1、在物理学中，常用牛顿的表示方法：在物理学中，常用牛顿的表示方法：例如例如ddxtx 22ddxatax ( )xx t( ) t一元函数一元函数 的的微分微分 yf xddddyyxxddd.dddzzyxyx复合函数复合函数 的导数的导数 zz y xcos()xAt例如，例如，1、多元函数、多元函数理想气体理想气体pVRT（常数）（常数） 1 11pVT222p VT或或RTVp1 11pVT222p VT长方体的体积长方体的体积 Vxyz0ppgh静止静止液体的压强液体的压强( , , , )pp x y z t液体液体流动流动时，时，几个实例：几个实例：Sxy矩形的面积矩形的面积 22
2、3zxxyy例如，例如，RTVpSxy( , )zf x y( , )zz x y或或因变量因变量自变量自变量二元函数举例二元函数举例 - 流体中的机械波（流体中的机械波（波函数波函数），），x、t -自变量自变量， p、 -因变量因变量。 多元函多元函数数),(tzyx( , , , )pp x y z t),(tzyxvvxx),(tzyxvvyy),(tzyxvvzz例如：例如：流体，流体，)cos(),(kxtpxtpa)cos(),(kxtAxt也可用流体质点的位移表示为也可用流体质点的位移表示为可以用压强的涨落表示为可以用压强的涨落表示为 二元函数的极限二元函数的极限 ( , )z
3、f x y( , )P x y000(,)P xy( , )f x y若当点若当点以任意方式无限接近点以任意方式无限接近点时，对应的函数值时，对应的函数值无限接近于某一常数无限接近于某一常数A00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA00lim( , )xxyyf x yA22000 xxyy( , )P x y000(,)P xy共同点共同点：与与之间的距离之间的距离00( , )(,)x yxy( , )P x y000(,)P xyl2、偏导数偏导数等温等温变化变化02ddRTVpp 等压等压变化变化0ddVRTp理想气体理想气体RTVp 偏导数偏导数定义定义 设函数设函
4、数 在在 的某一邻域内的某一邻域内有定义，当有定义，当 固定在点固定在点 ，而，而 在在 点处有增点处有增量量 时，相应地函数时，相应地函数z有增量（偏增量）有增量（偏增量）( , )zf x y00(,)xyy0yx0 xx0000,zf xx yf xy 000000,limlimxxf xx yf xyzxx 如果如果存在，存在，则称此极限为函数则称此极限为函数 在点在点 处处对对x的偏导数的偏导数 ( , )zf x y00(,)xy0000000,limx xxy yf xx yf xyzxx 类似地，类似地，对对y的偏导数的偏导数 结论：结论：求多元函数对某一自变量的偏导数，并不需
5、要求多元函数对某一自变量的偏导数，并不需要用新的方法，只需要把其他自变量看作常数，应用一用新的方法，只需要把其他自变量看作常数，应用一元函数的求导法则即可。元函数的求导法则即可。0000000,limx xyy yf xx yf xyzyy 002d,dV p TRTpp 例如例如RTVp2TVRTpp 0ddVRTppVRTp注意：注意：偏导数的记号是一个整体记号。偏导数的记号是一个整体记号。 22cos3xzeyx解解： 22222(2cos3 )4cos3xxzeyeyx23sin3xzeyy 2222( 3) 3cos39cos3xxzeyeyy 2cos3xzey例例1 、已知已知
6、，zxzy 求求 ， ， ，22zx22zy0000000,limx xxy yf xx yf xyzxx ,zfxx yfx yxx,zf x yyf x yyy如果两个自变量同时有增量如果两个自变量同时有增量 x和和 y， ,zf xx yyf x y -全增量全增量 3 全微分全微分( , )zf x yx偏增量偏增量 类似地，类似地，y偏增量偏增量 举例：举例：zxy)(zxx yyxyy xx yx y zzxyxy 0( ) 22()()xy xyxyxyxy x yxy 定义：定义：0( ) 22()()xy dddzzzxyxydddduuuuxyzxyzdzzzxyxy d
7、xd y对于三元函数对于三元函数( , , )uf x y z4 多元复合函数的导数多元复合函数的导数cos()xAt ( )zf y x一元一元复合函数复合函数 ( , ),( , ),( , )zf u vuu x yx y ( , ), ( , )zf u x yx y假设假设是变量是变量x，y的的多元复合函数多元复合函数 ( ),( ),( )xx tyy tzz t例如，例如， 液体压强液体压强( , , , )vv x y z t水流速度水流速度多元多元复合函数复合函数( , , , )pp x y z t流动时流动时0ppgh静止静止定义定义 设函数设函数 在点在点 有偏有偏导数
8、，而函数导数，而函数 在对应点（在对应点（u, ）处有连续）处有连续偏导数，则复合函数偏导数，则复合函数 在点在点 处的处的偏导数偏导数 存在，有存在，有( , ),( , )uu x yx y( , )x y( , )zf u v ( , ), ( , )zf u x yx y( , )x y,zzxy ,zzuzxuxx zzuzyuyy 全导数全导数 ddddddzzuzxuxx( ),( )uu xx( , )zf u v ( ), ( )zf u xx 若函数若函数 ，而，而 ，则复合函数则复合函数 只是自变量只是自变量x的一元的一元函数，这时函数，这时z z 对对x 的的导数导数 称为称为全导数全导数。 ddzx精品课件精品课件！精品课件精品课件！),(tzyxvvxx),(tzyxvvyy),(tzyxvvzz( ),( ),( )xx tyy tzz ttzzvtyyvtxxvtvtvaxxxxxxddddddddtzzvtyyvtxxvtvtvayyyyyyddddddddtzzvtyyvtxxvtvtvazzzzzzdddddddd例如：例如： ddxxxxxxyzttxyz
