1、刚体：刚体：受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。受力时不改变形状和体积的物体，是理想模型。特点：特点：(1)是一个质点系是一个质点系(2)内部任意两质点间的距离保持不变内部任意两质点间的距离保持不变.第三章第三章 刚体力学刚体力学 物体运动问题的影响因素（物体的性质）物体运动问题的影响因素（物体的性质）（1 1）大小（大小（2 2）形状（）形状（3 3）质量）质量 (4)(4)占有空间位置（占有空间位置（5 5）变形）变形一、刚体一、刚体3.1 刚体的运动刚体的运动 二、二、 刚体的平动和转动刚体的平动和转动 平动：平动：刚体在运动过程中，在刚体中任作一条直线，刚体在运动过程中，在刚体中
2、任作一条直线，如果各个时刻该直线始终保持平行，这种运动称为如果各个时刻该直线始终保持平行，这种运动称为刚体的平动刚体的平动。trtrijddddijvvijaa2222ddddtrtrij,的的矢矢量量指指向向质质点点表表示示质质点点图图中中jirijijijrrr为为恒恒矢矢量量由由平平动动定定义义ijr取参考点取参考点O 结论：结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度及相同的轨迹。可用一个质点的运动代加速度及相同的轨迹。可用一个质点的运动代替刚体的运动。替刚体的运动。Ojririjr 转轴的方位随时间变化转轴的方位随时间变化。刚体运动时，各个质点
3、在运动中都绕同一直线作刚体运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动圆周运动。转动又分定轴转动和非定轴转动。转动又分定轴转动和非定轴转动。 转动：转动：定轴转动定轴转动：非定轴转动：非定轴转动： 转轴固定于参考系的转动。转轴固定于参考系的转动。刚体的复杂运动一般可分解为刚体的复杂运动一般可分解为平动平动和和转动。转动。xO p规定逆时针转向规定逆时针转向 为正为正.1. 定轴转动的描述定轴转动的描述 (1) 角坐标角坐标 刚体定轴转动的运动学方程刚体定轴转动的运动学方程 (2) 角位移角位移 = (t+ t)- (t) = (t) 三、三、刚体的定轴转动刚体的定轴转动 xOpz逆时针转动，
4、逆时针转动， 0顺时针转动，顺时针转动， 0，顺时针转动顺时针转动 J实实).刚体的总质量刚体的总质量 (同分布同分布,M m , JM Jm).转轴的位置转轴的位置(2)影响影响 J 的因素的因素:连续分布连续分布mrJd2(3)(3)转动惯量的计算：转动惯量的计算：2222211nnrmrmrmJ VVrJd2SSrJd2llrJd2离散分布离散分布iiirmJ2mmmABCD图 4-6lll【例】【例】如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶如图所示，在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为角上，各固定一个质量为m的小球，三角形边长为的小球，三角形边长为l。求：。求：
5、系统对过系统对过C C点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量；点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量；系统对过系统对过A A点，且点，且与三角形平面垂直轴的转动惯量与三角形平面垂直轴的转动惯量；若若A A处质点也固定在处质点也固定在B B处，的结果如何？处，的结果如何？)3(312mMMl22232MlmlmlJA2222MlmlmlJA讨论：讨论：J J与质量有关（见与质量有关（见、结果）结果） J J与轴的位置有关（比较与轴的位置有关（比较、结果）结果） J J与刚体质量分布有关（比较与刚体质量分布有关（比较、结果）结果）222333lmlmlmJc（1）（2）（3）【例】【例】求一质量为求一质量
6、为m,长为长为 l 的的均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量. . ( (1 1) ) 转轴通过棒的中心并与棒垂直转轴通过棒的中心并与棒垂直. . (2) (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直轴通过棒的一端并与棒垂直. .解解:xlOxxdlmxlmxmxJddd22dm对转轴的转动惯量为对转轴的转动惯量为:在棒上取质量元在棒上取质量元,长为长为dx, 离轴离轴 O 为为 x .棒的线密度为棒的线密度为: :xlmmdd(1) 解为解为:2222121ddmlxxlmJJll22031dmlxxlmJl(2) 解为解为:(原点原点O在棒的左端点在棒的左端点)【例】例】一质量为一质量为m, 半径为半
7、径为R的均匀圆盘的均匀圆盘, 求通过盘中求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量心并与盘面垂直的轴的转动惯量.解：解：ordrRrrSmd2ddJJdrr d2324212mRR取圆环为质量元取圆环为质量元质量面密度：质量面密度：2RmrrmrJd2dd32几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量 圆筒圆筒 )(212221RRmJ圆环圆环RmO O 圆柱圆柱 221mRJ LRR2R12121mlJ 细圆棒细圆棒l2mRJ R圆球圆球 252mRJ 球壳球壳 R232mRJ 平行轴定理平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚体对与则刚体对
8、与该轴相距为该轴相距为 d 的平行轴的平行轴 z 的转动惯量的转动惯量Jz是是:2mdJJczmJ Jz zJ Jc c221mRJc2221mRmRJz223mR垂直于杆的轴通过杆的中心2121mlJ 垂直于杆的轴通过杆的端点231mlJ 垂直于杆的轴通过杆的1/4处 2487mlJ 匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量 (杆长为杆长为l, 质质量为量为m1, 摆锤半径为摆锤半径为R, 质量为质量为m2) : 22222122131RlmRmlmmdJJc挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量的转
9、动惯量(圆环质量为圆环质量为m, 半径半径为为R):22222mRmRmRmdJJctJJMdd两类问题：一类是已知力矩求转动；两类问题：一类是已知力矩求转动； 二类是已知转动求力矩。二类是已知转动求力矩。（1 1）选取研究对象，隔离之）选取研究对象，隔离之（2 2）分析隔离体受力和力矩）分析隔离体受力和力矩（3 3）写出微分方程）写出微分方程（4 4）根据题意找出所选各隔离体之间的联系）根据题意找出所选各隔离体之间的联系（5 5）求解）求解【例】【例】一个质量为一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 绳绳子质量可以忽略子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动
10、它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质量假设定滑轮的质量为为m0 ,半径为半径为R, 其转动惯量为其转动惯量为m0R2/2, 滑轮轴光滑滑轮轴光滑. 试求该物试求该物体由静止开始下落的过程中体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系下落速度与时间的关系.解解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律:m0mRTmg对对m:maTmg(1)对对m0:JTR (2)Ra (3)联立联立(1),(2),(3)解得解得:022mmmga恒矢量恒矢量,与与时间无关时间无关.由初始条件由初始条件 ,得得00v022mmmgtatvT【例例】一质量为一质量为m的物体悬于一条轻
11、绳的一端，绳绕在一的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一滑轮滑轮的轴上。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为的轴上。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间在时间t内下降了一段距离内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量，试求整个滑轮的转动惯量（用（用m，r，t和和S表示）表示）JTrmaTmgra TT rmo221atS )1S2gt(mrJ22TmgT【思考】【思考】组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴平固定轴o转动，对转动，对o轴的转动惯
12、量轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体的物体A和和B，这一系统从静止开始运动，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不绳与盘无相对滑动且长度不变。已知小圆盘的半径为变。已知小圆盘的半径为r，质量为，质量为m；大圆盘的半径；大圆盘的半径r=2r，质量，质量m = 2m 。 求：组合轮的角加速度求：组合轮的角加速度的大小的大小。TTTTmgmgmamgT222)2(2/9:rmmrmrmgr解解得得rm,rm,ABo解：解：29)2(2mrTrrT)2(ra amTmgra ABCmC
13、图 4-9BmAmR【例】【例】轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体连接两物体A和和B，A、B质量分别为质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为，滑轮视为圆盘，其质量为mC半径为半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求不计轴处摩擦，求B的加速度，的加速度，AC、BC间绳的张力大小。间绳的张力大小。11TT 22TT Ra amTA11T2T1TgmB2TamTgmBB221221RmRTRTcCcBABcAcBABAcBABmmmgmmmTmmmgmmTmmmgma2121212121不计不计
14、mc时，时，BABABABmmgmmTTmmgma21解解: 平行轴定理平行轴定理2mdJJco2220916121mllmmlJ0o0JM lgmlmglJM239620转动惯量转动惯量:OBAC质心质心【例】【例】一质量为一质量为m, 长为长为l的均质细杆的均质细杆, 转轴在转轴在O点点, 距距A端端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动点转动,求求: (1)水平位置的角速度和角加速度水平位置的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度垂直位置时的角速度和角加速度. (3)棒在竖直位置时棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度棒的两端和中
15、点的速度和加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度垂直位置时的角速度和角加速度. tJJMddcos6lmgdcos23dlgdcos23d00lgsin3lgsin23212lg0OBAC质心质心dd912mltmldd912lg32时，时，)(6/36/3CC方向向左方向向左glllgrv)(3/33/3AA方方向向向向右右glllgrv (3) 棒在竖直位置时棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度棒的两端和中点的速度和加速度.OBAC质心质心2/,2,C2CB2BA2Agragragra)(3/323/2/3BB方方向向向向左左glllgrv【例】【例】 一半径为一半径为R,
16、质量为质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上面上. 若它的初始角速度为若它的初始角速度为 0, 绕中心绕中心O旋转旋转, 问经过多长时问经过多长时间圆盘才停止间圆盘才停止.(设摩擦系数为设摩擦系数为 )oRdrr解：解：mgrMdd22d2d2dRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMR32d2022tJJMddtmRmgRdd21322d43dgRt000d43dgRttgRt430【例例】设电风扇的电机力矩恒定为设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻力，风叶所受空气阻力矩矩的大小的大小为为Mf=K，风叶转动惯量为，风叶转动惯量为J。求（求（1
17、）通电后）通电后t时刻的角速度时刻的角速度；(2)稳定转动时的角速度；（稳定转动时的角速度；（3）稳定转）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？tJKMdd解：tJtKM00dd)1 (tJKeKMKMtmtJKdd) 3(00mddJK2mKJMKJddddddJtJ。时时，为为电电扇扇的的稳稳定定速速度度或或mKM 3.3 3.3 刚体定轴转动刚体定轴转动中中的的功与能功与能动能动能:2222121iiiirmmv刚体的总动能刚体的总动能:2222k2121iiiirmrmE2k21JE mizirivmhmmgghmEiiiip刚体的重力势能等
18、于质量集中于质心的重力势能刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能.cmghE p质心高度质心高度hcddMA力矩力矩:rFM力矩的总功力矩的总功:21dMAoxdP力矩的元功力矩的元功:说明：说明： 1）本质上仍然是力的功本质上仍然是力的功2）当力矩为常量时）当力矩为常量时，力矩的功为，力矩的功为)(d1221MMAsF ddrF刚体中刚体中P点在力点在力 的作用下位移的作用下位移 ,则则力元功力元功 F力矩功率力矩功率:MtMtAPdddd21diMA4）合外力矩的功）合外力矩的功:inAAAA213）内力矩的功）内力矩的功=05）力矩的功是力矩对空间的累积效应）力矩的功是力矩对空间的累
19、积效应当当M与与同向，同向，P为正；当为正；当M与与反向，反向，P为负为负baMArFAMPvFPbadd转转动动平平动动类比：类比：212121ddd21nMMMtJJMddddJM1k2k21222121d21EEJJMAk2d)21(ddEJA常量常量222121mvJmghc只有保守内力做功只有保守内力做功刚体机械能守恒刚体机械能守恒微分形式微分形式积分形式积分形式tJddddddJ【例】【例】 一质量为一质量为M, 半径半径R的圆盘的圆盘, 盘上绕有细绳盘上绕有细绳, 一一端挂有质量为端挂有质量为m的物体的物体. 问物体由静止下落高度问物体由静止下落高度h时时, 其速度为多大？其速度
20、为多大？mgTMm解解1:0212JTR0212mvThmgh RhRv 221MRJ 解得：解得：mMmgh22v由动能定理由动能定理:将地球、圆盘、物体作为一个系统将地球、圆盘、物体作为一个系统.0解解2:0外M机械能守恒机械能守恒mgTMmRv 221MRJ 解得：解得：mMmgh22v221J221mvmgh【例】【例】 滑块质量为滑块质量为m, 滑轮半径为滑轮半径为R, 转动惯量为转动惯量为J,弹簧劲弹簧劲度系数为度系数为k, 斜面角度为斜面角度为 . 不计摩擦不计摩擦. 当弹簧无形变时将滑当弹簧无形变时将滑块由静止释放块由静止释放. 求求(1)滑块滑块下滑下滑x时的加速度时的加速度
21、; (2) 下滑的最大距离下滑的最大距离.解解: JkxRTR对于滑块：对于滑块：maTmgsin可得可得:JmRkxRmgRa222sin对于滑轮对于滑轮:(1) 根据转动定理根据转动定理Ox RmkRa 沿斜面建立坐标沿斜面建立坐标, 以以A的初始的初始位置为位置为原点原点. 得得sin212pmgSkSE滑滑kmgSsin2Ox Rmk(2) 下滑的最大距离下滑的最大距离.设滑块由静止释放沿斜面下滑设滑块由静止释放沿斜面下滑的最大距离为的最大距离为S, 则则设原点为势能零点设原点为势能零点.以整体和地球为系统以整体和地球为系统, 其机械能守恒其机械能守恒.滑滑pEm5 . 1图 4-16
22、k0pEC1.5m【例】【例】一轻弹簧与一匀质细杆一轻弹簧与一匀质细杆l=1m相连，弹簧倔强系数相连，弹簧倔强系数k=40N/m，细杆质量为，细杆质量为m=3kg。杆可绕杆可绕c轴无摩擦转动。若当轴无摩擦转动。若当=0时弹簧为原长，那么细杆时弹簧为原长，那么细杆在在=0的位置上至少具有多大的位置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？的角速度才能转到水平位置？Ep=0解：解：取弹簧、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。取弹簧、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。222225 . 00 . 15 . 12131212kmllmg140mNkkgm3ml128 . 9smg118. 6srad
23、【例】【例】滑轮转动惯量为滑轮转动惯量为0.01kg m2，半径为，半径为7cm，物体质量为，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数，由一绳与倔强系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：（无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：（1）当绳拉直，）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；（弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体）物体速度达到最大值的位置及最大速率。速度达到最大值的位置及最大速率。:.) 1 ( :则则根根据据机机械械能能守守恒恒重重力力势势能能零零点点开开始始时时物物体体所所在在位位置置
24、为为解解mghkh 2210m49. 02kmgh,)2(xv下下落落的的距距离离为为设设这这时时物物体体的的速速率率为为加加速速度度为为零零时时速速度度最最大大km1T2Tkxmg mgxmvRvJkx22221)(21210m/s3 . 1222mRJkxmgxv.,2121TTkxTmgT且且则则m245. 0kmgx:根据机械能守恒根据机械能守恒3.4 3.4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律设设: t 时刻质点的位矢时刻质点的位矢质点的动量质点的动量 运动质点相对于参考原点运动质点相对于参考原点O的角动量定义为的角动量定义为:Kg m2s-1rLpxyzOsinsinvrm
25、rpLh 矢经矢经 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向垂直于垂直于 和和 组成的平面，指向由右手螺旋法则确定组成的平面，指向由右手螺旋法则确定prrphmvm角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关的位置有关. 注意注意:根据质点的角动量的定义根据质点的角动量的定义两边对时间求导，得两边对时间求导，得所以所以结论：结论：质点的角动量对时间的变化率等于质点所受的合质点的角动量对时间的变化率等于质点所受的合外力矩，这就是外力矩，这就是质点的动量定理质点的动量定理。注：注： 是相对于同一是相对于同一参考点而言的参考点而言的!结论：结论：相对于某一参考点，如果质点所受的合外力矩为相对于某一参考点，如果
26、质点所受的合外力矩为零，则质点的角动量保持不变，这就是零，则质点的角动量保持不变，这就是质点的角动量守质点的角动量守恒定律恒定律。说明：说明：2）质点在有心力所用下运动时，其对力心的角动量）质点在有心力所用下运动时，其对力心的角动量守恒。守恒。当当 时，有时，有，有两种情况：，有两种情况：1）合力）合力 ，外力矩，外力矩 ，角动量守恒；，角动量守恒；mvrL太阳太阳行星行星0M角动量守恒角动量守恒注意：注意：动量守恒与角动量守恒是相互动量守恒与角动量守恒是相互独立独立的定律的定律如行星运动如行星运动动量动量不不守恒守恒角动量角动量守恒守恒在近日点转得快，在远日点转得慢。在近日点转得快，在远日点
27、转得慢。【例】【例】轻绳一端系着质量为轻绳一端系着质量为 m 的质点，另一端穿过光滑的质点，另一端穿过光滑水平桌面上的小孔水平桌面上的小孔 O 用力用力 拉着，如图所示。质点原来拉着，如图所示。质点原来以速率以速率 v 作半径为作半径为 r 的圆周运动，当的圆周运动，当 拉动绳子向正下拉动绳子向正下方移动方移动 r/2 时，（时，（1）质点的速度）质点的速度v =?（2）此过程中）此过程中 所所作的功。作的功。2rFrmv图 4-17222212223212212121mvmvvmmvmvA（1 1）转动中，）转动中， 解：解：2211rmvrmv22rmvmvr vv22有有得得（2 2）质
28、点的速度增加了，动能也增加了。）质点的速度增加了，动能也增加了。动能的增加，是由于力做了功。动能的增加，是由于力做了功。2iiirmLL质点对定轴质点对定轴的转动惯量的转动惯量 miziriv2iiirrviiimmLJ2iirm结论：结论：刚体绕定轴转动的角动量，等于刚体对该轴的刚体绕定轴转动的角动量，等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。转动惯量与角速度的乘积。注意：注意：当表述刚体的角动量时，必须指明是对哪一轴当表述刚体的角动量时，必须指明是对哪一轴的角动量。的角动量。由转动定律由转动定律:称为称为dt 时间内刚体所受合外力矩的时间内刚体所受合外力矩的冲量矩冲量矩.tMd 微分形式微分
29、形式结论：结论：刚体在某段刚体在某段时间内所受合外力矩的冲量矩等于该时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量段时间内刚体角动量的增量. . 积分形式积分形式注意：注意：角动量和合外力矩都是相对于同一轴而言的。角动量和合外力矩都是相对于同一轴而言的。 刚体所受合外力矩为零刚体所受合外力矩为零, 则则刚体的角动量保持不变刚体的角动量保持不变.说明：说明：1）角动量守恒既适用于刚体也适用于非刚体。角动量守恒既适用于刚体也适用于非刚体。 对于定轴转动的刚体来说，对于定轴转动的刚体来说，对于非刚体来说，对于非刚体来说，角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，
30、变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小2）角动量守恒既适用于宏观、低速领域也适用于微角动量守恒既适用于宏观、低速领域也适用于微观、高速领域。观、高速领域。3）当转动物体由几个刚体组成时当转动物体由几个刚体组成时，若整个系统所受，若整个系统所受合外力矩为零，则系统的合外力矩为零，则系统的角动量角动量守恒，即有守恒，即有 4 4）对由刚体和质点构
31、成的系统）对由刚体和质点构成的系统, , 若整个系统所受对若整个系统所受对同一转轴同一转轴的合外力矩为零的合外力矩为零, , 则整个物体系对该转轴的则整个物体系对该转轴的总角动量守恒总角动量守恒. .共轴系统的角动量守恒共轴系统若外则恒矢量轮、转台与人系统轮、转台与人系统轮人台初态全静人沿某一转向拨动轮子轮人台末态末态人台反人台反向转动向转动直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）守恒例题一A、B两轮共轴A以 A A、B以B同向同向转动两轮啮合后一起转动的角速度一起转动的角速度常矢量常矢量，LM0解：解：BAJJ
32、 BABBAAJJJJAAJBBJBABBAAJJJJ000BABBAAJJJJ讨论：讨论：假若两轮的转动方向相反，则假若两轮的转动方向相反，则= =？假设为假设为A正，则有：正，则有：停停止止角角动动量量等等值值反反向向、原原原原转转动动反反向向与与原原转转动动同同向向与与BAAA【例】【例】已知圆盘的已知圆盘的质量质量M、半径半径R、及、及初角速度初角速度0。子弹子弹m,以以v0射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。0vR0o对对M和和m组成的系统，角动量组成的系统，角动量守恒，有：守恒，有：02021MRmRv )21(2122020mRMRMRmRv解：解
33、：)21(22mRMR 【例】【例】一半径为一半径为R、转动惯量为、转动惯量为J的圆柱体可以绕水平固的圆柱体可以绕水平固定的中心轴定的中心轴o无摩擦地转动。起初圆柱体静止，一质量为无摩擦地转动。起初圆柱体静止，一质量为M的木块以速度的木块以速度v1在光滑平面上向右滑动，并擦过圆柱体在光滑平面上向右滑动，并擦过圆柱体上表面跃上另一同高度的光滑平面。设它和圆柱体脱离接上表面跃上另一同高度的光滑平面。设它和圆柱体脱离接触以前，它们之间无相对滑动，试求木块的最后速率触以前，它们之间无相对滑动，试求木块的最后速率v2 。M1v2vRo恒恒组组成成的的系系统统，角角动动量量守守解解：对对于于圆圆柱柱体体与
34、与木木块块RMv1Rv22121MRJvv解得解得RMvJ2 【例】【例】长为长为l，质量为，质量为M的匀质细杆，可绕过的匀质细杆，可绕过O的光滑水平轴转的光滑水平轴转动。起初杆竖直静止。一质量为动。起初杆竖直静止。一质量为m的的子弹子弹在杆的转动面内以在杆的转动面内以速度速度 垂直射向杆的垂直射向杆的A点，求下列情况下杆开始运动的角速点，求下列情况下杆开始运动的角速度及最大摆角。子弹留在杆内子弹以度及最大摆角。子弹留在杆内子弹以 射出。射出。解：子弹留在杆内解：子弹留在杆内 lmv430O43l4lA a)子弹入射杆过程子弹入射杆过程m、M为系统，角动量守恒，即为系统，角动量守恒，即lmgl
35、MglmMl432433121222b)上摆过程上摆过程 m、M、地地球球为系统，系统机械能守恒，有为系统，系统机械能守恒，有224331lmMlcos43cos2lmglMglmv4302312122lMgMla)子弹与杆作用过程子弹与杆作用过程以杆、子弹为系统，其角动量守恒以杆、子弹为系统，其角动量守恒b)杆上摆过程杆上摆过程以以M、地球为系统，其机械能守恒。、地球为系统，其机械能守恒。、解得：解得：glMvm220264271arccos子弹以子弹以 射出射出2433102vlmMlcos2lMgO43l4lA 用质点的运动描述（用质点的运动描述（ ） 用角量描述用角量描述 （、） 一、
36、一、 刚体的运动刚体的运动 小小 结结角量和线量的关系角量和线量的关系:2nra ，ra t，rv 平动：平动：定轴转动：定轴转动：二、二、 刚体的定轴转动定理刚体的定轴转动定理力矩：力矩：FrM大小大小:sinrFM 方向：由右手螺旋关系确定方向：由右手螺旋关系确定Fd转动定理：转动定理：iiirmJ2tJJMdd转动惯量：转动惯量：转动定理的应用（解决刚体动力学问转动定理的应用（解决刚体动力学问题）题）转动惯量的计算：转动惯量的计算：连续分布连续分布mrJd22222211nnrmrmrmJ 离散分布离散分布平行轴定理平行轴定理常见刚体过质心轴的转动惯量常见刚体过质心轴的转动惯量三、刚体定
37、轴转动中的功与能三、刚体定轴转动中的功与能2k21JE cmghE pddMA21dMAMtAPdd1k2k21222121d21EEJJMA常量222121mvJmghc 机械能守恒机械能守恒四、角动量、角动量守恒定律四、角动量、角动量守恒定律当当 时，时， 质点质点 刚体刚体回顾与对比回顾与对比动量定理动量定理PdtFtt0动量动量vmP动量守恒动量守恒0, 0PF角动量角动量角动量定理角动量定理质量质量m转动质量转动质量JJL LdtMtt0角动量守恒角动量守恒0, 0LM牛顿运动定律牛顿运动定律amF转动定律转动定律JM 动能动能221mvEk动能动能221JEk动能定理动能定理kbaErdFA动能定理动能定理kbaEdMA力力力矩力矩FM加速度加速度角加速度角加速度速度速度角速度角速度av
