1、3-1 动动 量量 矩矩3-2 动量矩定理动量矩定理3-3 刚体的定轴转动微分方程刚体的定轴转动微分方程3-4 相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理动动量量矩矩定定理理3-5 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程3-1 动量矩动量矩1.质点动量矩的计算质点动量矩的计算质点对点点的动量矩动量矩：质点对轴轴的动量矩 质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD面积的两倍，矢量从矩心O画出，其方位垂直于质点矢径r和动量mv所组成的平面，指向按右手规则确定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。)()(mvrmvMO)()()()()()()()()()
2、()()(xyzOzzxyOyyzxOxmvymvxmvMmvMmvxmvzmvMmvMmvzmvymvMmvM2.质点系动量矩的计算质点系动量矩的计算质点系对点的动量矩：质点系对轴的动量矩 质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一点O动量矩的矢量和，一般用Lo表示。 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。)()()(iizziiyyiixxvmMLvmMLvmMLLO = MO(mivi) =r mivi例例 已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕轴AB以匀角速度转动，求质点系对定点O
3、的动量矩。解解：DCCvlrvsin质点C对点O的动量矩为：sin)(2mllmvmvMCo方向垂直CD同样质点D对点O的动量矩为：sin)(2mlmvMo故有：sin22mlLo若考虑杆子的质量，则需要进行积分。Lo方向同上 设刚体以速度v平动，刚体内任一点A的矢径是 ri ,该点的质量为mi，速度大小是 vi 。LO = MO(mivi) = (miri )vC该质点对点O 的动量矩为 MO(mivi) = ri miviOriAmivi因为刚体平动 vi= v = vCLO = MO(mivi) = ri mivi又因为 (mi )rC = miri所以 LO = mi rC vC=rC
4、 mi vC3.平动刚体对固定点的动量矩平动刚体对固定点的动量矩4.定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 由动量矩定义得： 其中,Jz=miri2称为刚体对转轴的转动惯量。即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对于该轴的转动惯量与角速度乘积。 ziiiiiiiiiizzJrmrrmrvmvmML2)(只适用于定轴只适用于定轴, ,不是转轴及点都不成立不是转轴及点都不成立 常见刚体对轴的转动惯量常见刚体对轴的转动惯量2iizrmJ 2zzmJ在工程中，常将转动惯量表示为其物理意义：相当于将质量集中与一点， 该点距轴的距离为z径称为回转半径或惯性半z 刚体转动惯性的度量,是刚体内所
5、有各点的质量与其对该轴的转动半径的平方的乘积的总和。zJ影响影响转动惯量大小的因素转动惯量大小的因素 整个刚体质量的大小。整个刚体质量的大小。 刚体各部分的质量分布。刚体各部分的质量分布。 转轴的位置。转轴的位置。A 匀质细杆对匀质细杆对z轴的转动惯量：轴的转动惯量：dxdmlm ,单位长度质量为23222222121121mlldxxdmxJllllz/llz631212Cl/2l/2xdxxz简单形状匀质刚体的转动惯量简单形状匀质刚体的转动惯量2121mlJzB 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：202mRdmRJmzRz 2mRJzC 匀质薄圆板对于中心轴的
6、转动惯量：匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：2diiiAmr r2AmR式中式中：24022214122MRRrdrrdmrJRz221mRJzD 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：yxJJyx轴的转动惯量相等：与圆板对于22222)(iiiiizmymxyxmmrJzxyxzJJmRJJJ21,212即：E 转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理)(222iiiiizCyxmrmJ)(222iiiiizyxmrmJdyyxxiiii, 2)(2)(22222222iiiiiiiiiiiiizmdymdyxmddyyxmdyxmJ0Ciimyym2mdJJzCz转
7、动惯量的计算： （1）简单查表（2）规则形状组合叠加（3）形状复杂实验例例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对经过悬挂点O的水平轴的转动惯量。解解：)(21oooJJJ)2(1212121lmlm)2()2(212222ldmdm)83(3122221ldldmlm匀质曲杆OAB如图所示 。已知质量是m，求曲杆对通过杆端O并与曲杆面垂直的轴Oz的转动惯量。 解：ABOAzJJJ2)(31aabamJOAOCaAbB)4)()(121222babambbbbamJAB 设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标轴x，y，z的夹角用，
8、表示 。刚体对轴刚体对轴OL的转动惯量的转动惯量 2LmrJ222)()(OBOArL cos cos coszyxOB因因 ，故，故 2222) (zyxOA2Lr)(222zyx2) cos cos cos(zyxxzAOrLyBL由矢量投影定理得由矢量投影定理得 刚体对任意轴的转动惯量刚体对任意轴的转动惯量惯性积和惯性主轴惯性积和惯性主轴 A1coscoscos222222222222cos)(cos)(cos)(yxxzzycoscos2coscos2coscos2xyzxyz于是，刚体对轴于是，刚体对轴OL的转动惯量是的转动惯量是 2222cos)(zymmrJL222cos)(xz
9、m222cos)(yxmcoscos2yzmcoscos2zxmcoscos2xym（a）2Lr)(222zyx)coscos(cos2222)coscoscos(zyx2Lr)(222zyx2)coscoscos(zyx定义定义分别是刚体对轴分别是刚体对轴 x，y 和和 z 的的(1)(22zymJx)(22xzmJy)(22yxmJzzmyJyzzxmJzxmxyJxy(2)分别称为刚体对轴分别称为刚体对轴y和和z, ,对轴对轴z和和x以及对轴以及对轴x和和y的的惯性积可正、可负，也可等惯性积可正、可负，也可等于零（转动惯量永远是正）于零（转动惯量永远是正）。 2222cos)(zymmr
10、JL222cos)(xzm222cos)(yxmcoscos2yzmcoscos2zxmcoscos2xym（a）把式把式（1）和式和式（2）代入代入（a）式最后得式最后得coscos2coscos2coscos2 coscoscos222xyzxyzzyxJJJJJJJ刚体对任意轴的转动惯量适当地选择坐标系适当地选择坐标系Oxyz的方位，总可使刚体的两的方位，总可使刚体的两个惯性积同时等于零，例如个惯性积同时等于零，例如 Jyz=Jzx 。这时与这两个。这时与这两个惯性积同时相关的轴惯性积同时相关的轴Oz称为刚体在称为刚体在O处的处的刚体对惯性主轴的转动惯量刚体对惯性主轴的转动惯量称称。如如
11、果惯性主轴还通过刚体质心，则称为果惯性主轴还通过刚体质心，则称为对刚体的任一点对刚体的任一点O都可以有三个相互垂直的主轴。都可以有三个相互垂直的主轴。 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心C为原点，建立平动坐标系Cx y z, 质点系对固定点O的动量矩为CCCOmLvrLLC 质点系相对质心C的动量矩)(riiriCmvrLOAvxyzvCzyxCvCvrrCrr质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩计算公式的动量矩计算公式5. 平面运动刚体平面运动刚体对固定点对固定点O的动量矩的动量矩)()(iiriCiiiOmmvrrvrL 过固定点过固定点O建立固定坐标系建立固定坐标系Oxy
12、z，以质点系的质心，以质点系的质心C为为原点，取平动坐标系原点，取平动坐标系Cxy z , ,它以质心的速度它以质心的速度vC 运动。运动。质点系内任一质点质点系内任一质点A的绝对速度的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , ,则则质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩的动量矩)()()(riiriCiriiiCmm mvrvrvrOAvxyzvCzyxCvCvrrCrrricirrrricivvv0MrmrriicMrmriic动系动系定系定系质心的性质质心的性质iicvmMv0riivm)(riiriCiCmmvrvrCCiCmLvrLC 质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩
13、0)()(CvrvrriiCirimm0则上式可以写为则上式可以写为)()()(riiriCiriiiCOmm mLvrvrvrCiCiiCmmvrvr)(OAvxyzvCzyxCvCvrrCrrCCCOmLvrL只适用于质心只适用于质心那么LC如何求解？如图所示一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动,已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。11OOO OOmLLrv2132OmrL221mrJLOOrvO 思考题12O OOmmrrv解: OrvOO1y1O Orx行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m1的均质曲柄OA带动齿轮II在固定齿
14、轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。02212rrr CCCOmLvrL2221)(AAOJvmrrL2221)(rrrvOA 思考题OAPr1r2 2解: 长度为l，质量不计的杆OA与半径为R、质量为m的均质圆盘B在A处铰结，杆OA有角速度 ，轮B有相对杆OA的角速度（逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。OBACCCOmLvrLAAOLmvlLAAOJmllL22122mRmlLO)(22lRmLO 思考题解:若轮B有相对杆OA的角速度 。求圆盘对轴O的动量矩。AOmvlL2mlmllLOOBA解:匀质圆盘B平移OBA)21(22mlm
15、RLO若圆盘与杆固结1. 质点动量矩定理质点动量矩定理vrMmmvO)()( )()(FMFrvrvrMOOmdtdmdtdmvdtd)()(FMvMOOmdtd 质点对质点对固定点固定点的动量矩对时间的一阶导数等的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。于作用于质点上的力对同一点的力矩。A 对固定点3-2 动量矩定理动量矩定理)()(FxxMmvMdtd 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。 B 固定轴将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和对轴动量矩公式可得)()(FMvMOOmdtd)()(FyyMmvMdtd)()(Fz
16、zMmvMdtd质点对定点的动量矩定理在三个坐质点对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程不独立标轴的投影方程不独立质点在有心力作用下的运动质点在有心力作用下的运动 若质点在运动过程中始终只受到指向某固定点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动。 （行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属于这种情况。 力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。)()(FMvMOOmdtd 把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，设其质量为m，摆线长
17、l。又设在任一瞬时质点A具有速度v ，摆线OA与铅垂线的夹角是 。例 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。解： 取通过悬点取通过悬点O而垂直于运动平面的而垂直于运动平面的固定轴固定轴z，对此轴应用质点的动量矩，对此轴应用质点的动量矩定理定理)()(dd)e(izzMmMtFvOAmgFv lAtmlllmmvlmMzdd)()(2vsin)()e(mglMizFsin)dd(dd2mgltmlt0sindd22lgt2. 质点系动量矩定理质点系动量矩定理nimdtdeiiiOiiO,.,1)()()()(O)(FMFMvMnieiOnieiOniniiiOiiOmdtd1)(1)(
18、11)()()()()(FMFMFMvMn1iiiOOm)(vML 质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩等于外力系对同一点的主矩。A 对固定点质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系的所有力对于同一轴之矩的代数和。 B 固定轴将上式两边分别向坐标轴投影，zizzyiyyxixxMMtLMMtLMMtL)(dd)(dd)(dd)e()e()e(FFF质点系对定点的动量矩定理在三个质点系对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程独立坐标轴的投影方程独立1. 1. 如果如果MO (Fi（e) ) 0，则则LO = 常矢
19、量常矢量. .2. 2. 如果如果Mz (F（e）) 0，则则Lz = 常量。常量。对定点的动量矩定理对定轴的动量矩定理如作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定理.3. 质点系动量矩守恒定理质点系动量矩守恒定理RvmRvmLBBAAzRgmRgmMBAz)(ddRvmRvmtBBAA0RgmRgmBA初始静止初始静止 Lz0=00RvmRvmBBAABAvv 例题 如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边缘由静止开始相对盘以速度u行走，设人质量为m2，盘的质量为m1 ，盘半径r，摩擦不计。求盘的角速
20、度。 uABzrO 解：以人和盘为研究对象。rvmJLzz2,r eavvvvurv)(2urrmJLzz)21( 22212rmrmurmLz)(dd)e(izzMtLF初始静止初始静止 Lz0=0rummm122223-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程zzJL )F(zzMdtdL)F(zzMJdtd根据质点系动量矩定理有 绕定轴转动刚体的动量矩为：)(FMJzz转动定理)F(zzMJ 转动微分方程 例题 匀质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。OP 解：解：以整个系统为研究对象。以整个系统为研究对象。2121mR
21、JLOOvRgWmvRLO2vRgWmRLLLOOO22121OOMtLddaP = RWRRagWmRP221gWmWaP2vOPWaPFxmgFy思考思考： 图示三种情况下（同一圆轮），在该瞬时圆轮转动的角加速度是否相同？大小顺序？（a）是用不计重量的铁条将重为P P 的物块焊在圆轮上；（b）是用不计重量的绳索将重为P P 的物块悬挂在同一圆轮上；（c）是在与圆轮连接的不计重量的绳索上作用大小为P 的力。例题 两个鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO。鼓轮的半径是r1 和r2 。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2，且m1 m2 。试求鼓轮的角加速度。(a)OAB
22、r1r2 取系统为研究对象。对鼓轮的取系统为研究对象。对鼓轮的转轴转轴z( (垂直于图面垂直于图面) )应用动量矩应用动量矩定理定理 ddOzOzMtLOABr1r2y222111 rvmrvmJLOOz考虑到考虑到 v1 = r1 ，v2 = r2 ，)(222211rmrmJLOOzgrmrmMOz)(2211grmrmJrmrmtO2222112211dd方向为逆钟向。方向为逆钟向。(e)sinOMMmgRRmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRaRvmJLO解解: :Rvatvdd由由 , ,得得研究系统，受力分析如图，研究系统，受力分析如图，例已知：R,J,M,m, 小
23、车不计摩擦.系统初始静止.求:上升过程小车的加速度。例 提升机构如图所示，设启动时电动机的转矩M视为常量，大齿轮及卷筒对于轴AB的转动惯量为J2，小齿轮、联轴器及电动机转子对于轴CD的转动惯量为J1，被提升的重物重为P，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为R、r2及r1。略去摩擦及钢丝绳质量，开始静止,求重物上升的加速度。例题 已知电机产生的转矩MO 与其角速度 的关系为 MO =MO1(1/1)，其中MO1表示电机的启动转矩, 1表示电机无负载时的空转角速度,且MO1和1都是已知常量.作用在飞轮上的阻力矩MF可以认为不变。电机轴连同其上的飞轮对轴O的转动惯量是JO，试求当MO MF时电机启动后角
24、速度 随时间t而变化的规律。MFMO OmgFxFy111101)( )1 (ddOFOFOFOOMMMMMMMtJ电机的转动微分方程为电机的转动微分方程为cJMbJMMOOOFO111,令令cbtdd由题意由题意MO MF 知知，b c 0，故飞轮作加速转动。上式可分故飞轮作加速转动。上式可分离变量而化为求积，有离变量而化为求积，有t00ddtccbcctcb0)ln(ctebcbcbtddMFMO OmgFxFycJMbJMMOOOFO111,)1 (ctecb当当t时，上式括号内的第时，上式括号内的第二项趋近于零；这时飞轮将二项趋近于零；这时飞轮将以极限角速度以极限角速度转动，转动，11
25、1OFOMMMcb例题 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知复摆的质量是m，质心C到转轴O的距离为b，复摆对转轴O的转动惯量是JO，设摆动开始时OC与铅直线的偏角是0,且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。OC 0b解： 研究复摆研究复摆, ,在任意位置时受力在任意位置时受力分析，为便于计算，把轴承反分析，为便于计算，把轴承反力沿质心轨迹的切线和法线方力沿质心轨迹的切线和法线方向分解成两个分力向分解成两个分力F1和和F2。OC bF1F2mg zzMJ sindd22mgbtJOOC bF1F2mg 0sindd22OJmgbt当复摆作微摆动时，令当复摆作微摆动
26、时，令 sin , ,可得复摆微幅摆动的微分方程可得复摆微幅摆动的微分方程0OJmgb 复摆的微幅振动是简谐运动。复摆的微幅振动是简谐运动。考虑到复摆运动的初始条件：当考虑到复摆运动的初始条件：当t = 0时时0,0)cos(0tJmgbO)cos(0tJmgbO摆动的频率摆动的频率0和周期和周期T 分别是分别是mgbJkTJmgbOO22,0复摆运动规律为复摆运动规律为工程上常利用上式测定形状不规则刚体的转动惯量。工程上常利用上式测定形状不规则刚体的转动惯量。为此把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动频率为此把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动频率0和周期和周期T ，然后求得转动惯量然后求得转动惯
27、量224mgbTJOOC bF1F2mg 3-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 动量矩定理是相对于惯性坐标系中固定点固定点或固定轴固定轴而言的，并不适用于非惯性系的情况。 质点系相对质心相对质心时,其动量矩与力矩之间有什么样的关系? CmvrLLCCOvr质点系相对质心动量矩定理质点系相对质心动量矩定理rOCCCCCCCCdLdLddvdLmvrmrmadtdtdtdtdtCOCCLLrmv( )()MeOiiCiiCiiirFrrFrFrF ( )( )MeeCCCCRCdLrmarFdt( )MeCCdLdt质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，质点系相对于质心的动
28、量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。等于作用于质点系的外力对质心的主矩。CiCiriCMtMFFrL)()(dd)e()e(相对于质心轴的动量矩定理质点系相对于质心轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对该轴的主矩。ddCzCzMtL1. 1. 在以质心为原点的平动坐标系中，质点系对在以质心为原点的平动坐标系中，质点系对质心（或质心轴）的动量矩定理的形式与对定点质心（或质心轴）的动量矩定理的形式与对定点（或定轴）的动量矩定理的形式相同；（或定轴）的动量矩定理的形式相同；2. 2. 质点系相对于质心（或质心轴）的动量矩的改质点系相对于质心（或质心轴）的动量矩的改变，只与
29、质点系的外力有关，变，只与质点系的外力有关，即内力不能改变质点即内力不能改变质点系对质心（或质心轴）的动量矩。系对质心（或质心轴）的动量矩。刚体相对质心的动量矩定理刚体相对质心的动量矩定理)(eCCdtdML平面刚体相对质心的动量矩CiiiriiCJrmvmrL)(2)(eCCMJ)(22eCCMdtdJ刚体刚体相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理vir例题长度为l，质量为m1的均质杆OA与半径为R，质量为m2的均质圆盘B在A处铰接，铰链O，A均光滑。初始时，杆OA有偏角0 ，轮B有角速度0（逆时针向）。求系统在重力作用下的运动。OB1. 考虑圆盘考虑圆盘B ，受力如图所示，根据相对质，受
30、力如图所示，根据相对质心的动量矩定理心的动量矩定理0BBJ0B)(dd20llmJJtBBA sin sin221glmlgm2. 2. 考虑杆轮系统，受力如图所考虑杆轮系统，受力如图所示示, ,应用对固定点应用对固定点O的动量矩定理的动量矩定理 解：0 sin)21()31(2121gmmlmm LO = LC + rC pOBBB3. 3. 运动特性：圆盘的转动不运动特性：圆盘的转动不影响系统的摆动，而系统的摆影响系统的摆动，而系统的摆动也不影响圆盘的转动。动也不影响圆盘的转动。lgmmmm.626321210微幅振动时的运动规律为微幅振动时的运动规律为t00 cosBBOB?非耦合运动非
31、耦合运动!3-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程)()()(FMJFmaFmaCCeyCyexCx平面运动平面运动随质心平动随质心平动绕质心转动绕质心转动投影式投影式： etene()CtCnCCmaFmaFJMF ee()CCCmaFJMF 刚体平面运动动力学方程刚体平面运动动力学方程 2e22e2ddd()dCCCrmFtJMFt)()()(FMJFymFxmCCeyCexC 投影式投影式： 质心运动定理与刚体相对质心动量矩定理的结合完成了对刚体平面运动的完整描述. 当aC=0及=0时,变成了平面一般力系平衡方程. 建立了质点系的运动量(动量和动量矩)与力系的特征量(主矢和主矩)
32、之间的关系.刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程例例 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线轨道纯滚动。设轮的回转半径为C，作用于圆轮上的力矩为M，圆轮与地面间的静摩擦系数为f。求（1）轮心的加速度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）在不滑动的条件下力矩M的最大值。解解: :Car)(22rmMraCCCmaF mgN FmaCxmgNmaCy2CmMFr 欲使圆轮只滚动而不滑动（纯滚动）fNF fmgrMrC22rrfmgMC22)(22rmMraCCCmaF mgN xyO若在斜面上?xyOFNFmg aCmaC = mgsin F 0 = FNmgcos JC = F r aC = r
33、 FN = m g cos , sin32gaC, sin31mgF 求得圆柱滚动而不滑动的条件求得圆柱滚动而不滑动的条件tan 3 fs 讨 论若此条件不成立，如何分析？若此条件不成立，如何分析？即圆柱有滑动，故运动学关系即圆柱有滑动，故运动学关系aC = r不成立。不成立。则应用关系则应用关系F = FN fs 做为补充方程。做为补充方程。例例 均质细杆AB，长l，重P P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度(的函数)。cos2sin2lylxCC解解 以杆为研究对象，在任意位置的受力如图所示。其质心的
34、坐标为:sin2cos2cos2sin222 llyllxCC质心的加速度为：根据杆的平面运动微分方程ACXllgPXxm)cos2sin2(:2 即PYllgPYymBC)sin2cos2(:2 即cos2sin212:)F(2lXlYlgPMJABCC 即sin23lg dd dlgdsin2300sin23dlgd)cos1 (32lg联立上面3个微分方程,有: 若还要求解任一瞬时的角速度,则可进一步积分:已知鼓轮转动惯量为Jo,大小轮半径为r1,r2,悬挂重物质量分别为m1,m2 。求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。)(222211rmrmJLOO( )FOOdLMdt 221 12 2
35、1122()OJm rm rm grm gr1 12 2221 12 2Om rm rgJm rm r解：研究系统，受力分析如图，11vr22vRv2v1( 逆时针逆时针 ) 刚体系统平面运动动力学问题Xxm Yym 0OX1 12 212Om rm rYm gm gW0OXgrmrmJrmrmWgmmYOO2222112221121)()(v2v1例题例题起重装置由匀质起重装置由匀质鼓轮鼓轮D（半径为（半径为R，重，重为为 W1） 及 均 质 梁） 及 均 质 梁 A B（长（长l=4R，重，重W2=W1）组成，鼓轮通过电机组成，鼓轮通过电机C（质量不计）安装在梁（质量不计）安装在梁的中点，
36、被提升的重物的中点，被提升的重物E重重 。电机通电。电机通电后的驱动力矩为后的驱动力矩为M，求，求重物重物E上升的加速度上升的加速度a及及支座支座A，B的约束力的约束力FNA及及FNB。OBACDE1. 1. 求加速度求加速度a。WRMRgWJtD)(dd22121RgWJDRgWWRM1134gWWRMa1134解：解：考虑鼓轮考虑鼓轮D，重物，重物E及及与鼓轮固结的电机转子与鼓轮固结的电机转子所组成的系统，所组成的系统，M为电机为电机定子作用在转子的驱动定子作用在转子的驱动力矩，对固定点力矩，对固定点O应用动应用动量矩定理得量矩定理得OBACDEOODEFOxFOy2.2.考虑整个系统，注
37、意考虑整个系统，注意驱动力矩驱动力矩M为系统内力。为系统内力。对点对点O应用动量矩定理得应用动量矩定理得2)(-)(ddNN2lFFWRRgWJtABDOABACDERMWFA1212131N应用质心运动定理得应用质心运动定理得WWWFFRgWBA21NNgWWRMa1134RMWF12512131NBCBA长为l的均质杆AB通过铰链与滑块A连接，滑块A沿倾角为 的斜面滑动。杆的质量为mc，滑块质量为mA，所有摩擦略去不计，系统自图示静止位置释放，求此时杆的质心C点的加速度。AmA AgFNaAFAyFAxcossinsinAAAxAyAm aFFm g0cossincosAyAxANFFm
38、gFX1研究滑块A初瞬时：0,CAcAaaacoscxAcAaaaxsin , 2cyAcAlaaa ccxAxm aFg ccxyAycm aFm211 122cAxmlFlAmA AgFNaAFAyFAxCBAmc cgacAtaAF AyF Ax研究杆AB本章小结本章小结1动量矩的计算动量矩的计算niniiiiiOOmm11ivrvML)(CvrLLmCCO2质点系动量矩定理质点系动量矩定理)(eOOdtdML平动刚体对固定点的动量矩平动刚体对固定点的动量矩LO = mi rC vC=rC mi vC定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩zzJL 平面运动刚体对固定点平面运动刚体对固定点O的动量矩的动量矩3刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程)(FzzMdtdJ224质点系相对质心动量矩定理质点系相对质心动量矩定理)(eCCdtdML5刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程)(FCCyCxCMJFymFxm
