1、3.1.2空间向量的数乘运算问题问题引航引航1.1.空间向量的数乘运算是如何定义的空间向量的数乘运算是如何定义的? ?它满足哪些运它满足哪些运算律算律? ?2.2.共线向量与共面向量的充要条件分别是什么共线向量与共面向量的充要条件分别是什么? ?3.3.实数与向量的乘积是向量吗实数与向量的乘积是向量吗? ?1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算(1)(1)数乘运算数乘运算: :结果结果实数实数与空间向量与空间向量a的乘积是一个的乘积是一个_的范围的范围方向关系方向关系模的关系模的关系00方向方向_a的模是的模是a的模的的模的_=0=0a= =0, ,其方向是任意的其方向是任意的00方向方向_相同
2、相同相反相反|倍倍向量向量(2)(2)运算律运算律: :分配律分配律:(:(a+ +b)=_;)=_;结合律结合律:(:(a)=_.)=_.a+b()()a2.2.平行平行( (共线共线) )向量向量: :平行平行( (共线共线) )向量向量共面向量共面向量定定义义位置位置关系关系表示空间向量的有向线段表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系所在的直线的位置关系: :_平行于同一个平行于同一个_的向量的向量特征特征方向方向_充充要要条条件件对空间任意两个向量对空间任意两个向量a, ,b( (b0),),ab的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数,使使_向量向量p与不共线向与不共线向量量a,
3、 ,b共面的充要共面的充要条件是存在条件是存在_的有序实数对的有序实数对(x,y)(x,y)使使_互相平行或重合互相平行或重合相同或相反相同或相反平面平面a=b惟一惟一p=x=xa+y+yb平行平行( (共线共线) )向量向量共面向量共面向量推推论论对空间任意一点对空间任意一点O,O,点点P P在直线在直线l上上的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数t t满足等满足等式式_,_,向量向量a为直线为直线l的的_或在直线或在直线l取向量取向量= =a, ,则则 =_=_点点P P位于平面位于平面ABCABC内内的充要条件是存在的充要条件是存在有序实数对有序实数对(x,y),(x,y),使使 =_
4、=_或对空间任意一点或对空间任意一点O,O,有有 = =_OPOAt a方向向量方向向量OP AB OAtAB AP xAByAC OAxAByAC OP 1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”, ,错误的打错误的打“”) )(1)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算实数与向量之间可进行加法、减法运算.(.() )(2)(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线, ,则这则这两个向量不是共面向量两个向量不是共面向量.(.() )(3)(3)如果如果 则则P,A,BP,A,B共线共线.(.() )(4)(4)空间中任意三个向量一定是共面
5、向量空间中任意三个向量一定是共面向量.(.() )OP OAtAB ，【解析解析】(1)(1)错误错误, ,实数与向量相加没有意义实数与向量相加没有意义, ,如如3+3+a不能确定不能确定该式子是实数还是向量该式子是实数还是向量. .(2)(2)错误错误, ,由共面向量的定义知空间中任意两个向量都是共面向由共面向量的定义知空间中任意两个向量都是共面向量量, ,故此种说法错误故此种说法错误. .(3)(3)正确正确, ,能判定能判定P,A,BP,A,B共线共线. .因为原式可化为因为原式可化为: : 由共线由共线向量的充要条件可知向量的充要条件可知,P,A,B,P,A,B共线共线. .APtAB
6、 ，(4)(4)错误错误, ,空间中的任意三个向量不一定是共空间中的任意三个向量不一定是共面向量面向量. .例如例如, ,对于空间四边形对于空间四边形ABCD,ABCD,这三个向量就不是共面向量这三个向量就不是共面向量. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)ABAC AD ， ，2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)若若| |a|=5,|=5,b与与a的方向相反的方向相反, ,且且| |b|=7,|=7,则则a= =b. .(2)(2)已知已知b=-5=-5a(|(|a|=2),|=2),向量向量b的长度为的长度
7、为, ,向量向量b的方的方向与向量向与向量a的方向的方向. .(3)(3)已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , ,若若 则则x=x=,y=,y=. .1111A EA C4 ，1AExAAy(AB AD) ，【解析解析】(1)(1)b与与a的方向相反的方向相反, ,所以所以a=b且实数且实数0,0,由由| |a|=|=|b|,|,所以所以 故故= = 答案答案: : (2)(2)因为因为| |a|=2,|=2,又又b=-5=-5a, ,所以向量所以向量b的长度为的长度为10,10,又因为又因为-50,-51|1时时),),也可以缩小也
8、可以缩小( (当当|1|00时时),),也可以改变也可以改变( (当当00时时).).【即时练即时练】化简化简 ( (a2 2b3 3c) ) 3(3(a2 2bc) )_._.【解析解析】原式原式 3 3a6 6b3 3c答案：答案： 122125()323abc131051022323 abcabc597.626abc597626abc知识点知识点2 2 共线向量共线向量1.1.对空间共线向量的两点说明对空间共线向量的两点说明(1)(1)类比理解类比理解: :空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样, ,平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立平面
9、共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立. .(2)(2)共线的理解共线的理解:“:“共线共线”这个概念具有自反性这个概念具有自反性, ,也具有对称性也具有对称性, ,即若即若ab, ,则则ba. .2.2.共线向量充要条件的三个关注点共线向量充要条件的三个关注点(1)(1)区别区别: :共线向量与直线平行的区别共线向量与直线平行的区别, ,直线平行不包括两直线直线平行不包括两直线重合的情况重合的情况, ,而我们说的两个共线向量而我们说的两个共线向量ab, ,表示向量表示向量a, ,b的有的有向线段所在直线既可以是同一直线向线段所在直线既可以是同一直线, ,也可以是两条平行直线也可以是两条平行直
10、线. .(2)(2)零向量零向量: :共线向量的充要条件及其推论是证明共线共线向量的充要条件及其推论是证明共线( (平行平行) )问问题的重要依据题的重要依据, ,条件条件b0不可遗漏不可遗漏. .(3)(3)方向向量的个数方向向量的个数: :直线的方向向量是指与直线平行或共线的直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量向量. .一条直线的方向向量有无限多个一条直线的方向向量有无限多个, ,它们的方向相同或相反它们的方向相同或相反. .3 3三点三点P P，A A，B B共线的三种充要条件共线的三种充要条件(1)(1)存在实数存在实数t t，使得，使得 即即(2)(2)存在实数存在实数t t，使
11、得，使得(3)(3)存在有序实数对存在有序实数对(x(x，y)y)，使得，使得 ( (其中其中x+y=1).x+y=1).APtAB ，APAB. OPOAtAB. OPxOAyOB 【知识拓展知识拓展】共线向量定理推论的证明共线向量定理推论的证明推论推论: :如果如果l为经过已知点为经过已知点A,A,且平行于已且平行于已知向量知向量a的直线的直线, ,那么对空间任一点那么对空间任一点O,O,点点P P在在直线直线l上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式 OPOAtAB. 证明：因为证明：因为la，所以对于所以对于l上任意一点上任意一点P P，存在惟一的实数，存在
12、惟一的实数t t，使得，使得 =t=ta.(.(* *) ) 又因为对于空间任意一点又因为对于空间任意一点O O，有有所以所以 若在若在l上取上取AB=AB=a，则有，则有 ( (* * *) )又因为又因为所以所以 AP APOPOA ，OPOAtOPOAt . ，aaOPOAtAB. ABOBOA ，OPOAt OBOA1t OAtOB. 当当t= t= 时，时， 注：其中向量注：其中向量a叫做直线叫做直线l的方向向量的方向向量. .和都叫空间直线的向量表示式，是线段和都叫空间直线的向量表示式，是线段ABAB的中点向量的中点向量公式公式121OPOAOB2 【微思考微思考】(1)(1)若空
13、间中两向量共线若空间中两向量共线, ,则它们的方向有什么关系则它们的方向有什么关系? ?提示提示: :两向量共线两向量共线, ,则它们的方向相同或相反则它们的方向相同或相反. .(2)(2)在两向量共线的充要条件中在两向量共线的充要条件中, ,为什么要求为什么要求b0? ?提示提示: :由于我们已经规定了由于我们已经规定了0与任意向量平行与任意向量平行, ,所以当所以当b= =0时时, ,a与与b是共线向量是共线向量, ,可如果可如果a0, ,就不可能存在实数就不可能存在实数,使使a=b成立成立. .【即时练即时练】给出下列几个命题给出下列几个命题: :若若a与与b共线共线, ,b与与c共线共
14、线, ,则则a与与c共线共线; ;零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的; ;若若ab, ,则存在惟一的实数则存在惟一的实数,使使a=b. .其中真命题的个数为其中真命题的个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选B.B.错误错误, ,若若b= =0, ,则则a, ,b共线共线, ,b, ,c共线共线, ,但但a, ,c未必共未必共线线; ;正确正确. .这是关于零向量的方向的规定这是关于零向量的方向的规定; ;错误错误. .若若b= =0, ,则有则有无数多个无数多个使之成立使之成立. .知识点知识点3 3 共面向量共面向量1.1.对共面向量的两点说
15、明对共面向量的两点说明(1)(1)共面的理解共面的理解: :共面向量是指与同一个平面平行的向量共面向量是指与同一个平面平行的向量, ,可将可将共面向量平移到同一个平面内共面向量平移到同一个平面内. .(2)(2)向量的向量的“自由性自由性”: :空间任意的两向量都是共面的空间任意的两向量都是共面的. .只要方只要方向相同向相同, ,大小相等的向量就是同一向量大小相等的向量就是同一向量, ,只要能平移到同一平面只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量上的向量都是共面向量. .2.2.对共面向量充要条件的两点说明对共面向量充要条件的两点说明: :(1)(1)表示式表示式: :共面向量的充要条件给出
16、了平面的向量表示式共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式, ,说说明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示明空间中任意一个平面都可以由两个不共线的平面向量表示出来出来. .(2)(2)正反两角度正反两角度: :空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充分必要条件是存内的充分必要条件是存在有序实数对在有序实数对(x,y),(x,y),使使 满足这个关系式的点满足这个关系式的点P P都在平面都在平面MABMAB内内; ;反之反之, ,平面平面MABMAB内的任一点内的任一点P P都满足这个关系式都满足这个关系式. .MPxMAyMB. 【微思考微思考】(1)(1)共面向
17、量与直线与平面平行的定义是否一样共面向量与直线与平面平行的定义是否一样? ?提示提示: :共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内, ,它与直线和平它与直线和平面平行是不同的面平行是不同的. .(2)(2)在三个向量共面的充要条件中在三个向量共面的充要条件中, ,若两向量若两向量a, ,b共线共线, ,那么结论那么结论是否还成立是否还成立? ?提示提示: :不成立不成立. .因为当因为当p与与a, ,b都共线时都共线时, ,存在不惟一的实数对存在不惟一的实数对
18、(x,y)(x,y)使使p=x=xa+y+yb成立成立. .当当p与与a, ,b不共线时不共线时, ,不存在实数对不存在实数对(x,y)(x,y)使使p=x=xa+y+yb成立成立. .【即时练即时练】以下命题以下命题: :若若a, ,b所在直线是异面直线所在直线是异面直线, ,则则a与与b一定不共面一定不共面; ;若若a, ,b, ,c三向量两两共面三向量两两共面, ,则则a, ,b, ,c三向量一定也共面三向量一定也共面; ;若若a, ,b, ,c三向量共面三向量共面, ,则由则由a, ,b所在直线确定的平面与由所在直线确定的平面与由b, ,c所所在直线确定的平面一定平行或重合在直线确定的
19、平面一定平行或重合. .其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为( () )A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个D.3D.3个个【解析解析】选选A.A.错错. .由于向量是可以自由平移的由于向量是可以自由平移的, ,所以空间任意所以空间任意两个向量一定共面两个向量一定共面; ;错错. .从正方体一顶点引出的三条棱作为三从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量个向量, ,虽然是两两共面虽然是两两共面, ,但这三个向量不共面但这三个向量不共面, ,三个向量共面三个向量共面时时, ,它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行; ;错错. .首先首先a,
20、 ,b所在直线不一定能确定平面所在直线不一定能确定平面, ,其次在平行六面体其次在平行六面体ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, , 三向量共面三向量共面, ,然而平面然而平面ABCDABCD与平面与平面ABBABB1 1A A1 1相交相交. .11ABA B DC ，【题型示范题型示范】类型一类型一 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014上海高二检测上海高二检测) )已知正方体已知正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中, ,点点E E是是ACAC的中点的中点, ,点点F F是是AEAE的三等分点的
21、三等分点, ,且且AF= EF,AF= EF,则则 等于等于 ( () )12AF 11A.AAABAD22111B.AAABAD222111C.AAABAD266111D. AAABAD366 (2)(2)已知已知ABCDABCD为正方形，为正方形，P P是是ABCDABCD所在平面外一点，所在平面外一点，P P在平面在平面ABCDABCD上的射影恰好是正方形上的射影恰好是正方形ABCDABCD的中心的中心O O，Q Q是是CDCD的中点，的中点，若求式中若求式中x x，y y的值的值. .OQ PQ xPC yPA ，【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中向量如何用向量中向量如何用
22、向量 与向量与向量表示？表示？ 与与 关系如何？关系如何？2.2.题题(2)(2)中中 你能确定哪些与向量你能确定哪些与向量 有关的三角形？有关的三角形？【探究提示探究提示】1.1.利用平行四边形法则利用平行四边形法则与与 可利用线段间的长度比例关系建立联系可利用线段间的长度比例关系建立联系2.2.解答本题需准确画图，有关的三角形是解答本题需准确画图，有关的三角形是POQPOQ，可得，可得 对于对于PACPAC可得可得AE AA ACAE AF OQPQxPCyPA ，OQ PQ ， ，PC PA ，1AEAAACAF2 ，AE 1AFAE.3 OQPQPO ，1POPAPC2 【自主解答自主
23、解答】(1)(1)选选D.D.由条件由条件AFAF EFEF得得EFEF2AF2AF，所以所以AE=AF+EF=3AF,AE=AF+EF=3AF,所以所以12111AFAE(AAAC )332 1111AAAAACAAAAABAD3232111AAABAD.366 (2)(2)如图，如图，因为因为所以所以x xy y1OQ PQ PO PQ(PA PC)2 11PQPAPC22 ，1.2【延伸探究延伸探究】在题在题(2)(2)条件不变的情况下，若条件不变的情况下，若 求求x x，y y的值的值. .【解析解析】因为因为O O为为ACAC的中点，的中点，Q Q为为CDCD的中点，的中点，所以所以
24、所以所以从而有从而有所以所以x x2 2，y y2.2.PAxPO yPQ PD. PA PC 2PO PC PD 2PQ ， ，PA 2PO PC PC 2PQ PD. ， PA 2PO2PQ PD2PO 2PQ PD. 【方法技巧方法技巧】利用数乘运算进行向量表示的技巧利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙逆用中点坐明确目标：在化简过
25、程中要有目标意识，巧妙逆用中点坐标公式标公式【变式训练变式训练】已知矩形已知矩形ABCDABCD，P P为平面为平面ABCDABCD外一点，外一点，M M，N N分别分别为为BCBC，PDPD的中点，求满足的中点，求满足 的实数的实数x x，y y，z z的值的值. . MNxAB yAD zAP 【解析解析】所以所以x x1 1，y y0 0，z z11MN MC CD DNBC BADP22 111AD ABAP ADABAP222 ，1.2【补偿训练补偿训练】(2014(2014石家庄高二检测石家庄高二检测) )已知点已知点G G是是ABCABC的重的重心，心，O O是空间任意一点，若是
26、空间任意一点，若 求求的值的值【解题指南解题指南】构造与向量构造与向量 有关的三角形、平行四有关的三角形、平行四边形，利用向量加法、减法的运算法则及数乘运算求解边形，利用向量加法、减法的运算法则及数乘运算求解. .OA OB OCOG ，OA OBOC ， ，【解析解析】连接连接CGCG并延长交并延长交ABAB于于D D，则则D D为为ABAB中点，且中点，且CGCG2GD2GD，连接，连接AGAG，BG.BG.所以所以所以所以3.3.OA OB OC OG GA OG GB OG GC3OG GA GB GC3OG 2GD GC3OG GC GC 3OG ，类型二类型二 共线向量共线向量【典
27、例典例2 2】(1)(2014(1)(2014广州高二检测广州高二检测) )已知空间向量已知空间向量a, ,b且且 = =a+2+2b, =, =-5-5a+6+6b,=7,=7a-2-2b, ,则一定共线的三点是则一定共线的三点是( () )A.A,B,DA.A,B,DB.A,B,CB.A,B,CC.B,C,DC.B,C,DD.A,C,DD.A,C,DAB BC (2)(2)如图所示如图所示, ,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E在在A A1 1D D1 1上上, ,且且F F在对角线在对角线A A1 1C C上上, ,且且 求证求
28、证:E,F,B:E,F,B三点共线三点共线. .11A E 2ED ，12A FFC.3【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中 用向量用向量a，b如何表示？如何表示？2.2.题题(2)(2)中的向量中的向量 与与 分别用向量分别用向量 表示，表示，其结果是什么样的？其结果是什么样的？【探究提示探究提示】1. =21. =2a4 4b. .EFEB 1ABAD AA ， ，BD 112422.EFABADAA .51552EBABAD AA .3 BD 【自主解答自主解答】(1)(1)选选A. A. ( (5 5a6 6b) )(7(7a2 2b) )2 2a4 4b所以所以A A，B
29、 B，D D三点共线三点共线(2)(2)设设因为因为所以所以所以所以BD BC CD 2AB ，1ABADAA. ， ，abc1112A E 2ED A FFC3 ， ，1111122A EA D A FA C.35 ， 122A EAD33 ，b11122A FAC AA(AB AD AA )55222.555 abc所以所以又又所以所以 所以所以E E，F F，B B三点共线三点共线11EF A F A E 24222()515553 ，abcabc112EB EAA A AB3 bca23 ，abc2EFEB5 ，【方法技巧方法技巧】1.1.判断向量共线的策略判断向量共线的策略(1)(1
30、)熟记共线向量充要条件：熟记共线向量充要条件：ab，b0，则存在惟一实数，则存在惟一实数使使ab；若存在惟一实数；若存在惟一实数，使，使ab，则，则ab. .(2)(2)判断向量共线的关键：找到实数判断向量共线的关键：找到实数.2.2.三点共线与直线平行的判断三点共线与直线平行的判断(1)(1)线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量线线平行：证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a，b平行，还要证明直线上有一点不在另一条直线上平行，还要证明直线上有一点不在另一条直线上. .(2)(2)三点共线：证明三点三点共线：证明三点A A，B B，C C共线，只需证明存在实数共线，只需证明存在实
31、数，使使 或或 即可即可ABBC ABAC 【变式训练变式训练】如图所示如图所示, ,已知四边形已知四边形ABCD,ABEFABCD,ABEF都是平行四边形都是平行四边形且不共面且不共面,M,N,M,N分别是分别是AC,BFAC,BF的中点的中点, ,判断判断 与与 是否共线是否共线. .CE MN 【解析解析】因为因为M M，N N分别是分别是ACAC，BFBF的中点，的中点，四边形四边形ABCDABCD，ABEFABEF都是平行四边形，都是平行四边形，所以所以所以所以 即即 与与 共线共线MN MC CB BN 11AC CBBF2211BC BACB(BA BE)2211BC CBBE2
32、211CB BECE22 ，CEMN ，CE MN 【补偿训练补偿训练】已知已知A A，B B，C C三点共线，则对空间任一点三点共线，则对空间任一点O O，存在，存在三个不为三个不为0 0的实数的实数，m m，n n，使，使 0，那么，那么m mn n的值为的值为_OAmOB nOC 【解析解析】因为因为A A，B B，C C三点共线，所以存在惟一实数三点共线，所以存在惟一实数k k使使 即即所以所以(k(k1) 1) 0，又又令令k k1 1，m m1 1，n nk k，则则m mn n0.0.答案：答案：0 0AB kAC ，OB OAk OC OA ，OA OB kOC OAmOB n
33、OC ，0类型三类型三 共面向量共面向量【典例典例3 3】(1)(1)已知已知A A，B B，C C三点不共线，三点不共线，O O是平面是平面ABCABC外任一点，若由外任一点，若由 确定的一点确定的一点P P与与A A，B B，C C三点共面，三点共面，则则_._.12OPOAOBOC53 (2)(2)在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,M为为DDDD1 1的中点的中点,N,N在在ACAC上上, ,且且ANNC=21,ANNC=21,求证求证: : 与与 共面共面. .1A N 11A BA M ，【解题探究解题探究】1.1.空间一点空
34、间一点P P在平面在平面ABCABC内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数组序实数组(x(x，y y，z)z)，使得，使得 其中其中x+y+zx+y+z的结果是多少？的结果是多少？2.2.题题(2)(2)中要证明中要证明 与与 共面，这三个向量需建立的共面，这三个向量需建立的关系式是什么样的？关系式是什么样的？OPxOAyOBzOC ，1A N 11A BA M ，【探究提示探究提示】1.1.结果为结果为1.1.2.2.要证明要证明 与与 共面，需用其中两个向量表示另一个共面，需用其中两个向量表示另一个向量向量. .【自主解答自主解答】(1)(1)由由P P与与A A，B B，C C三
35、点共面，所以三点共面，所以 1 1，解得解得答案：答案： 1A N 11A BA M ，12532.15215所以所以所以所以 与与 共面共面 11111112 A B AB AA A M A DD M122ADAA ANACAB AD233 ， 1112A N AN AAAB ADAA3 111122122AB AA(ADAA )A BA M.33233 1A N 11A BA M ，【方法技巧方法技巧】1.1.四点共面的证明及应用四点共面的证明及应用(1)(1)利用共面向量的充要条件：空间一点利用共面向量的充要条件：空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充分必要条件是存在有序
36、实数对分必要条件是存在有序实数对(x(x，y)y)，使，使满足这个关系式的点满足这个关系式的点P P都在平面都在平面MABMAB内；反之，平面内；反之，平面MABMAB内的任内的任一点一点P P都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面MPxMAyMB. (2)(2)求参数：向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形求参数：向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值的充要条件，不仅会正用，也
37、要能够逆用它求参数的值2.2.证明空间向量共面的两种方法证明空间向量共面的两种方法(1)(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若的线性组合，即若p=x=xa+y+yb，则向量，则向量p，a，b共面共面. .(2)(2)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行. .【变式训练变式训练】对于空间任一点对于空间任一点O O和不共线的三点和不共线的三点A A，B B，C C，有，有 则则x xy yz z1 1是是P P，A A，B B，C C四点共面四点共面的
38、的( )( )A A必要不充分条件必要不充分条件 B B充分不必要条件充分不必要条件C C充要条件充要条件 D D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件OPxOAyOB zOC ，【解题指南解题指南】先确定哪一部分是条件，哪一部分是结论，再先确定哪一部分是条件，哪一部分是结论，再从两个方面证明看是否成立从两个方面证明看是否成立. .【解析解析】选选B.B.若若x xy yz z1 1，则，则即即 由共面向量充要条件可知向量由共面向量充要条件可知向量共面，所以共面，所以P P，A A，B B，C C四点共面；反之，若四点共面；反之，若P P，A A，B B，C C四点四点共面，当共面，当O O
39、与四个点中的一个与四个点中的一个( (比如比如A A点点) )重合时，重合时， 0，x x可可取任意值，不一定有取任意值，不一定有x xy yz z1.1.OP1 yz OAyOB zOC ，APyAB zAC ，AP ABAC ， ，OA【补偿训练补偿训练】A A，B B，C C不共线，对空间任意一点不共线，对空间任意一点O O，若，若 则则P P，A A，B B，C C四点四点( )( )A A不共面不共面 B B共面共面C C不一定共面不一定共面 D D无法判断是否共面无法判断是否共面311OPOAOBOC488 ，【解析解析】选选B. B. 所以所以所以所以由共面的充要条件知由共面的充
40、要条件知P P，A A，B B，C C四点共面四点共面311OPOAOBOC488 311OAOA AB(OA AC)48811OAABAC88 ，11OP OAABAC88 ，11APABAC.88 【巧思妙解巧思妙解】巧用共面向量的充要条件证明共面巧用共面向量的充要条件证明共面( (线面平行线面平行) ) 【典例典例】已知已知E,F,G,HE,F,G,H分别是空间四边形分别是空间四边形ABCDABCD的边的边AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA的中点的中点. .(1)(1)证明证明E,F,G,HE,F,G,H四点共面四点共面. .(2)(2)证明证明BDBD平面平面EFGH.EFG
41、H.【教你审题教你审题】【常规解法常规解法】(1)(1)又又所以所以 所以四点所以四点E E，F F，G G，H H共面共面. .(2)(2)因为因为所以所以EHBD.EHBD.又又EHEH平面平面EFGHEFGH，BDBD 平面平面EFGHEFGH，所以所以BDBD平面平面EFGH.EFGH. 111EH AH AEADABBD222 ，111FGCG CFCDCBBD222 ，111EH AH AEADABBD222 ，EH FG ，【巧妙解法巧妙解法】连接连接EGEG，BG.BG.(1)(1)因为因为 由向量共面的充要条件知：由向量共面的充要条件知：E E，F F，G G，H H四点共面
42、四点共面(2)(2)因为因为又又 不共线，所以不共线，所以 与与 共面共面又又BDBD 平面平面EFGHEFGH，所以，所以BDBD平面平面EFGH.EFGH.1EG EB BG EB(BC BD)2 EB BF EH EF EH ，BD BA AD 2EA 2AH 2EH 2 EG GH2EG 2GH ，BD EG GH ，EG GH ，【方法对比方法对比】 常规解法切入点简单，但步骤较多，稍有疏忽，则会导致常规解法切入点简单，但步骤较多，稍有疏忽，则会导致错误；巧妙解法则是直接利用共面向量的充要条件，减少了步错误；巧妙解法则是直接利用共面向量的充要条件，减少了步骤，思路清晰骤，思路清晰.
43、.【教你一招教你一招】P P，A A，B B，C C四点共面的四种充要条件四点共面的四种充要条件(1)(1)存在有序实数对存在有序实数对(x(x，y)y)，使得，使得(2)(2)对于空间任意一定点对于空间任意一定点O O，有，有(3)(3)空间一点空间一点P P在平面在平面ABCABC内的充要条件是存在有序实数组内的充要条件是存在有序实数组(x(x，y y，z)z)使得使得 ( (其中其中x+y+z=1).x+y+z=1).(4) (4) 本例的巧妙解法即是利用了第一种本例的巧妙解法即是利用了第一种. .APxAByAC. OPOAxAByAC OPxOAyOBzOC PABC. 【类题试解类
44、题试解】如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别为分别为BBBB1 1和和A A1 1D D1 1的中点的中点. .证明证明: :向量向量 是共面向量是共面向量. .11A BB C EF ， ，【常规解法常规解法】连接连接A A1 1D,BD,D,BD,取取A A1 1D D中点中点G,G,连接连接FG,BG,FG,BG,则有则有FGDDFGDD1 1,FG= DD,FG= DD1 1, ,又又BEDDBEDD1 1,BE= DD,BE= DD1 1, ,所以所以FGBE.FGBE.所以四边形所以四边形BEFGBEF
45、G为平行四边形为平行四边形. .所以所以EFBG.EFBG.又又EFEF 平面平面A A1 1BD,BGBD,BG平面平面A A1 1BD,BD,所以所以EFEF平面平面A A1 1BD.BD.同理同理,B,B1 1CACA1 1D,D,所以所以B B1 1CC平面平面A A1 1BD,BD,所以所以 都与平面都与平面A A1 1BDBD平行平行. .所以所以 共面共面. .121211A BB C EF ， ，11A BB C EF ， ，【巧妙解法巧妙解法】 由向量共面的充要条件知，由向量共面的充要条件知， 是共面向量是共面向量. .11111111EF EB BAA FB B A BA D22 111111B B BCA BB C A B.22 11A BB C EF ， ，有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。
