1、2022年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|log3x1，Bx|x4，则AB（）Ax|0x3Bx|1x3Cx|1x4Dx|3x42（5分）设zi（1i），则z=（）A1iB1+iC1iD1+i3（5分）2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐如图为该品牌服饰某分店18月的销量（单位：件）情况以下描述不正确的是（）A这8个月销量的极差为4132B这8个月销量的中位数2499C这8个月中2月份
2、的销量最低D这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份4（5分）若角的终边经过点（8，6），则cos2（）A-2425B2425C725D-7255（5分）向量a，b满足|a|=3，|b|=1，|a-2b|=13，则向量a，b的夹角是（）A6B3C23D566（5分）已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若mn，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，则n7（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2B直线x=-6是f（x）图象的一条对称轴C点（-12，
3、0）是f（x）图象的一个对称中心Df（x）的单调递减区间是2k+6，2k+23（kZ）8（5分）曲线f（x）x33x在点（2，f（2）处的切线方程为ykx+b，则实数b（）A16B16C20D209（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）f（x），且当x0，2时，f（x）3x+1，则f（2022）（）A8B2C2D810（5分）在直角ABC中，BCa，ACb，ABc，且abc，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S1，S2，S3和V1，V2，V3，则它们的关系为（）AS1S2S3，V1V2V3BS1S2S3，V1V2V3CS1
4、S2S3，V1V2V3DS1S2S3，V1V2V311（5分）已知以圆C：（x1）2+y24的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为（）A1B2C1D812（5分）下列命题正确的是（）A若a=ln33，b=ln44，则abB若a0.50.2，blog0.50.2，则abC若3a3b4a4b，则abD若2a+log2a4b+log2b+1，则ab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率为103，则该双曲线的渐近线方程为 14（5分）
5、已知等差数列an满足a24，a68，则a4 15（5分）如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”若直角三角形中较大锐角的正弦值为255，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为 16（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acosC+csinA0，c27，b4，则sinA 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共60分。17（12分）已知数列an满足a11，2an+1an，数列bn满足b11，b22，bn+bn+22bn+1，nN*（1）求数列an及bn的通项公式；（2）求数
6、列an+bn的前n项和Tn18（12分）2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：增长率分组0.4，0.2）0.2，0）0，0.2）0.2，0.4）0.4，0.6企业数1530503817（1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，
7、并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率19（12分）如图，ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且AEAF2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF折到DEF的位置，使DM=152（1）证明：DO平面EFCB；（2）若平面EFCB内的直线EN平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥RFNC的体积20（12分）已知动点P到点F1（1，0）的距离与它到直线l：x4的距离之比为12（1）求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；（2）F2（1，0），分别过F1，F2作斜
8、率为k（k0）的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形F1F2BA的面积为1227，求k的值21（12分）已知函数f（x）x+2ax-（a2）lnx（aR），g（x）（b1）x-2x-xex（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当a1时，关于x的不等式f（x）+g（x）1恒成立，求实数b的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）如图，曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线它的极坐标方程为1sin（0，2）曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1（1）求曲线C2的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标；（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直
9、线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线C3的参数方程为x=tcos3，y=tsin3，（t为参数）若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若a0，b0，且a+bf（1），求证：a+1+b+1222022年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|log3x1，Bx|x4，则AB（）Ax|0x3Bx|1x3Cx|
10、1x4Dx|3x4【解答】解：集合Ax|log3x1x|x3，Bx|x4，ABx|3x4，故选：D2（5分）设zi（1i），则z=（）A1iB1+iC1iD1+i【解答】解：zi（1i）1+i，z=1-i故选：A3（5分）2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐如图为该品牌服饰某分店18月的销量（单位：件）情况以下描述不正确的是（）A这8个月销量的极差为4132B这8个月销量的中位数2499C这8个月中2月份的销量最低D这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份【解答】解：对于A，由销量折线图得极差为：484
11、47124132，故A正确；对于B，销量由小到大排列为：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，中位数为：1952+28222=2387，故B错误；对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长453228221710件，最大，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确故选：B4（5分）若角的终边经过点（8，6），则cos2（）A-2425B2425C725D-725【解答】解：角的终边经过点（8，6），cos=864+36=45，cos22cos2121625-1=725，故选：C5（5分）向量a，b满
12、足|a|=3，|b|=1，|a-2b|=13，则向量a，b的夹角是（）A6B3C23D56【解答】解：|a|=3，|b|=1，|a-2b|=13，|a-2b|2=a2+4b2-4ab=3+4-4ab=13，ab=-32，cosa，b=ab|a|b|=-3231=-32，向量a，b的夹角是56故选：D6（5分）已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，n，mn，则B若mn，m，n，则C若，m，mn，则nD若，m，nm，则n【解答】解：m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，知：对于A，由m，mn，得到：若n，过n的平面l，则nl，又n，则l，l，则，
13、若n，又n，则综上，故A正确；对于B，若mn，m，n，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，m，mn，则n与相交、平行或n，故C错误；对于D，若，m，nm，则n与相交或n，故D错误故选：A7（5分）函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期是2B直线x=-6是f（x）图象的一条对称轴C点（-12，0）是f（x）图象的一个对称中心Df（x）的单调递减区间是2k+6，2k+23（kZ）【解答】解：由图象可知T4=512-6=4，即T，故A错误；由T=2可得2，又因为函数图象过点(512，0)，所以sin(2512+)=0，由五点法
14、作图可知，56+=2k+，kZ，即=2k+6，kZ，又|2，故=6，所以f(x)=Asin(2x+6)，当x=-6时，f(-6)=Asin2(-6)+6=Asin(-6)=-12AA，故B错误；因为f(-12)=Asin2(-12)+6=Asin(-6+6)=0，所以点(-12，0)是f（x）图象的一个对称中心，故C正确；令2k+22x+62k+32，kZ，解得k+6xk+23，kZ，即函数的单调递减区间为k+6，k+23，kZ，故D错误故选：C8（5分）曲线f（x）x33x在点（2，f（2）处的切线方程为ykx+b，则实数b（）A16B16C20D20【解答】解：由f（x）x33x，得f（x
15、）3x23，kf（2）32239，又f（2）（2）23（2）29（2）+b，b16故选：B9（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）f（x），且当x0，2时，f（x）3x+1，则f（2022）（）A8B2C2D8【解答】解：根据题意，函数f（x），满足f（x+4）f（x），则有f（x+8）f（x+4）f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2022）f（6+2528）f（6）f（2），当x0，2时，f（x）3x+1，则f（2）32+18，则f（2022）f（2）8，故选：A10（5分）在直角ABC中，BCa，ACb，ABc，且abc，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，
16、将ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S1，S2，S3和V1，V2，V3，则它们的关系为（）AS1S2S3，V1V2V3BS1S2S3，V1V2V3CS1S2S3，V1V2V3DS1S2S3，V1V2V3【解答】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令c3、b4、a5，当绕a5边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为S1=122125（3+4）=845；体积V1=13(125)25=485；当绕b4边旋转时，S232+3524，体积V2=1332412；当绕c3边旋转时，S342+45
17、36，体积V3=1342316S1S2S3；V1V2V3故选：B11（5分）已知以圆C：（x1）2+y24的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为（）A1B2C1D8【解答】解：圆C：（x1）2+y24的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y24x，由y2=4x(x-1)2+y2=4，解得A（1，2），抛物线C2：x28y的焦点为F（0，2），准线方程为y2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，故选：A12（5分）下列命题正确的是
18、（）A若a=ln33，b=ln44，则abB若a0.50.2，blog0.50.2，则abC若3a3b4a4b，则abD若2a+log2a4b+log2b+1，则ab【解答】解：对于A，构造函数f(x)=lnxx，f(x)=1-lnxx2，当xe时，f（x）0，则f（x）在（e，+）上单调递减，所以f（3）f（4），即ab，故A错误；对于B，函数y0.5x与函数ylog0.5x的图象关于直线yx对称，则00.50.2log0.50.2，即ab，故B错误；对于C，不等式整理为3a4a3b4b，构造函数f（x）3x4x，则f（x）为增函数，由f（a）f（b），得ab，故C正确：对于D，不等式整理为
19、2a+log2a22b+log22b，构造函数f（x）2x+log2x，f（x）在（0，+）上单调递增，则a2b，故D错误故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若双曲线x2a2-y2=1(a0)的离心率为103，则该双曲线的渐近线方程为 x3y0【解答】解：由题意得，e=a2+1a=103且a0，解得a3，则渐近线方程为y13x故答案是：x3y014（5分）已知等差数列an满足a24，a68，则a46【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a6a2+4d，得84+4d，解得d1，所以a4a2+2d4+26故答案为：615（5分）如图，阴影部分由四个全等的直角三角形
20、组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”若直角三角形中较大锐角的正弦值为255，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为 15【解答】解：设直角三角形中较大锐角为，则sin=255，所以cos=1-sin2=1-(255)2=55，设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为1sin=255，1cos=55故小正方形边长为255-55=55，面积为(55)2=15而大正方形的面积为1，故所求概率为15故答案为：1516（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acosC+csinA0，c27，b4，则sinA2114【解答】解：3a
21、cosC+csinA0，由正弦定理，可得3sinAcosC+sinCsinA=0，A（0，），sinA0，3cosC+sinC=0，即tanC=-3，C（0，），C=23，由余弦定AB2AC2+BC22ACBCcosC，即(27)2=42+BC2-24BCcos23，解得BC2，由正弦定理，得BCsinA=ABsinC，即2sinA=27sin23，故sinA=2114故答案为：2114三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共60分。17（12分）已知数列an满足a11，2an+1an，数列bn满足b11，b22，bn+bn+22bn+1，nN*（1）求数列an及bn的
22、通项公式；（2）求数列an+bn的前n项和Tn【解答】解：（1）因为a11，2an+1an，所以数列an是首项为1，公比为12的等比数列，所以an1(12)n-1=(12)n-1，因为bn+bn+22bn+1，所以数列bn是等差数列，又b11，b22，所以公差db2b11，所以bn1+（n1）1n（2）an+bn=(12)n-1+n，所以Tn=11-(12)n1-12+(1+n)n2=2（1-12n）+(1+n)n218（12分）2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值
23、增长率的频数分布表如下：增长率分组0.4，0.2）0.2，0）0，0.2）0.2，0.4）0.4，0.6企业数1530503817（1）根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；估计这150个企业同期产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率【解答】解：（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为15+30150=30%这
24、150个企业同期产值增长率的平均数为1150(-0.315-0.130+0.150+0.338+0.517)=0.116（2）将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a，b，c，d，e，则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种，事件“这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）共6种，所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：p=610=3519（12分）如图，ABC
25、是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且AEAF2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF折到DEF的位置，使DM=152（1）证明：DO平面EFCB；（2）若平面EFCB内的直线EN平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥RFNC的体积【解答】解：（1）证明：在DOM中，DO=3，OM=32，DM=152，所以DM2DO2+OM2，即DOOM，又DOEF，EFOMO，所以DO平面EFCB（2）连接OC，过E在平面EBCF上作ENOC，交BC于点N，则由OC平面DOC，EN平面DOC，得EN面DOC，即存在点N，且BNBC=23，使得EN平面DOC
26、则VR-FNC=12VD-FNC=1213SFNCDO=1213121323=18，所以三棱锥RFNC的体积为1820（12分）已知动点P到点F1（1，0）的距离与它到直线l：x4的距离之比为12（1）求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；（2）F2（1，0），分别过F1，F2作斜率为k（k0）的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形F1F2BA的面积为1227，求k的值【解答】解：（1）设M（x，y），由题意得(x-1)2+y2|x-4|=12，整理得x24+y23=1，即为曲线C的方程（2）由题意知AF1BF2，延长AF1交椭圆C于点A1，由椭圆的对称性知|A1F1|BF2|，所以|AF
27、1|+|BF2|AF1|+|A1F1|AA1|，设lAF1：y=k(x-1)，与x24+y23=1联立消得：（3+4k2）x28k2x+4k2120，设A（x1，y1），A1（x2，y2），则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，所以|AA1|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(8k23+4k2)2-44k2-123+4k2=12(1+k2)3+4k2，因为点F2到直线AF1的距离d=2|k|1+k2，所以SF1F2BA=12(|AF1|+|BF2|)2|k|1+k2=|AA1|k|1+k2=12(1+k2)3+4k2|k|1+k
28、2=1227，平方化简得17k4+k2180，解得k21或k2=-1817（舍），所以k121（12分）已知函数f（x）x+2ax-（a2）lnx（aR），g（x）（b1）x-2x-xex（1）判断函数f（x）的单调性；（2）当a1时，关于x的不等式f（x）+g（x）1恒成立，求实数b的取值范围【解答】解：（1）f（x）x+2ax-（a2）lnx，x（0，+），f（x）1-2ax2-a-2x=x2-(a-2)x-2ax2=(x-a)(x+2)x2，当a0时，xa0，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，令f（x）0，得xa，令f（x）0，得0xa，所以f（x）在（0，a）
29、上单调递减，在（a，+）上单调递增，综上所述，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增（2）当a1时，f（x）+g（x）1，即x+2x+lnx+（b1）x-2x-xex1恒成立，所以（b1）xxexxlnx1，所以b1ex1-lnxx-1x，即bex-lnxx-1x恒成立，令g（x）ex-lnxx-1x，x（0，+），g（x）ex-1-lnxx2+1x2=ex+lnxx2=x2ex+lnxx2，令h（x）x2ex+lnx，h（x）2xex+x2ex+1x，因为x0，所以ex0，x20，1x0，所以h（x）0恒成立，所以h（x）在
30、（0，+）上单调递增，x0时，x2ex0，lnx，所以h（x），而h（1）e0，所以x0（0，1），使得h（x0）0，即g（x0）0，所以x02ex0+lnx00，x0ex0=-lnx0x0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，所以g（x）ming（x0）ex0-lnx0x0-1x0，而x0ex0=-lnx0x0，令k（x）xex，x（0，1），则k（x）k（lnx），k（x）ex+xex（1+x）ex0，所以k（x）在（0，1）上单调递增，所以xlnx，即ex=1x，所以g（x）min=1x0-x0x0-1x0=1，所以b的取值范围为（，1选修4-4：坐标系与参数
31、方程22（10分）如图，曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线它的极坐标方程为1sin（0，2）曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1（1）求曲线C2的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标；（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线C3的参数方程为x=tcos3，y=tsin3，（t为参数）若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度【解答】解：（1）曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线它的极坐标方程为1sin（0，2），曲线C2的极坐标方程为sin（0，），与C1方程联立
32、代入得sin1sin，sin=12，解得=6或=56，曲线C1和曲线C2交点的极坐标分别为（12，6），（12，56）（2）曲线C3为过原点倾斜角为3的直线，其极坐标方程为=3和=43，联立两曲线C1和C3的方程，解得两交点的极坐标分别为M（1-32，3），N（1+32，43），|MN|OM|+|ON|（1-32）+（1+32）2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）2|x1|+|x+1|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）若a0，b0，且a+bf（1），求证：a+1+b+122【解答】解：解法一：（1）f（x）2|x1|+|x+1|=-3x+1，x-1-x+3，-1x13x-1，x1，
33、由f（x）5，得x-1-3x+15或-1x1-x+35或x13x-15，解得-43x-1或1x1或1x2，故所求不等式的解集为x|-43x2（2）证明：要证a+1+b+122成立，只需证(a+1+b+1)2(22)2成立，即证a+b+2+2a+1b+18，由a0，b0，a+bf（1）2，故只需证(a+1)(b+1)2，由基本不等式可知，(a+1)(b+1)(a+1)+(b+1)2=2成立（当且仅当ab1时“”成立），故命题得证解法二：（1）因为f（x）2|x1|+|x+1|=-3x+1，x-1-x+3，-1x13x-1，x1，作函数f（x）图象与直线y5，如图所示：其交点为A(-43，5)，B（2，5），所以不等式f（x）5的解集为x|-43x2（2）证明：a+bf（1）2，又a0，b0，2a+1a+32，2b+1b+32，2a+1+2b+1a+32+b+32=4，a+1+b+122成立（当且仅当ab1时“”成立）
