 15 . 036. 136. 15 . 0114. 1004 . 04 . 00866. 014. 104 . 1866. 0104 . 102022-3-2794 三点透视三点透视同样可以简单的构造三点透视图：同样可以简单的构造三点透视图：(1)(1)首先将三维形体平移到适当位置；首先将三维形体平移到适当位
42、置；(2)(2)将形体进行透视变换将形体进行透视变换(3)(3)然后使形体先绕然后使形体先绕y y轴旋转轴旋转角；角；(4)(4)再绕再绕x x轴旋转轴旋转角；角；(5)(5)将变形且旋转后的形体向将变形且旋转后的形体向xoyxoy面作正投影。面作正投影。1000100010001rqpT2022-3-2795令s1=sin,c1=cos, ,c1=cos, s2=sin,c2=cos,c2=cos, ,则得三则得三点透视的变换矩阵为：点透视的变换矩阵为：rnqmplcnslscmsnclrscsqcpsscTp.0) 1.2.(22.1.1.02. 1102002. 1132022-3-2796 单位立方体投影到单位立方体投影到xyxy平面，用标准透视投影画平面，用标准透视投影画投影图，其中设投影图，其中设(a) d = 1; (b) d = 10 (a) d = 1; (b) d = 10 （d d是视点到视平面的距离）。是视点到视平面的距离）。
