1、1RC1RC0zzz0z如图，为避免涉及在圆周如图，为避免涉及在圆周CR上级数的上级数的收敛或者发散问题，作比收敛或者发散问题，作比CR小，但包含小，但包含z且与且与CR同心的圆周同心的圆周1RC应用柯西公式得应用柯西公式得1)(21)(RCdzfizf下面我们把下面我们把 展开为幂级数，且展开式以展开为幂级数，且展开式以z0为中心，为中心，)/(1z00000111)()(11zzzzzzzz右边第二个式子可得右边第二个式子可得) 1|(|11.12t ttttk1.111002000000zzzzzzzzzzzz代入（代入（1）可得）可得（1）201000000)()()()(11kkkk
2、kkzzzzzzzz1)(21)(RCdzfizf代入代入然后逐项积分可得然后逐项积分可得01001)()(21)()(kCkkRdzfizzzf根据柯西公式根据柯西公式lndzfin zf1(n)()(2!)(上式就是以上式就是以z0为为中心的中心的)()(!)()(0000)(Rzz zzk zfzfkkk下面证明以上得到的泰勒级数是下面证明以上得到的泰勒级数是的的3如果另有一个以如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数为中心的不同于上面的泰勒级数 zzazfkkk00)()(则有则有.)(!2)()(! 1)()(.)()(200000202010 zz zfzz zfzfzzaz
3、zaa令令zz0，得，得)(00zfa 然后求导一次，令然后求导一次，令zz0，可得，可得! 1)(01 zfa然后求导一次，令然后求导一次，令zz0，可得，可得!2)(02 zfa 依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了解析函数可以展开为解析函数可以展开为的泰勒级数，的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有泰勒级数与解析函数有密切的关系。密切的关系。4在在z00的邻域上把的邻域上把 展开展开zezf)(解：解：zezf)(函数函数 的各阶导数的各阶导数 zkezf)()(并且有并且有1)0()()(0)(kkfzf由此可以写出由此
4、可以写出 在在z00的邻域上的泰勒级数的邻域上的泰勒级数ze032!.!.! 3! 2! 11kkkzkzkzzzze|lim1kkkaaR由由可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z是有限的，则泰勒级数就是收敛的！是有限的，则泰勒级数就是收敛的！在在z00的邻域上把的邻域上把 展开展开zz fzzfcos)(,sin)(21解：解：zzfsin)(1的前四阶导数是的前四阶导数是zzfzzfsin)(,cos)(11 )(sin)(,cos1)4(1)3(1zfzzfzf往后依次重复往后依次重复二、解析函数展为泰勒级数举例：二、解析函数展为泰勒级数举例：5在在
5、z00处，处，f1(z)和前四阶导数的值是和前四阶导数的值是1)0(, 0)0(11ff0)0(, 1)0(, 0)0()4(1)3(11 fff由此可以写出由此可以写出sinz在在z00的邻域上的泰勒级数的邻域上的泰勒级数.! 7! 5! 3! 1sin753zzzzz同样也可求得其收敛半径为无限大！同样也可求得其收敛半径为无限大！同理可求得同理可求得cosz在在z00的邻域上的泰勒级数为的邻域上的泰勒级数为.! 6! 4! 21cos642zzzz可求得其收敛半径为无限大！可求得其收敛半径为无限大！6在在z01的邻域上把的邻域上把 展开展开zzfln)(解：解：多值函数多值函数f(z)ln
6、z的支点在的支点在 , 0z而现在的展开中心而现在的展开中心z01不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。展开系数计算如下：展开系数计算如下： fzzf fzzffzzff zzfZni n fzzf! 3) 1 (,! 3)(! 2) 1 (,! 2)(1) 1 (! 1)(1) 1 (,1)()(21ln) 1 (,ln)()4(4)4()3(3)3(2 ，由泰勒展开的公式我们由泰勒展开的公式我们可以写出可以写出lnz在在z01的的
7、邻域上的泰勒级数如下：邻域上的泰勒级数如下：7.4) 1(3) 1(2) 1() 1(2.) 1(! 4! 3) 1(! 3! 2) 1(! 2! 1) 1(! 111lnln432432zzzzin zzzzz同时可求得其收敛半径为同时可求得其收敛半径为1，则有，则有11-z.4) 1(3) 1(2) 1() 1(2ln432zzzzinz 在上述展开式中，在上述展开式中，n0的那个单值分支叫做的那个单值分支叫做lnz的的在在z00的邻域上把的邻域上把 展开展开mzzf)1 ()(解：解：（m不是整数）不是整数）先计算展开系数先计算展开系数mmmmmf zfzmzmzf fzzf1)0(),
8、(1)1 ()(1)0(,)1 ()(18mmmmfzfzmmxmmzf1 ) 1()0()()1 () 1()1)(1()(21 ，.1 )2)(1()0()()1 ()2)(1()()3(3)3( mmm fzfzmmmzfm，由此我们可以写出由此我们可以写出 在在z00的邻域上的泰勒级数的邻域上的泰勒级数mz)1 ( .! 3)2)(1(! 2) 1(! 111.1! 3)2)(1(1! 2) 1(1! 11)1 (3232zmmmzmmzm zmmmzmmzmzmmmmmm可求得收敛半径为可求得收敛半径为1，由此可得，由此可得1.! 3)2)(1(! 2) 1(! 111)1 (32z
9、 zmmmzmmzmzmm91.! 3)2)(1(! 2) 1(! 111)1 (32z zmmmzmmzmzmm其中其中)()(122Zn eeimnminm这许多单值分支中，这许多单值分支中，n0，即，即1m1的这个分支叫做的这个分支叫做同时也是指数为非整数的同时也是指数为非整数的10 zsinieeiziz2 0021nnnn!niz!nizi !nz!z!zznn121531253.11 2的幂级数展开成把函数例zz解解 ,zzz11112 上有一个奇点上有一个奇点在在.z内内处处处处解解析析而而它它在在1 .zz的幂级数的幂级数内可展开成内可展开成它在它在1 111121 z ,zz
10、zznn:上式逐项求导上式逐项求导 11321111122 z ,nzzzznn11.01ln 处的泰勒展开式在求对数函数的主值例zz解解,z1 奇点奇点.zz的幂级数的幂级数内可展开成内可展开成它在它在1 0111Rxy ,zzln 111 111121 z ,zzzznn,z内内在此展开式的收敛圆在此展开式的收敛圆1 ,Cz的积分路线的积分路线到到一条从一条从0 :上式逐项积分上式逐项积分 dzzZ011 ZnnZZdzzzdzdz000112 11143211432 z ,nzzzzzzlnnn dzzZ011 ZnnZZdzzzdzdz000113展展开开公公式式 !nz!z!zzenz32132 !nz!z!zzzsinnn121531253 !nz!z!zzcosnn21421242 1143211432nzzzzzzlnnn)z(1 211211 12 !3!11 , (1)!zzznzn平面平面z 111121 z ,zzzznn14 解析函数的一个等价命题解析函数的一个等价命题函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数
