1、二维二维离散离散型型随机变量随机变量, 2, 1, ),(),(jiyxYXji一维离散型随机变量一维离散型随机变量, 2, 1,jxXj.1;0jjjpp X 的分布律的分布律 jjpxXP )(类比类比 1,0ijj ij ipp( (X,Y ) )的的分布律分布律 ),(jiyYxXP j ip Y X y1 y2 yj x1 x2 . . . .xi. . . .p11 p21 . . . .pi1. . . .p12 p22. . . .pi2. . . . . . . . . . . .p1j p2j . . . .pij. . . . . . . . . . .概率论与数理统计概
2、率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计1,1,2,.iijjP Xap i1,1,2,;jijiP XbpjX12iiijpppY12jbb b12iaaa12111ippp12222ippp 设随机变量 X 在 1,2,3,4中等可能地取一值, Y 在1X中等可能地取一整数值,求( X, Y )的分布律。解解 X,Y可能的取值都是1，2，3，4。PX=i,Y=j=P(X=i) (Y=j)=PY=j|X=iPX=i=i/4 (ji)Y 1 2 3 4 X1234 1/40001/81/8 0 0 1/12 1/12 0 1/16 1/16 1/161/121/16概率论与数理统计概率论
3、与数理统计P1X3,Y=2=?P1X3,0Y ,y(1-)(1-),=0,其他.(2) ( , )( , )dsdxyF x yf s tt ( , )( , )dsdyxF x yf s tt ()00ed d ,0,0,0,.yxs tstxy 其他概率论与数理统计概率论与数理统计2(1)(1),0,0;( , )0,xyeexyF x y其他概率论与数理统计概率论与数理统计(3) ( , )d dDP YXf x yxy(2)002d dxx yeyx2002xxyedxedy1.3202(1)xxeedxXY D非零域xyO设(X,Y)的密度函数为(2),01,0,( , )0,.cy
4、- xxyxf x y其他求(1) C的值; (2) 边缘密度函数.(1)1( , )d df x yx y 解解概率论与数理统计概率论与数理统计xyO2D100(2)xcyx dy dx 100(2)xcx dxydy12015(2)().224ccxxdx24/5.c024(2)( )( , )(2)5xXfxf x y dyyx dy概率论与数理统计概率论与数理统计212(2)(01)5xxx24( )( , )(2)5Yyfyf x y dxyx dx2243(2)(01)522yyyy yxoG,0;,1)(其其它它bxaabxf 设设 G 是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,
5、其面积为其面积为A. 若二维随机变量若二维随机变量 ( (X,Y) )的的概率密度为概率密度为1,( , );( , ),0 x yGAf x y其它则称则称( (X,Y) )在在G上服从上服从均匀分布均匀分布. 向平面上有界区域向平面上有界区域 G 内任投一质点，内任投一质点，1. 二维均匀分布二维均匀分布 B若质点落在若质点落在 G 内任一小区域内任一小区域 B 的概率与的概率与小区域的面积成正比，而与小区域的面积成正比，而与B的形状及的形状及位置无关位置无关. 则质点的坐标则质点的坐标( (X,Y ) )在在 G 上上服从均匀分布服从均匀分布. .),(yx概率论与数理统计概率论与数理统
6、计-110 xy (P65,例5)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，求边缘密度函数。概率论与数理统计概率论与数理统计 若二维随机变量若二维随机变量( (X,Y) )具有概率密度具有概率密度 )1 ( 21exp121),(222 1yxf)()( )(2)(2222211211 yyxx其中其中均为常数均为常数, ,21212. 二维正态分布二维正态分布 则称则称( (X,Y ) )服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布. ,2121记作记作( (X,Y) )N( ).( ). ,22221122()21( ),2xxf x e e, 0, 021 1,| 且且 概率论与数理统计概
7、率论与数理统计122112222211221()2 ()() () 2(1)1( , )21yyxxf x y e e22122122()()()2yxy 解解 求二维正态分布的边缘密度.dyyxfxfX),()(2222112211()()yxx 1222211221()() yxx 212211()1yxt ，221,1dtdy 2222()221( ),2yYyfy e e),(),(222211 NYNX二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布 2121()211( ),2xXxfx e e均与均与 无关无关 逆命题成立吗逆命题成立吗 ？ 22112
8、xdx e e由边缘分布一般由边缘分布一般不能确定联合分布不能确定联合分布22121()2211( )2xtXfxdt e ee e22211221211)()2 12yxxdy e ee e22121 1概率论与数理统计概率论与数理统计222,1()( , )1 sinsin,2xyxyf x yxy e e求边缘密度函数求边缘密度函数 .)(),(yfxfYX 解解dyyxfxfX),()(2222221()sinsin2yxyxy dy eeeee e22222211,;22yxxxdy eeeeee同理同理 221( ),.2yYyfy e e. )1,0(; )1,0(NYNX 正态分布的联合分布未必是正态分布正态分布的联合分布未必是正态分布概率论与数理统计概率论与数理统计 若二维随机变量( X, Y )的概率密度为
