1、 1.2.2复合函数的求导法则复合函数的求导法则引例：引例：如何求函数如何求函数 的导数呢？的导数呢？ ln2yx2lnuxyu设设则则 ln2ln2yxyuux所所以以可可以以看看成成是是由由 和和经经过过“”复复合合得得到到的的。uyx即即 可可以以通通过过表表示示为为自自变变中中变变量量量量间间的的函函数数. . ,=ln2=yuyf uuxyf ufug xxg x 如如果果把把 与与 的的关关系系记记作作与与 的的关关系系记记作作那那么么这这个个“”过过为为复复合合程程可可表表示示我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合复合”得到
2、的得到的. 222323yxyuux例例如如, ,可可以以看看成成是是复复合合由由 和和“”而而成成. .1.复合函数的概念复合函数的概念:一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数 y = f (u)， u = g(x)，如果通过变量如果通过变量u,y可以表示成可以表示成x的函数，那么称的函数，那么称这个函数为这个函数为y = f (u)和和 u = g(x)的复合函数，记的复合函数，记作作y = f (g (x) y = f (u)叫作外函数叫作外函数; u = g(x)叫作内函数叫作内函数 ，xuxuyy 2.复合函数求导法则复合函数求导法则:因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于
3、因变量对中间变量求等于因变量对中间变量求导导, ,乘以乘以中间变量对自变量求导中间变量对自变量求导. ( . ( 链式法则链式法则 ) )，xuxuyy 求复合函数的导数求复合函数的导数,关键在于分清关键在于分清函数的复合关系函数的复合关系复合函数求导三部曲：复合函数求导三部曲：一、分层一、分层(从外向内分解成基本初等函数，注意中间变量从外向内分解成基本初等函数，注意中间变量)二、层层求导二、层层求导(将分解所得的基本初等函数，进行求导将分解所得的基本初等函数，进行求导)三、作积还原三、作积还原(将各层基本初等函数的导数相乘，并将将各层基本初等函数的导数相乘，并将 中中 间变量还原为原来的自变
4、量间变量还原为原来的自变量)引例：引例：求函数求函数 的导数的导数. ln2yx ln2ln2yxyuux因因为为是是由由 和和复复合合而而成成。xuxyyu所以(ln ) (2)1112uxux例例2：求求xy2sin的导数的导数解：解：xy2sin是由函数是由函数y=sinu和和u=2x复合而成复合而成cos ,2yu uuxxuuyxy=2cos2xxuxuuy2cos2cos2.?例例3 3：求函数求函数 y = (2x + + 1 1)5的导数的导数所以所以445210(21) .xuxyuxyu解：解：y = u5，u = 2x + + 1复合而成，复合而成，y = (2x + +
5、 1)5 看成是由看成是由,5)(45uuyu . 2)12( xux由于由于求求 y .,12xy 设设12211()()22 (1)uyuuux 例例 3：2211yxyuux解解：函函数数是是由由与与复复合合而而成成2(1)2xuxx 21( 2 )2 (1)xyxx 21xx所以所以练习练习:求下列函数求下列函数的导数的导数?（1） y = sin2 x（1）将将 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成复合而成. (2) y = sinx2 .cossin2cos2xxxuuyyxux （2）将将 y = sin x2 看成是由看成是由 y
6、= sin u，u = x2复合而成复合而成. 22cos2 cosxuxyyuxuxx跟踪训练跟踪训练跟踪训练跟踪训练【解析】103311(25 )(2)sinsin4.yxyxxx求下列函数的导数（）(2)y=(sin(2)y=(sin3 3x+sinxx+sinx3 3) =(sin=(sin3 3x)+(sinxx)+(sinx3 3) =3sin=3sin2 2x x(sinx)+cosx(sinx)+cosx3 3(x(x3 3) =3sin=3sin2 2xcosx+3xxcosx+3x2 2cosxcosx3 3. . 10334.11(25 )(2)sinsinyxyxxx求下列函数的导数（）检测提升检测提升
