1、1从奇怪的无穷说起刘铎27 March 20222原始人l我不敢确定地说绝对是l但是至少我认为是l他们先学会比较多少l后学会数数345Galileo的对话l1638，Galileo(意)在关于两种新科学的对话中借三个中世纪的学者的对话指出：l对于每个自然数，都有且只有一个平方数与之对应1 12 43 94 16n n26Galileo的对话l于是就产生了一个问题：l自然数和自然数的平方哪个多？l部分和全体哪个多？l当时它不仅困惑了Galileo，也使许多数学家束手无策。7Hilbert旅馆的故事l一家拥有无穷多个客房的旅店每个房间恰能住一位旅客，并已经客满。l当日又有一位旅客投宿1234567
2、8l集合+=1,2,3.与集合+-1=2,3,4.具有同样多的元素。9Hilbert旅馆的故事l“祸”不单行l又来了可数多位旅客投宿1234567811Hilbert旅馆的故事l集合+=1,2,3.与集合2+=2,4,6.具有同样多的元素。12Hilbert旅馆的故事l屋漏偏逢连夜雨，船破又遇顶头风l紧接着发生了更为严重的情况，来了无穷多个具有无穷多名游客的旅游团，如何是好13Hilbert旅馆的故事l店主人把#1房的客人移到#2房，把#2房的客人移到#4房，#3房的客人移到#6房，等等，所有奇数号的房间全部腾空l第一个旅游团游客住的房间编号为 3, 32, 33, 34, l第二个旅游团客人
3、住的房间编号为 5, 52, 53, 54, l接着是 7, 72, 73, 74, l一般地，设第m个奇素数是pm，则第m个旅游团的成员依次住在lpm , pm2, pm3, pm4, 14Hilbert旅馆的故事l这样不仅安排了无穷多个旅游团的住宿，而且还空出了很多房间 l对于一个无穷集合，向其中添加有限个元素，甚至“无穷多个”元素得到的新集合，元素数目不变？！15Hilbertl希尔伯特，德国数学家。l1862年1月23日生于柯尼斯堡,1943年2月14日在格丁根逝世。l1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入柯尼斯堡大学攻读数学;l1885年获博士学位；l1892年任该校副教授，翌
4、年为教授；l1895年赴哥廷根大学任教授，直至1930年退休。16Hilbertl他的母亲很怪对哲学和天文学很感兴趣，对素数弄着了迷。l小时候智力一般，成绩中等；中学有些许进步，但仍一般，尤其作文很差，很多时候要由他的母亲当枪手才能在第二天交上作业。l但是他喜欢独立思考，善于推导、演算、证明，数学是他的最爱。l他的一个朋友曾说：“希尔伯特讲过的每一件事情，不管言语多么使人费解，甚至自相矛盾，都使人感觉到他那种强烈的，常常是感到人的追求真理的愿望。”17Hilbertl在哥廷根大学授课时，很强悍！l什么课都讲l讲究讲课的艺术，讲课富有魅力，重视基础与技巧。l反对天才教育，教育学生不要迷信天才，主
5、张辛勤劳动，注意引导和鼓励学生18Hilbertl希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一，他的数学贡献是巨大的和多方面的。他典型的研究方式是直攻数学中的重大问题，开拓新的研究领域，并从中寻找带普遍性的方法。1900年，希尔伯特在巴黎举行的国际数学家会议上发表演说，提出了新世纪数学面临的23个问题。对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学发展的进程。19Hilbertl希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的告文明世界书上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。20Hilbertl以希尔伯特命名的数学名词多如牛毛，有些连希尔伯特本人
6、都不知道。比如有一次希尔伯特曾问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特空间？” 21几何问题l哪个线段上的点多?22几何问题l线段和直线，哪个上面的点多?23几何问题l正方形和圆形，哪个上面的点多?24Gauss的警告l高斯曾经警告说：l我极力反对把无限当成一种完成的东西来使用，这在数学上是绝对不能允许的。无限只不过言语上的一个比喻罢了。25Cantor的回答lCantor给出了回答：l有时候，部分和全体确实一样多！lCantor何许人也？26Cantor集合论的创始人lGeorge Cantor（康托）（1845 1918)l出生在俄国彼得堡一个丹麦犹太混血的富商家庭l1856年，随父迁居德国法兰
7、克福。l17岁入瑞士苏黎士大学，后转入德国哥丁根大学和柏林大学。l在柏林大学Cantor有幸师从Weierstrass, Kummer, Kronnecker。l22岁时在柏林获博士学位。l1879-1905年在德国Halle大学任教27Cantor集合论的创始人l除集合论的创立外，康托在数学领域有诸多方面的贡献：1. 1874年引入基数概念，证明“超越数大 大多于代数数”。 2. 定义了序型、超限序数等概念。3. 定义了聚点、闭集、开集等概念。4. 建立了维数理论，为拓扑空间理论开 辟了道路。 28Cantor集合论的创始人lCantor的工作具有革命性，一时难以被多数数学家接受，甚至受到许
8、多攻击，致使Cantor于1884年患严重的抑郁症。同时，来自集合论中的悖论和连续统假设等数学难题又一筹莫展，再加上面临的家庭经济困难，使他的身体每况愈下，于1918年死于抑郁症。l他的老师Kronnecker成为他最强硬的对手，把他一生的工作斥之以无稽之谈。l当然也有大师级人物站在Cantor一边，例如Hilbert认为： Cantor的集合论创立了数学上最广泛、最有力的一个分支。Russel说Cantor的工作是我们这个时代值得夸耀的最伟大的工作。29Cantor集合论的创始人l没有任何人能够将我们从Cantor所创造的这个乐园（集合论）中驱赶出去！ D. Hilbert（希尔伯特） 30
9、Cantor的回答l康托研究了无限集合的度量问题，解决了该问题：l如果能找到集合A到集合B的一一对应，那么就说集合A和集合B等势。313233Cantor的回答lGalileo的对话lHilbert旅馆34Cantor的回答l哪个线段上的点多?35Cantor的回答36Cantor的回答37几何问题l线段和直线，哪个上面的点多?38Cantor的回答lTan函数-1.5-1-0.50.511.5-6-4-224639Cantor的回答l1877年，证明了一条直线上的点与平面上的点 （乃至高维空间中的点）等势l证明了有理数和自然数等势、与不等势。4041集合论的乐园？l没有任何人能够将我们从Ca
10、ntor所创造的这个乐园（集合论）中驱赶出去！ D. Hilbert（希尔伯特）l真的是一个乐园么？l还是一个噩梦？ l事实上，集合论的诞生曾宣告了第三次数学危机42数学危机l数学危机是数学公理在定义上的不完全或不够严谨，导致在理性推论下，将会得到错误的结论。l例如：在无理数还没被发现之前，在勾股定理中出现腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟是无法写成有理数的数。这是第一次数学危机。l第二次数学危机得解决微积分引入无穷小量而产生的极值问题（飞矢不动的悖论）。l第三次数学危机则是因罗素悖论而起，罗素悖论点出了数学集合论中的缺失。43第一次数学危机l从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为
11、演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。l这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。l他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。l他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。l数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。44第一次数学危机l毕达哥拉斯（，约前580年前500年），古希腊哲学家、数学家和音乐理论家。l毕氏曾用数学研究乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。l毕达哥拉斯还是勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）首先
12、发现者。l他认为数学可以解释世界上的一切事物，对数字的痴迷达到崇拜数字的程度。他认为一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和证实。45第一次数学危机l传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯(Hippasus, 约500BC)发现。他以几何方法证明 无法用整数及分数表示。246第一次数学危机l而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。l但是他始终无法证明 不是无理数。有人说为此，希伯斯的同伴把希伯斯抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希伯斯因泄密而被处死。l不可通约性的发现引起第一次数学危机。247第一次数学危机l首先，对于全部依靠整数的毕氏哲
13、学，这是一次致命的打击。l其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。l由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。l“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。48第一次数学危机l由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。1872年，德国数学家戴德金从连续性的
14、要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 l第一次数学危机的产物古典逻辑与欧氏几何学49第二次数学危机l早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。l古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。50第二次数学危机l他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：l第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路如此下去，它必须通过无限多个点，这在有
15、限长时间之内是无法办到的。l第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。l而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。51第二次数学危机l希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
16、它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。52第二次数学危机l经过许多人多年的努力，在十七世纪晚期，形成了无穷小演算微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。l由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。l十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题。l同时关于微积分基础的问题也越来越严重。53第二次数学危机l以求速度为例，瞬时速度是s/t当t趋向于零时的值。t是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。l例如：l若s=t2, s=(t+t)2-t2=2tt+t2, l这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。54第二次数学危机l有些人就对这
17、些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。l但也因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。 55第二次数学危机l十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。56第二次数学危机l一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始
18、比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。l十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。l第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。 57第三次数学危机 l数学史上的第三次危机
19、，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 58Berry悖论，1906lN = x | 能用少于二十四个汉字表示的自然数 l设 n0 是“不能用少于二十四个汉字表示的自然数中最小的一个”l从形式上看，n0 仅用23个汉字即可表示，可见n0符合N 的条件； l但在语义上，n0又不符合N 的条件；59Berry悖论，1906lN= x | 能用少于二十四个汉字表
20、示的自然数 l结论l用自然语言表达的条件其明确性需特别注意l有些貌似明确的条件其实并不明确。60第三次数学危机l1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。61Bertrand Arthur William Russelll罗素l二十世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、无神论者、和平主义社会活动家62Bertrand Arthur William Russelll1910年与怀特海一起发表了三卷本的数学原理l创立了分析哲学l和平主义者，反对英国参加一战；89岁时参与一个核裁军的游行后被拘禁了7天；反对越南战争，组建民间法庭，揭露美国罪行。l著有西方哲学史等，
21、因此书获1950年诺贝尔文学奖！63第三次数学危机l罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。 64Russell的理发师lbarber paradoxl一理发店门口招牌上写道：本理发师“给所有不给自己刮脸的人刮脸”(1919)l问：理发师的脸由谁刮？ 65Russell的理发师l设此理发师的顾客组成集合 B= x | x不给自己刮脸l理发师自己是否属于B ？66Russell Russell 悖论悖论 (1903)(1903)l分析如下集合：H = x | x是一个集合且 xx l任一集合x, 若 xx ，则这个x就是H的元素。x是集合，任
22、一事物都可明确是否属于它，于是xx是有意义的。 l问题：HH？67Russell Russell 悖论悖论 (1903)(1903)l罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则第卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。于是终结了近12年的刻苦钻研。 68Russell Russell 悖论悖论 (1903)(1903)l排除Russel悖论的根本途径是不承认H是一个集合l禁谈一个集合是自己的元素，即不许谈HH69集合论的公理系统l既然 x | x是
23、一个集合且 xx 不是集合，那么其它的 x | P(x) 都是集合吗？l集合论的公理系统回答了上述问题。lZF公理系统是著名的集合论公理系统l其它还有GB(Godel&Bernays)公理系统等l包括一些基本集合的存在性，以及如何已知集合构造新的集合。70集合论的公理系统l十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。l公理化方法是现代数学最重要的方法之一，对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。 71第三次数学危机l承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。7273失乐园？
