1、2.2.用牛顿第二定律列写系统的运动微用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程分方程3.3.用影响系数法建立系统的运动微分用影响系数法建立系统的运动微分 方程方程第二章第二章: :多自由度系统的运动微分方程多自由度系统的运动微分方程1.1.建立多自由度系统运动微分方程的建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述各种方法的概述1.1.多自由度系统运动微分方程的一般形式多自由度系统运动微分方程的一般形式建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述( )( )( )( )mu tcu tku tf t 回想单自由度系统运动微分方程的一般形式回想单自由度系统
2、运动微分方程的一般形式 多自由度系统运动微分方程的一般形式多自由度系统运动微分方程的一般形式( )u tm质量矩阵质量矩阵M( ) tu位移向量位移向量cC阻尼矩阵阻尼矩阵kK刚度矩阵刚度矩阵( )f t() tf激振力向量激振力向量( )( )( )( )ttttMuCuKuf多自由度系统运动微分方程的一般形式多自由度系统运动微分方程的一般形式建立方法建立方法HamiltonHamilton原理：原理： 主要适用于连续系统主要适用于连续系统建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述2.2.系统运动微分方程的建立方法系统运动微分方程的建立方法牛顿第
3、二定律牛顿第二定律: : 适用于自由度不多的离散系统或简单的适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统连续系统动量矩定理动量矩定理: : 主要主要适用于自由度不多的离散系统适用于自由度不多的离散系统影响系数法：影响系数法： 主要适用于自由度不多的离散系统主要适用于自由度不多的离散系统LagrangeLagrange方程法：方程法：主要适用于离散系统主要适用于离散系统有限单元法：有限单元法： 离散系统，连续系统都适用，是一种最离散系统，连续系统都适用，是一种最 通用的建模方法通用的建模方法用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程1.1.直角坐标形式的牛顿第二定律
4、直角坐标形式的牛顿第二定律222222xyzd xmFdtd ymFdtd zmFdt 列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要 用用 或或 或或 表示就可以了。表示就可以了。x z y 1.1.总体思路总体思路用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程影响系数法柔度影响系数DK刚度影响系数C阻尼影响系数质量影响系数MMuCuKufKuf刚度影响系数 ：第 个自由度产生单位位移，其
5、他自由度位移为零时，需要在第 自由度处沿着位移方向施加的力。ijkji012jjNjkkk00001 j第 行111122121jjNjNNNNNkkkkkkkkk用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程2.2.刚度影响系数刚度影响系数11u 1m20u 2m解：解：121,0uu令【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。1k1u1m2m2u2k3k1112kkk212kk 11122122kkkkK1k2k2k11k21k用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程21u 2m10u 1m120,1uu令122kk2223kkk12222
6、3kkkkkkK刚度矩阵：2k3k2k12k22k1k1u1m2m2u2k3k11122122kkkkK用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程KufMuCuKuf01 uKfD f柔度矩阵柔度矩阵柔度影响系数 ：第 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，在第 自由度上产生的位移。ijdji12jjNjdddj第 行00001111122121jjNjNNNNNddddddddd用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程3.3.柔度影响系数柔度影响系数11d111k d21121()k dd1m11F 2m20F 21d21121(
7、)k dd321k d21121111()1k ddk d21121321()0k ddk d2311121 323221121 323kkdk kk kk kkdk kk kk k1k1u1m2m2u2k3k【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程12d112k d22212()k dd22212112()0k ddk d22212322()1kddk d1m10F 2m21F 22d322k d22212()k dd121221221 21 32 3, kkdddkkkkk k11122122ddDdd柔度矩阵：柔度矩阵
8、：1k1u1m2m2u2k3k用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程4.4.阻尼影响系数阻尼影响系数MuCuKufCuf00阻尼影响系数 ：第 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零 时，需要在第 自由度处施加的力。ijcjiijmji质量影响系数 ：第 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度 为零时，需要在第 自由度处施加的力。MufMuCuKuf0用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程5.5.质量影响系数质量影响系数1m2m3m 此系统用刚度法方便还是柔度法方便？1112220( )( )00( )( )mu tu t
9、kkmu tu tkkkkkkK奇异（秩亏损）奇异（秩亏损）用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程6.6.思考思考 能否对此系统实施柔度法？ 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约束的数目，求解比较繁。 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。 如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所以刚度法的应用范围比柔度法要大。用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程7.7.小结小结111d21d31d1l11m g2m g3m gA11
10、12311cos()sinlmmm glA对 取矩:1112131123()ldddmmm g112311()lmmm gd1cos11112311cos()lmmm gd111213212223313233dddDdddddd【课堂练习课堂练习】求图示摆的柔度矩阵求图示摆的柔度矩阵用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程12223212323()()llddmmm gmm g22321()lmm gxB对 取矩122312111 ()() ()llmm g xxm gxA对 取矩122d32d1m g2m g3m g1l2l3l2xBA1x111213212223
11、313233dddDdddddd用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程31233123233()()llldmmm gmm gm gC对 取矩3331 lm gx333lxm gB对 取矩32323221 ()()llm g xxm gx2223()lxmm gA对 取矩3213123212111 ()() ()lllm g xxxm g xxm gx11123()lxmmm g111213212223313233dddDdddddd133dBAC3m g2m g1m g1l2l3l3x1x2x用影响系数法建立系统的运动微分方程用影响系数法建立系统的运动微分方程S
12、TOP1.1.LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动方程建立系统的运动微分方程微分方程3.3.课堂练习课堂练习第二章第二章: :多自由度系统的运动微分方程多自由度系统的运动微分方程LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景1.1.牛顿力学方程的缺陷牛顿力学方程的缺陷I2R1R1m2mr1k2k隔离体隔离体1 1的受力分析的受力分析I2R1R11k R1T12111IT Rk RR隔离体隔离体2 2的受力分析的受力分析1T2T1221mRTT1m2RI2R1R1m2mr1k2k隔离体隔离体3
13、 3的受力分析的受力分析刚体平面运动微分方程：（见刚体平面运动微分方程：（见理论力学理论力学，范钦珊主编），范钦珊主编）()cxcyccmxFmyFJMF2T22kRf2mr2RLagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景隔离体隔离体3 3的受力分析的受力分析2mr22222mRTkRf 2T22kRf2R22212Rm rfrr2222232m Rk RT LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景2222232m Rk RT 12111IT Rk RR1221mRTT22221222113()02mmRIk Rk R21122122232eqneqRkkk
14、RImmmR2222112212()32nk Rk RmmRILagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景隔离体的受力分析将未知约束力引入到动力学方程中导致动力学方程中未知变量急剧增加LagrangeLagrange方程的产生背景方程的产生背景利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约束方程是可以积分的约束称为束方程是可以积分的约束称为完整约束。完整约束。约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为约束方程包含质点的速度且不可积分的
15、约束称为非完整约束。非完整约束。唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。广义坐标。 完整约束完整约束（理论力学理论力学 范钦珊范钦珊 主编）主编） 广义坐标广义坐标（理论力学理论力学 范钦珊范钦珊 主编）主编）d (), 1,d iiiiTTVQintqqq 系统不存在粘性阻尼时系统不存在粘性阻尼时动能T广义坐标iqV势能iq广义坐标 对应的非保守主动力iQd (), 1,d iiiiiTTDVQintqqqq 系统存在粘性阻尼时系统存在粘性阻尼时耗散函数D1.1.完整约束系统的完整约束系统的LagrangeLagrange方程的具体形式方
16、程的具体形式利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程2.2.利用利用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的步骤方程建立系统运动微分方程的步骤 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标; 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；3. 3. 用用LagrangeLagrange方程建立系统运动微分方程的优点方程建立系统运动微分方程的优点 不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力, 是建立复杂离散 系统运动微分方程的首选方法； 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程. 对于非保守主动力，将其虚功写成
17、如下形式1niiiWQ q从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力； 即可用于线性系统，也可用于非线性系统。利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程4.4.【例题例题】试求图示双摆系统的运动方程。解：选取 和 为广义坐标12111(,)m xy1L2L12xyO222(,)mxy111sinxL111cosyL21122sinsinxLL21122coscosyLL取 轴为重力势能零点，则系统的势能为x1122Vmgym gy11121122cos(coscos)mgLm g LL系统的动能为221 12 21122Tmvm v2222221
18、111 111 111 1(cos)(sin)()vxyLLL 222222221 12212 1221()()2cos()vxyLLL L 2222121 1212211 222 211()cos()22Tmm Lm LLm L 利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程111222d ()0d d ()0d TTVtTTVt 动能 和势能 的表达式TV2121 121221222122121211()cos() sin()()sin0mm Lm LLm LLmm gL 2212211222212211222cos() sin()sin0m
19、LLm Lm LLm gL 方程是非线性的，在微振动假设下此方程可进一步简化利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程 由微振动假设,系统各个广义坐标和广义速度都可以看作是一阶小量,从而导出的微幅振动方程也将精确到一阶小量. 利用拉格朗日方程求系统的运动微分方程时，系统的能量要对广义坐标求一阶导数，求导后精度将降低一阶，所以在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著振动理论及应用利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程5.5.微振动假设下的注意事项微振动假设下的注意事项6.6.思考思考
20、在微振动假设下,在用Lagrange方程列写系统的运动微分方程时有两种处理方式： 在计算动能和势能时就将其精确到二阶小量，然后代入Lagrange 方程； 在计算动能和势能时不做任何处理，代入Lagrange方程后最后再 化简（线性化）；问：哪一种方式简便？ 为什么？利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程7.7.【例题例题】在微振动假设下，试求图示双摆系统的运动方程。111(,)m xy1L2L12xyO222(,)mxy系统的势能为11121122cos(coscos)VmgLm g LL系统的动能为2222121 1212211 222
21、 211()cos()22Tmm Lm LLm L 22112122 211()22VgL mmgL mconst221212cos1,cos122 22121()cos()12 2222121 1212 1 222 211()22Tmm Lm LLm L 利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程111222d ()0d d ()0d TTVtTTVt 2121 12122121 12212 1222222()()00mm Lm LLmm gLm LLm Lm gL21211112121212222212222()00()00mm gLmm
22、Lm LLm gLm LLm L 2222121 1212 1 222 222112122 211()2211()22Tmm Lm LLm LVgL mmgL mconst 对于离散系统对于离散系统, ,耗散函数耗散函数的计算类似于系统的计算类似于系统弹性势能弹性势能的计算的计算, ,只不过只不过需要将需要将弹性势能弹性势能的计算中的的计算中的刚度系数刚度系数换成换成阻尼系数阻尼系数, ,广义位移换广义位移换成成广广义速度义速度111122nndefTijijijDc qqq Cq 耗散函数耗散函数: :势能势能: :111122nnTijijijVk q qq Kq利用利用LagrangeL
23、agrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程8.8.耗散函数的计算耗散函数的计算1f1m1k2k3k1c2c3c2m3m2f3f22211221332111()()222Dc ucuuc uu耗散函数：耗散函数：试列出如下系统的耗散函数：试列出如下系统的耗散函数：22211221332111()()222Vk ukuukuu弹性势能：弹性势能：利用利用LagrangeLagrange方程建立系统的运动微分方程方程建立系统的运动微分方程21221 112121() 2NiiiNiiiiTmuVk uk uuuuuukkkkkmmmmNNNfffNf121212312N1N1
24、N11N【例例1 1】 建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程解: 取 为广义坐标，则该系统的动、势能分别为： 12,Nu uu课堂练习课堂练习_iVu_idTdtu_iTu1_Vuiimu 0_NVu1 1221()k uk uu111()()iiiiiik uukuu(2,1)iN1()NNNkuud (), 1,d iiiiTTVQiNtqqq 21221 112121() 2NiiiNiiiiTmuVk uk uu1,iN 1 11 122111111()()(),2,1()iiiiiiiiiNNNNNNmuk uk uufmuk uukuufiNm ukuuf11221122
25、NNNNWfufufuQuQuQu非保守外力在虚位移上所做虚功之和课堂练习课堂练习【例例2 2】 建立图示系统的运动方程建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移取小车的绝对位移 和圆柱体的绝对位和圆柱体的绝对位移移 为广义坐标为广义坐标. .2u1u2221 12202221 122221221 1221111222111 ()22411()22Tmum uJmum um uuVk uk uu1_dTdtu1_Vu1 12211()2mum uu1 1221()k uk uu2_dTdtu1_Vu222211()2m um uu221()k uu2211212122()()022mmmuukku
26、k u运动方程运动方程: :221221223022mmuuk uk u课堂练习课堂练习【例例3 3】 在微振动假设下建立图示系统的运动方程在微振动假设下建立图示系统的运动方程取小车的绝对位移 和摆的偏转角 为广义坐标.u课堂练习课堂练习22211()cos22Mm umlmlu 计算势能计算势能: :取 为系统的零势能位置. 0,0u22211(1 cos )222Vkumglkumgl22211()22Mm umlml u计算动能计算动能: :22211()22xyTMum vvsincosxulylcossinxyvulvl MmklxyFu求广义力求广义力: :WF x课堂练习课堂练习MmklxyFu让摆锤在水平方向产生一个虚位移 而 在此虚位移下所做的虚功为xFcosxul cosWF uFl sinxul22211()22TMm umlml u22122VkumgldTdtuVudTdtV运动方程运动方程: :()Mm umlkuF200cosMmmlukuFmlmlmglFl ()Mm umlku2mlmlumgl2cosmlumlmglFl课堂练习课堂练习STOP
