1、计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO1主要内容：主要内容：10.1 电路优化设计概述电路优化设计概述 10.2 目标函数目标函数10.3 单变量函数优化单变量函数优化 10.4 多变量函数优化多变量函数优化10.5 有约束优化方法有约束优化方法 10.6 统计优化方法统计优化方法10.7 模拟退火法模拟退火法第第10章章 电路的优化设计方法电路的优化设计方法计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO210.1 电路优化设计概述电路优化设计概述l 电路的优化设计方法，应包括以下两方面：电路的优化设计方法，应包括以下两方面：A. 自动设计电路的拓扑结构自动设计电路
2、的拓扑结构;B. 自动确定电路的元器件参数。自动确定电路的元器件参数。l 利用利用CAD技术进行电路优化设计的过程：技术进行电路优化设计的过程：给定电路拓扑结构和元件参数初值建立优化目标函数对电路性能进行分析用优化算法求目标函数的最小值满足误差要求否？输出优化结果调整元器件参数图图10.1.1 电路优化设计框图电路优化设计框图计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO3 kjPhliPgPFii, 2 , 10, 2 , 10min10.1 电路优化设计概述电路优化设计概述l 最优化设计方法的数学描述最优化设计方法的数学描述:F(P):目标函数目标函数，越小说明设计越好，越小说明
3、设计越好P=(p1,p2,pm)T ：元件参数向量：元件参数向量不等式约束和等式约束条件不等式约束和等式约束条件计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO410.2 目标函数目标函数l 目标函数目标函数 由电路特性的误差函数组成，是电路实际特性与设计要求特由电路特性的误差函数组成，是电路实际特性与设计要求特性之间误差的量度，是评价电路设计好坏的定量指标。优化性之间误差的量度，是评价电路设计好坏的定量指标。优化设计就是求目标函数的极小值。设计就是求目标函数的极小值。1. 目标函数的表达式目标函数的表达式不可能给出目标函数的统一表示形式，只能针对具体不同的不可能给出目标函数的统一表示
4、形式，只能针对具体不同的电路设计问题，给出不同的描述方式。电路设计问题，给出不同的描述方式。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO5例子（例子（1）电路频响特性优化设计的目标函数）电路频响特性优化设计的目标函数 kmikiiiPTPTWPF11,理想特性理想特性实际响应特性实际响应特性目标函数个元件参量表明有数向量，待优化的电路元器件参npppPPTn,21率采样值频率，通常是离散的频电路的频率响应特性应特性设计要求的理想频率响频率的加权函数频率采样点数 k1误差函数的指数，频响特性越复杂频点数应越多频响特性越复杂频点数应越多k大则误差大则误差函数中数值函数中数值大的分量权大
5、的分量权重自动加大重自动加大通常通常k =2防止溢出防止溢出W(i)是个正是个正实数，在不同实数，在不同的采样点可选的采样点可选取不同的数值，取不同的数值，用以权衡各采用以权衡各采样点对性能的样点对性能的要求。要求。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO6例子（例子（2）：电路时域特性优化设计的目标函数）：电路时域特性优化设计的目标函数 21,miiiitVtPVtWtPF实际瞬态响应特性实际瞬态响应特性V(P,t)理想时域特性理想时域特性目标函数目标函数时域采样点数时域采样点数例子（例子（3）：电路静态工作点优化设计的目标函数）：电路静态工作点优化设计的目标函数lkShSh
6、kmijjjIniiiiVUIWIIIWVVVWPFji122121)(电路节点电位电路节点电位Vi感兴趣的支路电流感兴趣的支路电流Ij电源功耗电源功耗多目标优化多目标优化目标函数目标函数节点电位和支路电流相对误差最节点电位和支路电流相对误差最小小电源功耗最小电源功耗最小计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO72. 目标函数的极值目标函数的极值l 最优化方法的目标是最优化方法的目标是寻找目标函数的极小值寻找目标函数的极小值。（1）一元函数极值）一元函数极值l 一元函数一元函数F(p)，极小点，极小点p=p*，对所有的，对所有的p均有均有 F(p*) F(p) p*存在的充要条
7、件是存在的充要条件是: 00*22*ppppppFppF 00*22*ppppppFppF单一极小点单一极小点全局极小点全局极小点局部极小点局部极小点相对极大点相对极大点拐点拐点l 极值点一定是驻点，但极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。驻点不一定是极值点。l在最优化方法中，如果是极大值问题，一般将其转化为极小值问题来求解。在最优化方法中，如果是极大值问题，一般将其转化为极小值问题来求解。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO8（2）多元函数极值多元函数极值l 将多元函数将多元函数F(P)展成台劳级数，并略去高阶导数项，得展成台劳级数，并略去高阶导数项，得 PHPPPFP
8、FPPFTT21TnppppP321 TnpPFpPFpPFPF21 TnnnnnpPFppPFppPFppPFpPFppPFppPFppPFpPFH2222122222212212212212海森矩阵海森矩阵0*PFP 为极小点，若PHPPFPPFT21*PFPPF0PHPT的全部区域内正定在向量 PH 是正定的。二阶偏导数矩阵；梯度条件是：为极小点的充分和必要HPF. 20. 1P*计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO910.3 单变量函数优化单变量函数优化l 数值最优化法的步骤：（关键求数值最优化法的步骤：（关键求Sk ,k ）（1）从初始猜测点）从初始猜测点P0开始
9、；开始；（2）寻找一合适方向）寻找一合适方向Sk(k=0,1, ),Sk为第为第k+1次迭代搜索方向；次迭代搜索方向；（3）沿）沿Sk方向向前进一步的方向向前进一步的步长设为步长设为k，求合适的步长，求合适的步长k；（4）由）由Pk+1=Pk+ kSk 得到新的点得到新的点Pk+1，它应当比原来的点，它应当比原来的点Pk更接更接近最优点；近最优点；（5）检验）检验Pk+1是否最优，若最优则停止迭代；否则是否最优，若最优则停止迭代；否则k=k+1，转，转(2)步骤继续迭代。步骤继续迭代。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO10l 单变量函数最优化问题：单变量函数最优化问题：对
10、一维搜索来说，因为对一维搜索来说，因为Sk是是+1或或-1，P0也可以确定，故也可以确定，故 f(Pk+ Sk) ()，也就是说可用后者来逼近前者，也就是说可用后者来逼近前者一维搜索的方法有两类一维搜索的方法有两类：函数逼近法，：函数逼近法，试探法试探法10.3 单变量函数优化单变量函数优化1. 插值法（插值法（属属函数逼近法）函数逼近法）l 求最优步长求最优步长的实质：求单变量函数的实质：求单变量函数f()在某一区间在某一区间a b中的极小值，即：中的极小值，即： min f() a b l 插值法：包括二次插值方法和三次插值方法。插值法：包括二次插值方法和三次插值方法。计算机辅助电路设计与
11、分析RED APPLE STUDIO11（1）二次插值方法）二次插值方法l 如果已知函数如果已知函数f()在区间中的三个点在区间中的三个点1 2 3 的函数值为的函数值为f(1)， f(2)， f(3)，则可通过这三点，则可通过这三点(1, f(1), (2, f(2), (3, f(3)作作一条抛物线，并一条抛物线，并用此抛物线用此抛物线()（二次曲线）来逼近函数（二次曲线）来逼近函数f()。 2210aaa 02*21*aadd21*2aal 设这个多项式为设这个多项式为 323231032222210212121101faaafaaafaaa 332211233222211*111211
12、1ffffff21,aa极小点极小点*值值计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO12l 实用的二次插值法：迭代法实用的二次插值法：迭代法 不直接采用一次抛物线逼近得到的不直接采用一次抛物线逼近得到的* 作为最优步长，而是作为最优步长，而是要进行迭代要进行迭代。 将最优解将最优解(*, *)取代原三个点取代原三个点(1, 1)， (2, 2)，和，和(3, 3)中最坏（即该中最坏（即该与相应的与相应的f差别最大差别最大）的一个点，构成新的三）的一个点，构成新的三个点。个点。 再通过这三个点重新进行抛物线逼近，再次求得最优解。再通过这三个点重新进行抛物线逼近，再次求得最优解。 如
13、果反复迭代，直到相邻两次解的差足够小，满足误差要求，如果反复迭代，直到相邻两次解的差足够小，满足误差要求，则认为一维搜索迭代收敛。则认为一维搜索迭代收敛。 收敛后的最优解收敛后的最优解*即为最终最优解。即为最终最优解。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO13（2）三次插值方法）三次插值方法 有极小值012233aaaaaaa 0 0* 026 0232*3*1*22*3*aaaaaaaa132221*3aaaaaaaafbbfaafbbfbababababababafaaaafaaaafa231223101223303210,aaaa*迭代 正最优解的真计算机辅助电路设计与
14、分析RED APPLE STUDIO142. 黄金分割法（属试探法）：又称黄金分割法（属试探法）：又称0.618法法)(618. 0)(618. 01214212321，已知：f(3)f(4)4211,342123)(618. 02231，)(618. 0121443)()(43ff和比较)()(43ff和比较为预先给定的误差要求为止。满足直到|,1221nnnn为预先给定的误差要求为止。满足直到|,1221nnnn2)(2)(1*nn2)(2)(1*nn2/)618. 0(n极小值误差为计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO1510.4 多变量函数优化多变量函数优化l多变量
15、函数优化的方法：多变量函数优化的方法：梯度法（最速下降法、牛顿法、共轭梯度法（最速下降法、牛顿法、共轭梯度法以及变尺度法等）、单纯形法。梯度法以及变尺度法等）、单纯形法。1 最速下降法原理最速下降法原理kTkkkkPPFPFPPF)()()()()()(1kkkkPFPPFPFk1kkPPP目标函数应不断减小0)(kTkPPF泰勒展开泰勒展开下降最快）方向来寻优以目标函数的负梯度（kkkkkPPPS|0)(kTkkSPF0)(kTkSPFcos|)(|)(kkkTkSPFSPF下降最快的方向，可使为方向（梯度负方向）作选)(1800PFSk|)(|)(kkkPFPFS计算机辅助电路设计与分析R
16、ED APPLE STUDIO16所示。示意图如图最速下降法的优化过程）转（又令令即求解的一元函数的最小值变量为要用一维搜索方法求自长为沿此方向前进的最佳步负梯度方向确定后，设）计算搜索方向（）。（解，迭代结束；否则转为最优则。若）计算梯度向量（。，并选取迭代初值，首次迭代令迭代次数为）（）给定允许误差（如下：最速下降法的优化过程1 . 4 .102, 1)5()(min)(,)4(|)(|)(:33,|)(|)(20,01100kkSPPSPFSPFPFPFSSPPFPFPkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO17优缺点：优缺点：l最
17、速下降法简单，在迭最速下降法简单，在迭代初期收敛速度较快。它代初期收敛速度较快。它的缺点是在极小点附近收的缺点是在极小点附近收敛很慢。敛很慢。收敛慢原因：收敛慢原因：l大多数目标函数在极小大多数目标函数在极小点附近都接近于二次函数，点附近都接近于二次函数，而最速下降法的台劳展开而最速下降法的台劳展开式只取了一阶。式只取了一阶。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO18l 二阶梯度法的基本思想二阶梯度法的基本思想：将泰勒展开式取到二阶，会使将泰勒展开式取到二阶，会使算法收敛性得到改善。牛顿法、变尺度法和共轭梯度法都属算法收敛性得到改善。牛顿法、变尺度法和共轭梯度法都属于二阶梯度
18、法。于二阶梯度法。2. 牛顿法牛顿法kkTkkTkkkkPHPPPFPFPPF)(21)()()(）矩阵即海森（点的二阶导数阵在HessianPPFHk)(:0)(kkkPHPF等于零求上式的梯度，并令其)(11kkkkPFHPP)(1kkkPFHS一维搜索方向：)(11kkkkkPFHPP迭代运算式：迭代结果优点优点：利用了函数的二次导数信息，收敛速度大大地加快了。：利用了函数的二次导数信息，收敛速度大大地加快了。缺点缺点：每次迭代都要计算二阶导数矩阵的逆矩阵：每次迭代都要计算二阶导数矩阵的逆矩阵计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO193. 变尺度法变尺度法l 变尺度法的
19、原理是变尺度法的原理是：用：用一阶偏导数组合一阶偏导数组合成一个成一个与与Hk同阶的矩同阶的矩阵阵Ak, 以以Ak近似表示海森逆矩阵近似表示海森逆矩阵Hk-1,从而从而避免了求二阶导数避免了求二阶导数和求逆的困难和求逆的困难，此法又叫，此法又叫拟牛顿法拟牛顿法。此处介绍。此处介绍DFP法（法（60年年代由代由Davidon，Fletcher和和Powell提出）。提出）。)(1kkkkkPFAPPkkTkTkkkkkTkTkkkkYAYYAYAYPPPAA)()()()(1)()(1kkkPFPFY下降法等于单位阵，即为最速中的首次迭代，令kkkkkkAPFAPP)(1DFP迭代式迭代式计算机
20、辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO20继续下一步。小点，优化结束。否则若满足，表示已求得最，并校验是否满足：）求梯度向量（）进行一维搜索：（向量：）确定一维搜索的方向（。，并取和误差要求给定初值）（变尺度法的步骤如下：|)(|)(4)(min)()(3)(2, 011101)(00kkkkkkkkkkkPFPFSPFSPFPFPFASIAPk），继续迭代计算。返回步骤（令求矩阵求梯度向量的差向量2, 1)7()()()()(:)6()()(:)5(111kkYAYYAYAYPPPAAAPFPFYYkkTkTkkkkkTkTkkkkkkkkk计算机辅助电路设计与分析RED APP
21、LE STUDIO21为最优。也就是说，即：必为都正交。这时，与产生某一个梯度向量）在寻优过程中，可能轭是正交概念的推广。是共轭的特殊情况，共正交为一组正交向量。所以是单位矩阵，则）如果立的。中各向量是互相线性独是正定矩阵，则）如果有如下特点：的共轭向量一组共轭。则称这组向量与满足：，若向量维的对称正定阵对于共轭向量及其特点kkkkkkkkjTikPPFPFSSSPFSASASAAnjijiASSnkSAnn, 0)(0)(,.,)(321,.,2 , 1,;, 0)(),.,2 , 1(1214. 共轭梯度法共轭梯度法l 不必计算海森矩阵不必计算海森矩阵。计算机辅助电路设计与分析RED AP
22、PLE STUDIO22共轭方向的确定互为共轭关于与以保证ASS01称为共轭系数0010ASST）（)()()()()()()(01100000101001PFPFASSAPPAPFPFPAPFPF牛顿法)(00PFS0011)(SPFS0)()()(00101SPFPFPFT0)(01SPFT0)()(10PFPFT20021|)(|)(|PFPF20210|)(|)(|PFPF221|)(|)(|kkkPFPF共轭系数步第1kKkkkSPFS)(11算二阶导数。，避免求共轭方向时计求矩阵而不必的梯度计算可以直接从函数APFk,)(目的：避免计算海森矩阵目的：避免计算海森矩阵初始搜索方向初始
23、搜索方向共轭要求共轭要求牛顿法的要求牛顿法的要求计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO235 单纯形法单纯形法l属多维直接搜索优化方法，不必求导。属多维直接搜索优化方法，不必求导。单纯形单纯形: 在一定空间中，由直线构成的最简单图形。在一定空间中，由直线构成的最简单图形。例子：二维空间中的单纯形是三角形，三维空间的单纯形例子：二维空间中的单纯形是三角形，三维空间的单纯形是有四个顶点的四面体，是有四个顶点的四面体，N维空间的单纯形是维空间的单纯形是N+1个顶点个顶点的几何形体。的几何形体。二维单纯形二维单纯形三维单纯形三维单纯形的点。代替原来单纯形中较差用一个新的较好的点来来判
24、断函数下降方向，数值，是依靠不断地比较函也不用按搜索方向寻优特点：不必计算梯度，计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO24l二元目标函数单纯形法的基本原理二元目标函数单纯形法的基本原理F(p1,p2)最大为最差，最小为最好最大为最差，最小为最好)(HCCRPPPPHCRPPP 2=1PG和和PL联线中联线中点为点为PC反射点反射点。为压缩系数，一般取）（。为扩展系数，一般取）（10)()()(21)()()(1CRCSGRHCCELRPPPPPFPFPPPPPFPF)()()()()3(CHCHCCSHRPPPPPPPPFPF确定搜索点确定搜索点得到新三点或，加入放弃RSSE
25、PPPPHP于给定的误差好点的函数值的差别小终止条件：最差点与最计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO25l N元目标函数单纯形法的原理元目标函数单纯形法的原理（1）给定初始参数给定初始参数：初始点：初始点P0，变量数，变量数n，步长，步长h，扩展因子，扩展因子，压缩因子压缩因子，最大允许搜索次数，最大允许搜索次数k，各顶点的方向矢量，各顶点的方向矢量等等。等等。（2）根据步长计算出根据步长计算出n+1个顶点个顶点： Pi=P0+hi (i=1,2,n)，Pn+1=P0（3）计算计算n+1个顶点的函数值，确定最大、次大和最小三点个顶点的函数值，确定最大、次大和最小三点： YH
26、=F(PH) -函数最大点值；函数最大点值； YL=F(PL) -函数最小点值；函数最小点值； YG=F(PG) -函数次大点值；函数次大点值；（4）判收敛判收敛：|1kLkLYY条件：计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO26。否则令令若进行扩展，令若进行压缩，令：若确定反射点计算中心点RSESREHCCEGRHCCSGRHCRRniHiCCPPPPPFPFPPPPPFPFPPPPPFPFPPPPPPnPP),()(1)(),()(10)(),()() 1(2:)6()(1:)5(11收敛条件为止。然后重新开始，直到点外的各点。表示除，：否则缩小单纯形，令续迭代。，构成新的
27、单纯形，继换成，将若形成新单纯形LiLiiSHGSPPPPPPPPFPF2/ )()()()7(计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO27l 在优化问题中，除了使目标函数最小之外，还需满在优化问题中，除了使目标函数最小之外，还需满足一些约束条件，足一些约束条件，称之为有约束的优化问题称之为有约束的优化问题。l 约束条件可分为约束条件可分为: 等式约束与不等式约束两大类。等式约束与不等式约束两大类。10.5 有约束优化方法有约束优化方法可行解域可行解域无限多可行解无限多可行解最优解最优解计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO28l罚函数法罚函数法：实际中应用最
28、广泛而又较为简单、有实际中应用最广泛而又较为简单、有效的一种数值优化方法。效的一种数值优化方法。1. 等式约束的罚函数法等式约束的罚函数法miPgPFi,.,2 , 10)()(minmiikkPgMPFMP12)()(),(Mk是个是个很大的正数很大的正数，称为，称为罚因子罚因子或或罚系数罚系数惩罚项或惩罚项或约束函数约束函数l当当gi(P)不等于不等于0，即不满足约束等，即不满足约束等式时，式时，罚函数罚函数(P,Mk)的值将很大，的值将很大，不能收敛不能收敛；l只有只有当当gi(P)=0时时，罚函数罚函数才等才等于元函数于元函数F(P)。)()(min),(min12miikkPgMPF
29、MP的最优解。收敛于为极小，最后才能使，趋近于取越大，迫使即迭代过程中罚因子越应大于)(),(0)(,*1PFPMPPgMMkkikk计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO292. 不等式约束的罚函数法不等式约束的罚函数法miPgPFi,.,2 , 10)()(minmiikkPgMPFMP120),(max)(),(0)()(0)(00),(maxPgPgPgPgiiiimiikkPgMPFMP120),(max)(min),(minl 如果如果Pk在可行解域外而又远离边界在可行解域外而又远离边界，则，则(P,Mk)将会很将会很大大，罚因子的作用是不让罚因子的作用是不让Pk
30、远离边界远离边界。当。当Mk 无穷时，无穷时，P*k 由非可行解域由非可行解域，向约束边界逼近收敛向约束边界逼近收敛，称之为，称之为外罚函数法外罚函数法。不等式约束优化问题不等式约束优化问题计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO30l 外罚函数法的具体迭代步骤如下：外罚函数法的具体迭代步骤如下：（1）设起始点）设起始点P0, 给定初始处罚因子给定初始处罚因子M1, 且且 Mk+1=CMk, C1。令。令k=1。（2）应用任何一种无约束优化方法求罚函数）应用任何一种无约束优化方法求罚函数(P,Mk)的的极小值极小值Pk*。（3）检验）检验Pk*是否满足约束条件和优化收敛判据。若
31、是，是否满足约束条件和优化收敛判据。若是，则则Pk*为最优解，迭代结束；否则，继续下一步。（为最优解，迭代结束；否则，继续下一步。（4）令令k=k+1，转步骤（，转步骤（2）。）。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO3110.6 统计优化方法统计优化方法1. 统计优化方法概述统计优化方法概述电路参数稍稍偏离电路参数稍稍偏离p*,就有可能不合格就有可能不合格合格域合格域 pt,pu计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO32l 考虑电路参数的容差及以随机性的电路优化问题考虑电路参数的容差及以随机性的电路优化问题，称之为，称之为统计优化问题统计优化问题，或，或统
32、计电路设计统计电路设计。l 目前所提出的目前所提出的各种统计优化方法大致分为两类各种统计优化方法大致分为两类： A. 确定性方法确定性方法试图用一确定性数学规划问题的序列逐步逼近最优中心值设试图用一确定性数学规划问题的序列逐步逼近最优中心值设计问题的解，称之为计问题的解，称之为确定性统计电路设计方法确定性统计电路设计方法。例如，某种确定性方法可以对合格域边界做出某种描述，将例如，某种确定性方法可以对合格域边界做出某种描述，将参数中心选在合格域中心点，并在所确定的合格域内嵌入一参数中心选在合格域中心点，并在所确定的合格域内嵌入一个尽可能大的容差域，而使合格率达到最大。个尽可能大的容差域，而使合格
33、率达到最大。这类方法实用程度不高这类方法实用程度不高。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO33B. 统计性方法统计性方法 采用各种改进的蒙特卡罗方法估计电路合格率的数值或梯度采用各种改进的蒙特卡罗方法估计电路合格率的数值或梯度值值，据此来改变电路参数中心值，以提高合格率据此来改变电路参数中心值，以提高合格率。 优点：适合于大规模电路的优化设计优点：适合于大规模电路的优化设计。 缺点：需在不同参数中心值上进行抽样点数很大的蒙特卡罗缺点：需在不同参数中心值上进行抽样点数很大的蒙特卡罗分析和电路模拟，故计算量很大分析和电路模拟，故计算量很大。 具体的统计优化算法有很多种。例如，具
34、体的统计优化算法有很多种。例如，以实现以实现100%合格率合格率为目的的最坏条件设计为目的的最坏条件设计；在；在给定合格率的情况，求最大的容给定合格率的情况，求最大的容差域差域；在给定合格率的情况，求最佳的电路性能等等在给定合格率的情况，求最佳的电路性能等等。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO34l 中心值优化法中心值优化法 以合格率最大为目标以合格率最大为目标2. 中心值优化的数学模型中心值优化的数学模型,.,2 , 1,)(|maxminmjfPffPRjjjA合格域：项电路性能第j项性能的上限约束第j项性能的下限约束第j,.,2 , 1,|00nitpptpPRii
35、iiiT容差域：项参数的中心值第i项参数的容差限第inRARPPdPPPRPdeftPYA000,),()(),(、合格率：概率密度函数概率密度函数参数中心参数中心合格域合格域容差域容差域),(max00TPYp计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO35l 蒙特卡罗方法估计电路设计中心点为蒙特卡罗方法估计电路设计中心点为P0时的合格率时的合格率：10.6 统计优化方法统计优化方法dPPPPIdPPPtPYAR),()(),(),(000其它当01)(ARPPINiipINtPY10)(1),(NNYYDYYEYY)1 (2正态随机分布个样本点的第为参数iPpi实际生产合格率计
36、算量也很大必须取得足够大，因而，样本数的置信度了提高合格率估计值的值越准确。所以，为越小，越大，方差当NYYNY计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO363. 统计搜索法进行最优中心设计统计搜索法进行最优中心设计（1）统计搜索法的基本原理和步骤）统计搜索法的基本原理和步骤不合格点在不合格点在参数空间的参数空间的重心重心GF合格点在参数空合格点在参数空间的重心间的重心Gp沿此方向移动沿此方向移动原中心值原中心值P0的的坐标，使合格坐标，使合格率上升率上升对电路元件对电路元件参数取参数取N个样个样本点，进行本点，进行N次电路分析，次电路分析，其中合格次其中合格次数为数为Np计算机
37、辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO37l 统计搜索统计搜索算法的具体步骤如下：算法的具体步骤如下：1）给定初始）给定初始中心值中心值P0，参数容差以及电路性能约束条件。并给，参数容差以及电路性能约束条件。并给定允许误差定允许误差和抽样次数和抽样次数N。设迭代次数。设迭代次数k=1。2）用蒙特卡罗法对电路进行用蒙特卡罗法对电路进行N次抽样次抽样，并进行电路分析，得到，并进行电路分析，得到合格次数合格次数Np和不合格次数和不合格次数NF。为测试函数)(, )(1iPFNiiPpINNNpIN:3kFkPGG 和不合格点重心）计算合格点重心nippINgnippINgFPNjijij
38、FkFiNjijijPkpi,.,2 , 1)(1 (1,.,2 , 1)(111第第k次迭代次迭代第第i个参数个参数第第i个参数之第个参数之第j个样本点个样本点n元件参数数目元件参数数目TkFkFkFkFTkPkPkPkPnngggGgggG2121,重心为计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO3810.6 统计优化方法统计优化方法），继续迭代。返回步骤（，为最优解，否则时迭代结束，当满足之间。为步长系数，一般可取式中，移动的迭代公式为：连线方向移动与沿21kk)5101 . 0P)41, 0, 01, 0, 01, 00kkkkkFkPkkkkPkFPPPGGPPGG计算
39、机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO39（2）中心值优化方法的改进）中心值优化方法的改进l 目的：力图降低运算量。目的：力图降低运算量。1）相关取样方法）相关取样方法YYYYYYYkkk00011是正态分布的随机变量是估计值， YY kkkkkkkkkYYYDYDYDYYYYE,cov2111在第在第k次取样与第次取样与第k+1次取样时采用次取样时采用“相关取样相关取样”，即相，即相邻两次随机数序列相同邻两次随机数序列相同，则，则协方差为正数，方差减小。协方差为正数，方差减小。合格率增量估计的准确度增加。故可以减小取样点数合格率增量估计的准确度增加。故可以减小取样点数N。中心值
40、的移动应使合格率增加中心值的移动应使合格率增加计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO40公共区公共区 NiiiiphppINPY101均匀取样的概率分布密度均匀取样的概率分布密度两次迭代的取两次迭代的取样中有一部分样中有一部分样本点将落在样本点将落在公共区内，这公共区内，这些点称为公用些点称为公用点。点。利用利用公用点作公用点作为下一迭代中为下一迭代中的部分取样点的部分取样点，可以节省计算可以节省计算量。并使两次量。并使两次取样存在取样存在正相正相关关，提高算法，提高算法的可靠性，进的可靠性，进一步一步降低取样降低取样点数点数。2）中心值移动中利用公共取样点）中心值移动中利用
41、公共取样点在中心值设计在中心值设计过程中，随着过程中，随着中心值的移动，中心值的移动，相邻两次中心相邻两次中心值处相应的容值处相应的容差域将有差域将有部分重叠，而部分重叠，而且越接近于最且越接近于最优中心值，重优中心值，重叠的部分也就叠的部分也就越大，称为越大，称为公公共区。共区。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO4110.7 模拟退火法模拟退火法l 模拟退火法模拟退火法: 一种全局优化算法，比较一种全局优化算法，比较适合于求解较大型的优适合于求解较大型的优化问题化问题，特别是，特别是组合优化问题组合优化问题。l 金属退火：高温熔化状态下，金属分子平均动能大，分子可以金属
42、退火：高温熔化状态下，金属分子平均动能大，分子可以自由移动，若自由移动，若缓慢冷却，熔融金属分子将规则排列起来形成单晶缓慢冷却，熔融金属分子将规则排列起来形成单晶体体。这种。这种过程称为退火过程称为退火。由此系统由高能状态达到其。由此系统由高能状态达到其最低能量状最低能量状态态。 若若快速冷却快速冷却，熔融金属将成为多晶甚至非晶，系统，熔融金属将成为多晶甚至非晶，系统能量将能量将比单晶态时要高一些比单晶态时要高一些。l 金属退火过程与函数优化过程的类比：金属退火过程与函数优化过程的类比： 退火过程中的系统能量退火过程中的系统能量-优化问题的目标函数；优化问题的目标函数； 退火过程中分子的移动退
43、火过程中分子的移动-优化设计参数的变化；优化设计参数的变化； 退火过程中温度变化速度退火过程中温度变化速度-优化迭代过程中的步长；优化迭代过程中的步长；计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO42l 模拟退火法的特点模拟退火法的特点kTEEeP12退火时系统能量由退火时系统能量由E1状态变化到状态变化到E2状态的概率状态的概率波尔兹曼常数波尔兹曼常数l当当E21，这表明，这表明由能量高的状态变化由能量高的状态变化到能量低的状态总是允许的到能量低的状态总是允许的，而且我们的目的就，而且我们的目的就是要达到能量最低状态。是要达到能量最低状态。l当当E2 E1时，时，P比较小，但不为
44、零；也就是说比较小，但不为零；也就是说退退火过程中系统能量稍有升高也是允许的火过程中系统能量稍有升高也是允许的。优化过程中体现为优化过程中体现为：目标函数呈下降趋势，但也允许目标函数低的目标函数呈下降趋势，但也允许目标函数低的优化参数向目标函数高的优化优化参数向目标函数高的优化参数移动。从而参数移动。从而使其使其有可能跳出某个局部极小点，达到另一个有可能跳出某个局部极小点，达到另一个更好的局部极小点，甚至是全局极小点更好的局部极小点，甚至是全局极小点。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO43l采用模拟退火法解决连续函数的极值问题：采用模拟退火法解决连续函数的极值问题： 假定
45、在假定在N维空间维空间中，中，目标函数目标函数f(x)有有多个极值点多个极值点，设计变量，设计变量x代代表系统状态表系统状态，f(x)代表代表系统能量系统能量E，控制参数（步长）为控制参数（步长）为T，f(x)按退火策略缓慢减小按退火策略缓慢减小。 以以单纯形法单纯形法为基础，首先由为基础，首先由(N+1)个初始点个初始点构造一个构造一个单纯形单纯形，通通过反射、延伸、压缩等措施获取一个更好的单纯形过反射、延伸、压缩等措施获取一个更好的单纯形。 在在更新单纯形更新单纯形时，时，按一定概率接收一个或一系列新的顶点按一定概率接收一个或一系列新的顶点，即，即使是使是目标函数值较大的点也有机会目标函数
46、值较大的点也有机会更新原单纯形的顶点。更新原单纯形的顶点。 在在温度条件控制之下温度条件控制之下，反复重复更新单纯形，就能，反复重复更新单纯形，就能很好地模拟很好地模拟退火过程退火过程，而最终获得的，而最终获得的单纯形将收敛于单纯形将收敛于f(x)的全局极小值点的全局极小值点。计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO44l 退火策略退火策略 采用模拟退火法求解连续函数的极值问题，其采用模拟退火法求解连续函数的极值问题，其退火策略是多退火策略是多种多样种多样的。下面列举三种常用的策略：的。下面列举三种常用的策略：1）单纯形每移动单纯形每移动m次次，将温度将温度T降到降到(1)T。
47、其中，。其中， , m都可都可以根据统计方法估计出一个适当的取值。以根据统计方法估计出一个适当的取值。2）假定）假定单纯形总共移动单纯形总共移动M次之后就停止优化过程次之后就停止优化过程，而每移动，而每移动m次，温度次，温度T就降到就降到:aMkTT10baffT3）单纯形每移动）单纯形每移动m次，将温度次，将温度T降到降到到当前为止进行随机移动的次数，到当前为止进行随机移动的次数，m的倍数的倍数与目标函数极值点分布有关的常数，通常取与目标函数极值点分布有关的常数，通常取1,2,4经验常数经验常数当前单纯形各顶点目标函数的最小值当前单纯形各顶点目标函数的最小值到目前为止所获得的目标函数的最小值
48、到目前为止所获得的目标函数的最小值计算机辅助电路设计与分析RED APPLE STUDIO45止优化过程。再改善，则可以考虑中保持在一个量级上，不）所反映的误差始终次过程中，式（）假定在单纯形移动（程停止。后，优化过，当温度逐渐降低到度）给定一个最低温度限（后，优化过程就停止。，移动次数达到移动的最大次数限制）给定一个单纯形总共（。为给定的误差精度要求迭代过程。式中，成立，则可以停止优化若，最小目标函数为的最大目标函数为）假定单纯形各顶点处（4 .10.74TT3M2)4 . 7 .10(2,1minminmMfffffflohilohilohil 收敛策略收敛策略上面几种收敛策略也可以结合起来应用，以提高求解效率。上面几种收敛策略也可以结合起来应用，以提高求解效率。
