1、2022年辽宁省沈阳市重点高中郊联体高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ay|y2-x+1，Bx|y=2x-x2，则（UA）B（）Ax|1x2Bx|0x2Cx|0x1Dx|1x02（5分）在复平面内3-i20221+4i的共轭复数对应点在第几象限（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A0B2C4D124（5分）已
2、知曲线yx+lnxk在点（1，1）处的切线与直线x+2y0垂直，则k的值为（）A1B1C12D-125（5分）网络上盛极一时的数学恒等式“1.01301.4，1.0136537.8，1.017301427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A1.69B1.748C1.96D2.86（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）3f（x），且当x（0，1时，f（x
3、）4x（x1），则当x（2，0时，f（x）的最小值为（）A-181B-127C-19D-137（5分）已知数列1(2n-1)(2n+3)的前n项和为Tn，则使“nN*，不等式6Tna2a恒成立”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa2或a0Ba0或a1Ca0Da28（5分）已知f（x）（x21）lnx+（x1）2（0）的三个零点分别是x1，x2，x3，其中x1x2x3，则（x1+x2）（x2+x3）（x3+x1）的取值范围为（）A（4，8）B（0，8）C（8，+）D（4，+）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分
4、，部分选对的得2分.（多选）9（5分）设x0，x，yR，则（）A“xy”“x|y|”B“xy”“x|y|”C“x|y|”“x+y|x+y|”D“xy”“x+|y|x+y|”（多选）10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|2）的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在f（x）的图象上，且点M，N关于点C对称，则下列说法其中正确的是（）A2Bf（53+x）+f（x）0Cf（x）在（-23，0）上单调递增D将函数f（x）的图象向左平移6个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称（多选）11（5分）已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中M为B1C1中点，点P在
5、正方体的表面上运动，且总满足MP垂直于MC，则下列结论正确的是（）A点P的轨迹中包含AA1的中点B点P在侧面AA1D1D内的轨迹的长为5a4CMP长度的最大值为21a4D直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为55（多选）12（5分）在一张纸上有一圆C：（x+2）2+y2r2（r0）与点M（m，0）（m2）折叠纸片，使圆C上某一点M恰好与点M重合这样的每次折法都会留下一条直线折痕PO，设折痕PQ与直线MC的交点为T，则下列说法正确的是（）A当2rm2+r时，点T的轨迹是椭圆B当m2，1r2时，点T的轨迹对应曲线的离心率取值范围为2，4C当r1，m2时，点T的轨迹方程为x2-y23=1D当r
6、22，m2时，在T的轨迹上任取一点S，过S作直线yx的垂线，垂足为N，则SON（O为坐标原点）的面积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量a=（x，1），b=（1，2），若ab，则|a-2b| 14（5分）设（x2+1）（4x3）8a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a10（2x1）10，则a1+a2+a10 15（5分）将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 种（用数字作答）16（5分）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，
7、秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰用分别为30，60，45，且ABBC75米，则滕王阁的高度OP 米四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知等差数列an和正项等比数列bn满足a14，b12，bn+2bn+1+2bn，a3b3+2（1）求an和bn的通项公式；（2）对于集合B，定义集合ABxA且xB，设数列an和bn中的所有项分别构成集合A，B，将集合AB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列cn，求数列cn的前30项和S3018（12分）第24届冬季奥林匹克运动会已于2022
8、年2月4日在北京启幕某校为了让学生更好的了解冬奥会有关知识特组织了“冬奥”知识竞赛，有A、B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分已知小明同学能正确回答A类问题的概率为0.6，能正确回答B类问题的概率是0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先
9、回答哪类问题？并说明理由19（12分）已知ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asinA+C2=bsinA，且a1（1）求B；（2）若ACBC，在ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使ADE沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求此情况下AD的最小值20（12分）如图，已知等边ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM2MA，AN2NC如图，将AMN沿MN折起到AMN的位置（1）求证：平面ABM平面BCNM；（2）已知AMBC问在线段BC上是否存在一点P，使直线PA与平面ABM所成角的正弦值为31010？若存在，求出PB的长；若不存在，请
10、说明理由21（12分）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线|x1|my（m0）与C交于M，N两点（1）当m2时，求|MF|+|NF|的值；（2）直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上22（12分）已知函数f（x）xexaxalnx+a（1）若ae，判断函数f（x）的单调性，并求出函数f（x）的最值（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围2022年辽宁省沈阳市重点高中郊联体高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ay|y
11、2-x+1，Bx|y=2x-x2，则（UA）B（）Ax|1x2Bx|0x2Cx|0x1Dx|1x0【解答】解：x0，02-x1，Ay|1y2，UAy|y1或y2，2xx20，x22x0，0x2，Bx|0x2，（UA）Bx|0x1，故选：C2（5分）在复平面内3-i20221+4i的共轭复数对应点在第几象限（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：3-i20221+4i=3-(i4)505i21+4i=3+i1+4i=(3+i)(1-4i)(1+4i)(1-4i)=717-1117i，3-i20221+4i的共轭复数对应点（717，1117），位于第一象限故选：A3（5分）上海海关
12、大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A0B2C4D12【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B4（5分）已知曲线yx+lnxk在点（1，1）处的切线与直线x+2y0垂直，则k的值为（）A1B1C12D-12【解答】解：yx+lnxk，y=1+1kx，则y|x=1=1+1k，又曲线yx+lnxk在点（1，1）处的切线与直线x+2y0垂直，1+1k=2，即k1故选：A5（5分）网络上盛
13、极一时的数学恒等式“1.01301.4，1.0136537.8，1.017301427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍A1.69B1.748C1.96D2.8【解答】解：小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为1.020130（1.012）30（1.0130）2（1.4）21.9630天后小明的学习成果约为原来的1.96倍故选：C6（5分）已知定义域为
14、R的函数f（x）满足f（x+1）3f（x），且当x（0，1时，f（x）4x（x1），则当x（2，0时，f（x）的最小值为（）A-181B-127C-19D-13【解答】解：当x（0，1时，f（x）4x（x1）4x24x4（x-12）21，易知当x=12时，f（x）min1，因为f（x+1）3f（x），所以f(x-1)=13f(x)，所以当x（1，0）时，ymin=13(-1)=-13；当x（2，1时，ymin=(13)2(-1)=-19，综上，当x（2，0时，ymin=-13故选：D7（5分）已知数列1(2n-1)(2n+3)的前n项和为Tn，则使“nN*，不等式6Tna2a恒成立”为真命题的
15、一个充分不必要条件是（）Aa2或a0Ba0或a1Ca0Da2【解答】解：1(2n-1)(2n+3)=14（12n-1-12n+3），Tn=14（1-15）+（13-17）+（15-19）+（17-111）+.+（12n-1-12n+3）=14（1+13-12n+1-12n+3）=13-n+1(2n+1)(2n+3)，Tn+1Tn=n+1(2n+1)(2n+3)-n+2(2n+3)(2n+5)=2n+3(2n+1)(2n+3)(2n+5)0，Tn为增数列，Tn13，nN*，不等式6Tna2a恒成立为真命题，a2a2，a2a20，a2或a1，a|a2a|a2或a1，故选：D8（5分）已知f（x）（
16、x21）lnx+（x1）2（0）的三个零点分别是x1，x2，x3，其中x1x2x3，则（x1+x2）（x2+x3）（x3+x1）的取值范围为（）A（4，8）B（0，8）C（8，+）D（4，+）【解答】解：f（x）（x1）（x+1）lnx+（x1），显然f（1）0，令（x+1）lnx+（x1）0，（x0），即lnx+(x-1)x+1=0，（x0），令g(x)=lnx+(x-1)x+1，(x0)，则g（1）0，g(x)=1x+2(x+1)2=x2+(2+2)x+1x(x+1)2，(x0)，令h（x）x2+（2+2）x+1，（x0），要想g（x）除1外再有两个零点，则g（x）在（0，+）上不单调，则
17、（2+2）2442+80，解得：2或0，当0时，g（x）0在（0，+）恒成立，则g（x）在（0，+）单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当2 时，设g（x）0， 即h（x）0的两根为a，b，且ab，则有ab=1a+b=-2(i+1)0，故0a1b，令g（x）0，解得xa或xb，令g（x）0，解得：axb，所以g（x）在（0，a），（b，+）上单调递增，在（a，b）上单调递减，因为x1x2x3，所以0x3a1x2bx1，又因为g(1x)=ln1x+(1x-1)1x+1=-lnx+(1-x)1+x=-g(x)，若g（x）0，则g(1x)=0，因为g（x1）g（x3）0，所以x3=1x1，所以(x1
18、+x2)(x2+x3)(x3+x1)=(x1+1)(1+1x1)(x1+1x1)=(2+x1+1x1)(x1+1x1)(2+2x11x1)2x11x1=8，故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9（5分）设x0，x，yR，则（）A“xy”“x|y|”B“xy”“x|y|”C“x|y|”“x+y|x+y|”D“xy”“x+|y|x+y|”【解答】解：对于A，当x4，y5时，满足xy，但x|y|，故A错误，对于B，x0，xy，y0，xy|y|，故B正确，对于C，x|y|，无论y为正
19、数或负数，x+y|x+y|，故C正确，对于D，令x1，y2，满足xy，但x+|y|x+y|，故D错误故选：BC（多选）10（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|2）的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在f（x）的图象上，且点M，N关于点C对称，则下列说法其中正确的是（）A2Bf（53+x）+f（x）0Cf（x）在（-23，0）上单调递增D将函数f（x）的图象向左平移6个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称【解答】解：由点M，N关于点C对称可知C(3，0)，故T=2(3-(-6)=，所以=2T=2，故A正确；所以f（x）Asin（2x+），又f(-6)=0
20、，所以sin(-3+)=0，即-3+=0，得=3，所以f(x)=Asin(2x+3)，因为f(56)=Asin2=0，故f（x）图象关于(56，0)对称，则f(53+x)+f(-x)=0，故B正确；当x(-23，0)时，2x+3(-，3)，因为函数ysinx在(-，-2)上单调递减，在(-2，3)上单调递增，故f（x）在(-23，0)上不满足单调递增，故C错误，；将函数f（x）的图象向左平移6个单位长度后得y=Asin2(x+6)+3=Asin(2x+23)，x=0时显然取不到最值，故不是偶函数，故D错误故选：AB（多选）11（5分）已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中M为B1C1中
21、点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP垂直于MC，则下列结论正确的是（）A点P的轨迹中包含AA1的中点B点P在侧面AA1D1D内的轨迹的长为5a4CMP长度的最大值为21a4D直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为55【解答】解：如图，取A1D1的中点E，分别取A1AB1B上靠近A1，B1的四等分点F，G，连接EM，EF，FG，MG，易知EM/FG且EMFG，所以E，M，F，G四点共面，连接GC，因为MG2=(a2)2+(a4)2=5a216，MC2=(a2)2+a2=5a24，GC2=(3a4)2+a2=25a216，因此MG2+MC2GC2，所以MGMC，易知MEMC，所以MC平
22、面MEFG，即点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M），易知点P的轨迹与侧面AA1D1D的交线为EF，由EF不过AA1的中点，故A选项错误；又EFMG=54a，故B选项正确；根据点P的轨迹可知，当P与F重合时，MP最大，易知FG平面BB1C1C，则FGMG，连接MF，所以MF=a2+5a216=21a4，故C选项正确；由于点P的轨迹为四边形MEFG（不含点 M ），所以直线CC1与直线MP所成的最小角就是直线CC1与平面MEFG所成的角，又向量CC1与平面MEFG的法向量CM的夹角等于C1CM，且sinC1CM=a25a2=55，所以直线CC1与平面MEFG所成角的余弦值为55，即直线CC1与直
23、线MP所成角的余弦值的最大值等于55，故D选项正确故选：BCD（多选）12（5分）在一张纸上有一圆C：（x+2）2+y2r2（r0）与点M（m，0）（m2）折叠纸片，使圆C上某一点M恰好与点M重合这样的每次折法都会留下一条直线折痕PO，设折痕PQ与直线MC的交点为T，则下列说法正确的是（）A当2rm2+r时，点T的轨迹是椭圆B当m2，1r2时，点T的轨迹对应曲线的离心率取值范围为2，4C当r1，m2时，点T的轨迹方程为x2-y23=1D当r22，m2时，在T的轨迹上任取一点S，过S作直线yx的垂线，垂足为N，则SON（O为坐标原点）的面积为定值【解答】解：当2rm2+r时，点M在圆C内，此时有
24、|TM|+|TC|CM|r|CM|，故T的轨迹是以C，M为焦点的椭圆，故A正确；当m2时，1r2时，T的轨迹是以C，M为焦点的双曲线，方程为x2r24-y24-r24=1，所以离心率e=ca=2r2=4r，当1r2时，2e4，故B正确；当r1，m2时，点M在圆C外，此时有|TM|TC|CM|r|CM|，故T的轨迹是以C，M为焦点的双曲线，其中2ar1，2cCM4，故双曲线方程为x214-y2154=1故C错误；当r22，m2时，T的轨迹方程为x2y22，设S（p，q）则p2q22，直线SN的方程为yq（xp），它与yx的交点N的坐标为（p+q2，p+q2），所以|ON|=22|p+q|，|SN
25、|=|p-q|2所以SSNO=12|ON|SN|=|p2-q2|4=12为定值，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量a=（x，1），b=（1，2），若ab，则|a-2b|552【解答】解：a=（x，1），b=（1，2），若ab，则2x10，得x=-12，a=（-12，1），则a-2b=(-12，1)-(2，-4)=（-52，5），则|a-2b|=(-52)2+52=552故答案为：55214（5分）设（x2+1）（4x3）8a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a10（2x1）10，则a1+a2+a1034【解答】解：根据题意，（x2+1）
26、（4x3）8a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a10（2x1）10，令x=12，即2x10，则有54=a0，再令x1，即2x11，则有2a0+a1+a2+a10，则有a1+a2+a102-54=34；故答案为：3415（5分）将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有720种（用数字作答）【解答】首先从4个盒子中选取3个，共有4种取法；假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白红三色，所以每个盒子中至少有一个白球，一个黑球和一个红球这样，白球还剩一个可以自由支配
27、，它可以放在三个盒子中任意一个，共3种放法黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个，这里有两种情况：两个球放入同一个盒子，有3种放法两个球放入不同的两个盒子，有3种放法综上，黑球共6种放法红球还剩三个可以自由支配，分三种情况：三个球放入同一个盒子，有3种放法两个球放入同一个盒子，另外一个球放入另一个盒子，有6种放法每个 盒子一个球，只有1种放法综上，红球共10种放法所以总共有43610720种不同的放法故答案为：72016（5分）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世如图，在滕王阁旁地面上共线的三
28、点A，B，C处测得阁顶端点P的仰用分别为30，60，45，且ABBC75米，则滕王阁的高度OP1515米【解答】解：设OPh，由题意，OP与底面垂直，又在三点A，B，C处看顶端点P的仰用分别为30，60，45，CP=2h，BP=233h，AP2h，在PBC与PBA中，由余弦定理可得：cosPBA=752+43h2-4h2275233h，cosPBC=752+43h2-2h2275233h，由题意，cosPBA+cosPBC0，由解得h1515或h1515（舍去）故滕王阁的高度OP1515米故答案为：1515四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）
29、已知等差数列an和正项等比数列bn满足a14，b12，bn+2bn+1+2bn，a3b3+2（1）求an和bn的通项公式；（2）对于集合B，定义集合ABxA且xB，设数列an和bn中的所有项分别构成集合A，B，将集合AB的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列cn，求数列cn的前30项和S30【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，设正项等比数列bn的公比为q，由于满足a14，b12，bn+2bn+1+2bn，a3b3+2，所以q2q+2，解得q2或1（负值舍去），故bn=2n，所以a3b3+2，所以d=a3-a13-1=3，整理得an3n+1；（2）由于a3091，b664121b71
30、28，所以S30中要去掉数列bn的项最多6项，数列bn的前6项分别为2，4，8，16，32，64；其中4，16，64三项是数列an和bn的公共项；所以数列cn前30项由数列an的前33项再去掉bn的b24，b416，b664这三项构成，所以S30=(a1+a2+.+a30)-(b2+b4+b6)=33(4+333+1)2-(4+16+64)=163218（12分）第24届冬季奥林匹克运动会已于2022年2月4日在北京启幕某校为了让学生更好的了解冬奥会有关知识特组织了“冬奥”知识竞赛，有A、B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束
31、；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分已知小明同学能正确回答A类问题的概率为0.6，能正确回答B类问题的概率是0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由【解答】解：（1）由题意得，X的所有可能取值为0，30，100，P（X0）10.60.4，P（X30）0.6（10.8）0.12，P（X70）0.60.80.48，故X的分
32、布列为X030100P0.40.120.48（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得E（x）00.4+300.12+1000.4851.6，当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能值为0，70，100，P（Y0）10.80.2，P（Y70）0.8（10.6）0.32；P（Y100）0.80.60.48，所以Y的分布列为Y070100P0.20.320.48E（Y）00.2+700.32+1000.4870.4，因为70.451.6即E（Y）E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题19（12分）已知ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asinA
33、+C2=bsinA，且a1（1）求B；（2）若ACBC，在ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使ADE沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求此情况下AD的最小值【解答】解：（1）由正弦定理及asinA+C2=bsinA，知sinAsin-B2=sinBsinA，因为sinA0，所以sin-B2=sinB，即cosB2=sinB2sinB2cosB2，因为B（0，），所以B2（0，2），所以cosB20，所以sinB2=12，解得B=3(2)AC=BC，B=3，ABC是等边三角形，ABBCAC1，设ADm，BD1m，由题意，DPADm，在DBP中，由余弦定理得D
34、P2DB2+BP22DBBPcos60，m2（1m）2+BP2-2(1-m)BP12，m212m+m2+BP2BP+mBP，设BPx，0x1，m=x2-x+12-x，设t2x，t1，2，m=t+3t-323-3，当且仅当t=3t，即t=3时取等号，AD的最小值为23-320（12分）如图，已知等边ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM2MA，AN2NC如图，将AMN沿MN折起到AMN的位置（1）求证：平面ABM平面BCNM；（2）已知AMBC问在线段BC上是否存在一点P，使直线PA与平面ABM所成角的正弦值为31010？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由【解答】（1
35、）证明由已知得AM1，AN2，A60，MNAB，MNAM，MNMB又MBAMM，MN平面ABM又MN平面BCNM，平面ABM平面BCNM（2）解：法一，AMBC，由（1）得AMMN，BC和MN是两条相交直线，AM平面BCNMMB，MN，MA两两垂直，以M为坐标原点，MB，MN，MA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则A（0，0，1），设P（2a，3a，0），其中0a32，则AP=（2a，3a，1）易得平面ABM的一个法向量为n=（0，1，0）设直线PA与平面ABM所成的角为，则sin |cosAP，n|=3a(2-a)2+3a2+1=31010，解得a=662
36、32，不存在点P满足条件法二，AMBC，由（1）得AMMN，BC和MN是两条相交直线，AM平面BCNMMB，MN，MA两两垂直，以M为坐标原点，MB，MN，MA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，假设线段BC上是否存在一点P，使直线PA与平面ABM所成角的正弦值为31010，并且设BP=BC（01），则AP=AB+BP=AB+BC，又A（0，0，1），B（2，0，0），C（12，332，0），所以AP=（2，0，1）+（-32，332，0）（2-32，332，-1），又平面ABM的法向量为n=(0，1，0)，所以线面角的正弦31010=|cosAP.n|=|33
37、2(2-32)2+(332)2+1|，得3212+100，解得=663，因为1，所以线段BC上不存在一点P，使直线PA与平面ABM所成角的正弦值为3101021（12分）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线|x1|my（m0）与C交于M，N两点（1）当m2时，求|MF|+|NF|的值；（2）直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上【解答】解：折线为my|x1|，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧，设M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N关于x轴的对称点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），联立x-1=myx24+y23=1，得（3m2+4）y2+
38、6my90，所以y1y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，|y1+y2|=12m2+13m2+4，（1）|MF|+|NF|MF|+|NF|MN|=1+m2|y1+y2|=1+m212m2+13m2+4=12(m2+1)3m2+4，当m2时，|MF|+|NF|=12(22+1)322+4=154（2）由题意知A（2，0），M（x1，y1），则直线AM的方程为yx+2=y1x1+2，又因为M在F的右侧，所以折线方程为my1x11，所以直线AM的方程为yx+2=y1my1+3，由题知B（2，0），N（x2，y2），则直线BN的方程为yx-2=y2x2-2，又因为x2my2+1，所以直线B
39、N的方程为yx-2=-y2my2+1，得，x-2x+2=y1-y2my2+1my1+3，所以，x-2x+2=my1y2+y1-my1y2-3y2，所以，x-2x+2=m93m2+4-6m3m2+4+y2-m93m2+4-3y2所以x-2x+2=3m+(3m2+4)y2-33m+(3m2+4)y2，所以x-2x+2=-13，解得x1，所以定点P在直线x1上22（12分）已知函数f（x）xexaxalnx+a（1）若ae，判断函数f（x）的单调性，并求出函数f（x）的最值（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，f（x）的定义域为（0，+），当ae时，f（x）
40、xexexelnx+e，求导可得f（x）=(x+1)ex-e-ex=(x+1)(ex-ex)，当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+），f（x）0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，故f（x）的最小值为f（1）eeeln1+ee，无最大值（2）f（x）xexaxalnx+a，f（x）=(x+1)ex-a-ax=(x+1)(ex-ax)，当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，故可得函数f（x）至多只有一个零点，不符合题意，当a0时，令ex-ax=0，设该方程的解为x0，则当x（0，x0）时，f（x）0，当x（x0，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，函数f（x）有两个零点，f(x0)=x0ex0-ax0alnx0+a0 ，x0 是方程ex-ax=0的解，x0ex0=a，两边取对数可得，lnx0+x0lna，联立可得，f（x0）a（2lna）0，解得ae2，当ae2时，由式可得，x01，f（1）ea+ae0，f（x）在（0，x0 ）上仅有一个零点，当x+时，f（x）+，故可得f（x）在（x0，+）上仅有一个零点，综上所述，若函数f（x）有两个零点，实数a的取值范围为（e2，+）
