1、2022年福建省莆田市高考数学第一次质检试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，集合M1，2，3，4，N3，4，5，则U（MN）（）A5B1，2C3，4D1，2，52（5分）设i3z3+5i，则z（）A5+3iB53iC53iD5+3i3（5分）若直线l：（a+1）xy+30与直线m：x（a+1）y30互相平行，则a（）A1B2C2或0D04（5分）已知yf（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2+ax+a+1，则f（2）（）A2B2C6D65（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一
2、种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”在某种玩法中，用an表示解下n（n9，nN*）个圆环所需的最少移动次数，若a11，且an+1=an+2，n为奇数2an-1，n为偶数，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A13B15C16D296（5分）已知aln3，b30.5，clg9，则（）AabcBcabCbacDbca7（5分）甲烷是一种有机化合物，分子式为CH4，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离dHH（HH键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离d
3、CH（CH键长）均相等，任意两个HCH键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为-13，即cosHCH=-13，若dCHa，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A83a327B83a39C82a327D82a398（5分）已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP=AB+(2-2)AC(R)，则PAPC的最小值为（）A16B12C5D4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）有一组样本甲的数据xi（i1，2，3，4，5，6），由这组数据得到新样本乙的数据
4、2xi+1（i1，2，3，4，5，6），其中xi（i1，2，3，4，5，6）为正实数下列说法正确的是（）A样本甲的极差一定小于样本乙的极差B样本甲的方差一定大于样本乙的方差C若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为2m+1D若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为2m+1（多选）10（5分）设a0，b0，且ab，则“a+b2”的一个必要不充分条件可以是（）Aa3+b32Ba2+b22Cab1D1a+1b2（多选）11（5分）若函数yf（x）的图象上存在两点，使得f（x）的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Aysin2xBytanxCy=|x-1x
5、+2|，x（2，+）Dyexlnx（多选）12（5分）已知定义在0，4上的函数f（x）=sin(x-4)(0)（）A若f（x）恰有两个零点，则的取值范围是5，9）B若f（x）恰有两个零点，则的取值范围是（5，9C若f（x）的最大值为5，则的取值个数最多为2D若f（x）的最大值为5，则的取值个数最多为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线ylnx+x2在x1处的切线方程为 14（5分）若cos=15，则sinsin2+cos2 15（5分）如图，杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法它揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有
6、关规律由此可得图中第9行从左到右数第5个数是 ，第9行排在奇数位置之和为 16（5分）已知P为正方体ABCDA1B1C1D1表面上的一动点，且满足|PA|=2|PB|，AB2，则动点P运动轨迹的周长为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A-3sinA+20（1）求A；（2）若b+c63，求ABC外接圆面积的最小值18（12分）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会（1）求选出的2人
7、参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BAD120，ACBD，BCD是等边三角形（1）证明：平面PAD平面PCD；（2）求二面角BPCD的正弦值20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2(3n-1)（1）求an的通项公式；（2）若bn（3n1）an，求数列bn的前n项和Tn21（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，6），B（4，0），C是线段OA的中点，P是平面内的一动点，且满足|PC|2|PB|，记点P的运动轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；
8、（2）过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若OBM的面积是OBN的面积的3倍，求直线l的方程22（12分）已知函数f(x)=2exa+(b-2)x+2（1）当a2时，f（x）3恒成立，求b的值；（2）当0ae2，且x2时，f（x）blna（x1）恒成立，求b的取值范围2022年福建省莆田市高考数学第一次质检试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，集合M1，2，3，4，N3，4，5，则U（MN）（）A5B1，2C3，4D1，2，5【解答】解：全集U1，2，3，4，5，集合M1，
9、2，3，4，N3，4，5，MN3，4，则U（MN）1，2，5故选：D2（5分）设i3z3+5i，则z（）A5+3iB53iC53iD5+3i【解答】解：由题意可得z=3+5i-i=(3+5i)i-i2=3i-51=-5+3i，故选：A3（5分）若直线l：（a+1）xy+30与直线m：x（a+1）y30互相平行，则a（）A1B2C2或0D0【解答】解：直线l：（a+1）xy+30与直线m：x（a+1）y30互相平行，故（a+1）2+10，解得a0或2当a2时，两直线重合；故a0故选：D4（5分）已知yf（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2+ax+a+1，则f（2）（）A2B2C6
10、D6【解答】解：yf（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）x2+ax+a+1，可得f（0）a+10，解得a1，所以f（2）f（2）（421+1）2，故选：A5（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”在某种玩法中，用an表示解下n（n9，nN*）个圆环所需的最少移动次数，若a11，且an+1=an+2，n为奇数2an-1，n为偶数，则解下6个环所需的最少移动次数为（）A13B15C16D29【解答】解：由于a11，且an+1=an+2，n为奇数2an-1，n为偶数，所以
11、当n1时，a23；当n2时，a35；当n3时，a47；当n4时，a513；当n5时，a615故选：B6（5分）已知aln3，b30.5，clg9，则（）AabcBcabCbacDbca【解答】解：1=lneln3lne32=32，30.5=31.5，lg9lg101，bac故选：C7（5分）甲烷是一种有机化合物，分子式为CH4，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离dHH（HH键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离dCH（CH键长）均相等，任意两个HCH键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为-13，即cosHCH=-13，
12、若dCHa，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）A83a327B83a39C82a327D82a39【解答】解：设dHHx，则由余弦定理知：x2=a2+a2-2a2(-13)=8a23，解得x=26a3，故该四面体的棱长均为26a3，该四面体底面外接圆的半径r=6a332=22a3，高h=(26a3)2-(22a3)2=4a3故该四面体的体积为V=1334(263a)24a3=83a327故选：A8（5分）已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且AP=AB+(2-2)AC(R)，则PAPC的最小值为（）A16B12C5D4【解答】解：如图，延长AC到D，使得AD=2AC，因为A
13、P=AB+(2-2)AC=AB+（1）AD，所以点P在直线BD上，取线段AC的中点O，连接OP，则PAPC=（PO+OA）（PO-OA）|PO|OA|PO|4，显然当OPBD时，|PO|取得最小值，因为BO23，OD6，则BD43，所以|PO|最小值为23643=3，所以PAPC的最小值为345，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）有一组样本甲的数据xi（i1，2，3，4，5，6），由这组数据得到新样本乙的数据2xi+1（i1，2，3，4，5，6），其中xi（i
14、1，2，3，4，5，6）为正实数下列说法正确的是（）A样本甲的极差一定小于样本乙的极差B样本甲的方差一定大于样本乙的方差C若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为2m+1D若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为2m+1【解答】解：对于A，样本甲的极差是乙的极差的一半，一定小于等于样本乙的极差，故A错误；对于B，设样本甲的方差为a，则样本乙的方差为4a，二者有可能相等，故B错误；对于C，若m为样本甲的中位数，则由中位数的定义得样本乙的中位数为2m+1，故C正确；对于D，若m为样本甲的平均数，则由平均数定义得样本乙的平均数为2m+1，故D正确故选：CD（多选）10（5分）设a0，b0，且ab，则
15、“a+b2”的一个必要不充分条件可以是（）Aa3+b32Ba2+b22Cab1D1a+1b2【解答】解：设a0，b0，且ab，“a+b2”，对于A，“a+b2”a3+b3（a+b）（a2+b2ab）2，a3+b32，推不出a+b2，例如a1.6，b0.1，“a+b2”的一个必要不充分条件可以是a3+b32，故A正确；对于B，a0，b0，且ab，“a+b2”，a2+b2-(a+b)22=a2+b2-a2+2ab+b22=a2-2ab+b22=(a-b)220，a2+b2(a+b)222，a2+b22，推不出a+b2，例如a1.6，b0.1，“a+b2”的一个必要不充分条件可以是a2+b22，故B
16、正确；对于C，“a+b2”不能推出ab2，例如a1.6，b0.5，故C错误；对于D，“a+b2”不能推出1a+1b2，例如a2，b3，故D错误故选：AB（多选）11（5分）若函数yf（x）的图象上存在两点，使得f（x）的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Aysin2xBytanxCy=|x-1x+2|，x（2，+）Dyexlnx【解答】解：当y=sin2x=1-cos2x2时，ysin2x1，1，当x1=4，x2=34时，满足条件；当ytanx时，y=1cos2x0恒成立，不满足条件；当y=|x-1x+2|，x（2，+）时，y=-3(x+2)2，
17、x(-2，1)3(x+2)2，x(1，+)，当x1=-54，x2=2，满足条件；当yexlnx时，y=ex-1x，函数y=ex-1x单调递增，且y|x=13=e13-3-1，y|x1e11，所以存在y|x=x1=-1，y|x=x2=1，满足条件故选：ACD（多选）12（5分）已知定义在0，4上的函数f（x）=sin(x-4)(0)（）A若f（x）恰有两个零点，则的取值范围是5，9）B若f（x）恰有两个零点，则的取值范围是（5，9C若f（x）的最大值为5，则的取值个数最多为2D若f（x）的最大值为5，则的取值个数最多为3【解答】解：由x-4=k，则x=4+k=(4k+1)4，kZ，若f（x）恰有
18、两个零点，544944，解得59，故A正确，B错误；若f（x）的最大值为5，051，即05，x0，4，x-4-4，4（1），当4（1）2时，03时，f（x）maxsin4（1）=5，令g（）sin4（1），h（）=5，如图所示，易知函数g（）和h（）有两个交点A，B，当03时，sin4（1）=5有两个解，即的取值有2个，当35时，f（x）maxsin2=5，解得5，只有一个值，综上所述，的取值个数最多为2，故C正确，D错误故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线ylnx+x2在x1处的切线方程为 y3x2【解答】解：由ylnx+x2，得y=1x+2x，y|x13
19、，又当x1时，y1，曲线ylnx+x2在x1处的切线方程为y13（x1），即y3x2故答案为：y3x214（5分）若cos=15，则sinsin2+cos2-67125【解答】解：cos=15，sin=1-cos2=265，cos22cos21=-2325，若sin=265，则sin22sincos=4625，sinsin2+cos2=2654625-2325=-67125若sin=-265，则sin22sincos=-4625，sinsin2+cos2=-265（-4625）-2325=-67125综上可得，sinsin2+cos2=-67125，故答案为：-6712515（5分）如图，杨辉
20、三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法它揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律由此可得图中第9行从左到右数第5个数是 126，第9行排在奇数位置之和为 256【解答】解：由杨辉三角可得：第9行从左到右数第5个数是C94=98764321=126，由C90+C91+.+C98+C99=29，且C90+C92+C94+C96+C98=C91+C93+C95+C97+C99，即第9行排在奇数位置之和为292=256，故答案为：126；25616（5分）已知P为正方体ABCDA1B1C1D1表面上的一动点，且满足|PA|=2|PB|，AB2，则动点P运
21、动轨迹的周长为 （2+1）【解答】解：由|PA|=2|PB|，AB2，可知正方体表面上到点A距离最远的点为C1，所以P点只可能在面ABB1A1，面ABCD，面BCC1B1上运动，当P在面ABCD上运动时，如图所示，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），设p（x，y），由|PA|=2|PB|，得x2+y22（x2）2+y2，即（x4）2+y28，即点P在平面ABCD内的轨迹是以E（4，0）为圆心，22为半径的一段圆弧，因为EA22，BE2，故BEC=4，所以P点在平面ABCD内的轨迹的长为422=22，同理，点P在ABB1A1的情况亦为422=22，P点在面BCC1B1上时，因为|P
22、A|=2|PB|，PBA=2，所以，PAB=4，PB2，所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆，其长度为1422，综上所述，P点运动轨迹的周长为222+（2+1）故答案为：（2+1）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A-3sinA+20（1）求A；（2）若b+c63，求ABC外接圆面积的最小值【解答】解：（1）cos2A-3sinA+2=0，-2sin2A-3sinA+3=0，解得sinA=32或sinA=-3（舍去）又ABC为锐角三角形，A=3（2）a2=b2+c2-2bc
23、cosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc(b+c)24=27，当且仅当bc时，等号成立，a33ABC外接圆的半径R=a2sinA=3a33，故ABC外接圆面积的最小值为918（12分）某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望【解答】解：（1）由题意可得，选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率P=C32+C22C62=415（2）由题意可得，X的所有可能取值为5，6，7，8，P（X
24、5）=C11C31C62=15，P(X=6)=C32+C11C21C62=13，P（X7）=C31C21C62=25，P（X8）=C22C62=115，故X的分布列为：X 5 6 7 8 P 15 13 25115 故E（X）=515+613+725+8115=19319（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BAD120，ACBD，BCD是等边三角形（1）证明：平面PAD平面PCD；（2）求二面角BPCD的正弦值【解答】解：（1）证明：PA平面ABCD，CD面ABCD，PACD，ACBD，BCD是等边三角形，ABAD，BDC60，又BAD120，ADBABD30，
25、所以ADC90，即CDAD，PA面PAD，AD面PAD，PAADA，所以CD面PAD，又CD面PCD，平面PAD平面PCD（2）解：设AC与BD交于点O，以OB为x轴，OC为y轴，建立如图空间直角坐标系，由（1）可得B（3，0，0），C（0，3，0），D（-3，0，0），P（0，1，2），设面PBC的一个法向量为n=(x，y，z)，PC=(0，4，-2)，PB=(3，1，-2)，nPC=0nPB=0，即4y-2z=03x+y-2z=0，不妨令y1，则z2，x=3，所以n=(3，1，2)，设面PDC的一个法向量为m=(a，b，c)，PD=(-3，1，-2)，mPC=0mPD=0，即4b-2c=0
26、-3a+b-2c=0，不妨令b1，则c2，a=-3，所以m=(-3，1，2)，所以cosn，m=-3+1+43+1+43+1+4=14，sinn，m=1-(14)2=154，所以二面角BPCD的正弦值为15420（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2(3n-1)（1）求an的通项公式；（2）若bn（3n1）an，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）当n1时，a1=S1=2(31-1)=4当n2时，an=Sn-Sn-1=2(3n-1)-2(3n-1-1)=43n-1又a1=430，所以an=43n-1（2）由（1）可知，bn=(12n-4)3n-1，Tn=830+2031+32
27、33+(12n-4)3n-1，则3Tn=831+2032+3233+(12n-4)3n，则-2Tn=8+12(31+32+3n-1)-(12n-4)3n=-10（12n10）3n故Tn=(6n-5)3n+521（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，6），B（4，0），C是线段OA的中点，P是平面内的一动点，且满足|PC|2|PB|，记点P的运动轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若OBM的面积是OBN的面积的3倍，求直线l的方程【解答】解：（1）令P（x，y），由题意知：C（1，3），又|PC|2|PB|，所以（x1）2+（y3）24（x4
28、）2+y2，整理得：（x5）2+（y+1）28故曲线E的方程为（x5）2+（y+1）28（2）由（45）2+（0+1）228知：B（4，0）在曲线E内部，要使OBM的面积是OBN的面积的3倍，即|yM|3|yN|，当直线l斜率为0时，直线l为y0，此时OBM、OBN的面积均为0，不满足题设；令直线l为xky+4，代入曲线E中，整理得：（1+k2）y2+2（1k）y60，所以yM+yN=2(k-1)1+k2，yMyN=-61+k20，则yM3yN，所以yM+yN=-2yN=2(k-1)1+k2，得：yN=1-k1+k2，则yM=3(k-1)1+k2，又yMyN=-3(1-k)2(1+k2)2=-
29、61+k2，整理得：（k+1）20，即k1，所以直线l为xy+4，即x+y4022（12分）已知函数f(x)=2exa+(b-2)x+2（1）当a2时，f（x）3恒成立，求b的值；（2）当0ae2，且x2时，f（x）blna（x1）恒成立，求b的取值范围【解答】解：（1）当a2时，令函数g（x）f（x）3ex+（b2）x1，则f（x）3等价于g（x）0因为g（0）0，所以x0为函数g（x）的极小值点又g（x）ex+b2，所以g（0）b10，解得b1当b1时，g（x）ex1，则当x（，0）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x0时，g（x）0，g（x）单调递增故g（x）g（0）0，符合题意综上所
30、述，b1（2）f（x）blna（x1）等价于2exa+bx-2x+2bln(x-1)+blna，即2exa+b(x-lna)2(x-1)+bln(x-1)构造函数h（x）2x+blnx，则2exa+blnexa2(x-1)+bln(x-1)等价于h(exa)h(x-1)因为0ae2，所以exaex-2令函数H（x）ex2x+1，x2，则H（x）ex21显然H（x）是增函数，则H（x）H（2）0，H（x）单调递增，所以H（x）H（2）0，故exa-x+1ex-2-x+10，则exax-11又h(exa)h(x-1)，所以h（x）在（1，+）上单调递增，所以当x（1，+）时，h(x)=2+bx0恒成立，即b（2x）max2，故b的取值范围是2，+）
