1、1.1 参照系参照系 质点质点 运动方程运动方程一一 参照系和坐标系参照系和坐标系 为描述物体的运动而选择的标准物为描述物体的运动而选择的标准物. .1 1 参照系参照系车厢内的人：车厢内的人：地面上的人：地面上的人：参照系不同，物体运动情况参照系不同，物体运动情况的描述也不同的描述也不同运动描述运动描述的相对性的相对性原则上参照系可任选原则上参照系可任选常用参照系常用参照系: :地面参照系或实验室参照系地面参照系或实验室参照系（reference system）2 2 坐标系坐标系（coordinate system）建立在参照系上的计算系统建立在参照系上的计算系统. . 原则上坐标系可任选
2、原则上坐标系可任选. . 不同坐标系中，物体运动的数学表述式可不同不同坐标系中，物体运动的数学表述式可不同. . 球极坐标系球极坐标系（ r, ） 柱坐标系柱坐标系（ , , z ） 自然坐标系自然坐标系z yxx yzr 直角坐标系直角坐标系（ x , y , z ）常用的坐标系：常用的坐标系： 理想模型理想模型, , 忽略物体的大小和形状等次要因素忽略物体的大小和形状等次要因素, ,抓住质量和位置两主要矛盾抓住质量和位置两主要矛盾. .二二 质点质点 位矢位矢 运动方程运动方程本课程力学部分本课程力学部分, ,除刚体外除刚体外, ,一般都可视为质点一般都可视为质点. .何时物体可视为质点何
3、时物体可视为质点?(1)物体线度比它活动范围小得多物体线度比它活动范围小得多(2)物体各点运动情况相同物体各点运动情况相同1 1 质点质点（particle）2 2 位置矢量位置矢量（position vector of a particle）222rrxyz位矢位矢 的大小的大小: :rkzj yi xr 表征某时刻质点位置的矢量表征某时刻质点位置的矢量, , 简称位矢或矢径简称位矢或矢径rxcosrzcosrycos位矢位矢 的方向余弦的方向余弦: :rr*Pxyzxzyoxzyo3 3 运动方程运动方程（function of motion）ktzjtyitxtr)()()()()(tx
4、x )(tyy )(tzz 分量式分量式从中消去参数从中消去参数 得轨道方程得轨道方程 0),(zyxft)(tr)(tx)(ty)(tz例：例：tAytAx sin,cos 222Ayx 圆圆1.2 位移位移 速度速度 加速度加速度一一 位移位移（displacement）xyoBBrArAr质点在一段时间内位置的改变质点在一段时间内位置的改变, ,反映物体在空间位置反映物体在空间位置的变化的变化 )()(trttrr )()(kzjyixkzjyixAAABBB kzj yix 222zyxr 位移大小位移大小:位移方向位移方向:初位置初位置末位置末位置位移与位矢的区别位移与位矢的区别z补
5、充：补充： 路程路程（path） s 质点实际运动轨迹的长度质点实际运动轨迹的长度 叫路程叫路程, ,是标量是标量注意：一般注意：一般 何时相等何时相等? , rsr 要分清要分清 等的几何意义等的几何意义rrr 、； d drs P1r(t+t )r(t)rz x y 0s P2r(t+t )r(t) 0rr P2 P1单向直线运动单向直线运动;r 二二 速度速度（velocity） t时间内时间内, ,质点的平均速度质点的平均速度平均速度平均速度 与与 同向同向rvktzjtyitx trv平均速度大小平均速度大小222)()()(tztytx vkjizyxvvvv 或或r)(ttrB)
6、(trAxyo1 1 平均速度平均速度（average velocity）z2 (瞬时瞬时)速度速度（instantaneous velocity）ktzjtyitxttt 000limlimlimtrtrtddlim0 vsrdd 当当 时时, ,0 t0dd ts vktzjtyitxdddddd ( (瞬时瞬时) )速率速率(speed):速度速度 的大小的大小vkjizyxvvv 222zyxvvvvv ddstv速度方向：沿轨迹切线方向速度方向：沿轨迹切线方向z瞬时速率是瞬时速度的大小瞬时速率是瞬时速度的大小, ,平均速率平均速率( )( )是平均速度的大小吗是平均速度的大小吗? ?
7、tsvtrv 思考思考 选择：选择：一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点处，其速度大小为的端点处，其速度大小为),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）三三 加速度加速度（acceleration）BvBAvBvvxyOAvA1 1 平均加速度平均加速度atv 与与 同向同向 va2（瞬时）加速度（瞬时）加速度0dlimdtatt vv22ddtr zktzjtyitxktjtitazyx222222dddddddddddd vvv加速度大小加速度大小:222zyxaaaa 加速度的方向：加速度的方向： 变化的方
8、向变化的方向v例例1 1：已知已知: (: (米米) )，求：，求：（1 1） 的位移；的位移；（2 2）1s1s末的速度；末的速度；（3 3）1s1s末的加速度；末的加速度；（4 4）轨道方程；）轨道方程；解解： j ti tr 2cos42sin5 stst125. 0 )(45)04()50(mjijir )/(102sin82cos101smij ti tdtrdvst )/(162cos162sin2022122smjj ti tdtvdast 1452cos42sin52222 yxtytx 1 1 运动方程运动方程 加加速速度度（求求导导）速速度度）轨轨道道方方程程（消消去去位位
9、移移（求求矢矢量量差差）,t解题思路：解题思路： 2 2 加速度加速度 速度速度 运动方程（积分）运动方程（积分） 例例2 2： 某物体做匀加速直线运动的加速度为某物体做匀加速直线运动的加速度为 ， 时，时，速度和位置分别为速度和位置分别为 和和 ，求，求t 时刻物体的速度和位置时刻物体的速度和位置解解： a0 t0v0 xadtdv tvvadtdv00atvv 0vdtdx dtatv)(0 txxdtatvdx00)(020021attvxx 例例3 3：质量为：质量为m的物体，从的物体，从O点下落，点下落，t =0=0时，时，y =0=0，v =0=0，下落过程中，下落过程中， ，求：
10、，求：收尾速度收尾速度v；运动方程；运动方程；解解： vkfr )1(tmkekmgv vmkgdtdvkvmgma dtvmkgdv kmgvt ,)(kmekmtkmgytmk 运动方程：运动方程： tvdtvmkgdv00)1(tmkekmgdtdy dtekmgdyttmky 00)1(课后思考课后思考1 1 湖中有一船，岸边有人用绳子湖中有一船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮以跨过一高处的滑轮以v匀速拉船靠匀速拉船靠岸，当绳子和水面夹角为岸，当绳子和水面夹角为 时，时，求船速求船速答案：答案： cos/v 2 2 灯高为灯高为H，一高为，一高为L的人沿的人沿着着x方向以速度匀速方向以
11、速度匀速 前进，前进，问在灯光照射下，人头顶在水问在灯光照射下，人头顶在水平面上的黑影沿平面上的黑影沿x方向作什么方向作什么运动？运动？( (人从灯的正下方开始人从灯的正下方开始运动运动) )0v)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 一一 由质点的运动方程可以求得质点在任一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；时刻的位矢、速度和加速度； 二二 已知质点的加速度以及初始速度和初始已知质点的加速度以及初始速度和初始位置位置, ,可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程 . .1.3 平面曲线运动平面曲
12、线运动taddv vvv00ddttata 0vvtayyy 0vv;0taxxx vv写成分量式：写成分量式：trddvtrrttar00d)(d0v20021t atrrv20021tatyyyyv20021tatxxxxv写成分量式：写成分量式：xvyvvxvyvv0dxyo0vx0vy0vtxcos0v2021singttyv忽略阻力的抛体：忽略阻力的抛体：,;0gaayx 000 yx0tcos00vvxsin00vvy时，时，cossin2200gdv02cos2dd200gdvgd20m0v 最大射程：最大射程：一一 抛体运动抛体运动（projectile motion）二二 圆
13、周运动圆周运动（circular motion）1 1 匀速率圆周运动匀速率圆周运动AvRoBvABl Avv Bvtvat 0limtlRvtvRlvv RvtlRvtvatt200limlim 方向：指向圆心，方向：指向圆心，故称向心加速度故称向心加速度(centripetal acceleration)2 2 变速率圆周运动变速率圆周运动AvRoBvABl AvBvvtv nv tnvvv tvtvtvattntt 000limlimlim002tdtdvnRva aaarctgvaaaann ),(22法向加速度法向加速度(normal acceleration) ： 02nRvan
14、切向加速度切向加速度(tangential acceleration) ： 0tdtdvat （改变速度方向）（改变速度方向）（改变速度大小）（改变速度大小） naaav一汽车在半径一汽车在半径R=200m的圆弧形公路上行驶，其路程随时的圆弧形公路上行驶，其路程随时间变化的关系为间变化的关系为s =20t 0.2 t 2 (SI) . .tts4 . 020ddv4 . 0ddtavRtRan22)4 . 020(v22222)4 . 020(4 . 0Rtaaanm/s 6 .19(1) v2222m/s 44. 1200) 14 . 020(4 . 0(1)a例例1 1汽车在汽车在 t =
15、 1 s 时的速度和加速度大小时的速度和加速度大小求求解解3 3 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述xyorAB1 1）角位置）角位置 和角位移和角位移 （逆时针取（逆时针取+ +） 2 2）角速度）角速度（angular velocity） tttddlim0角速度方向：右螺旋角速度方向：右螺旋3 3）角加速度）角加速度（angular acceleration） tdd匀变速率圆周运动中：匀变速率圆周运动中： 时时，常常数数，0 t 00, dtd tdtd00 t 0dtd tdttd00)(0 20021tt 4 4 角线关系角线关系Rs oA(t)QRRtRtsddddv22nRR
16、avRtRtaddddtvRvvanRat三三 平面曲线运动平面曲线运动（plane curvilinear motion）一任意平面曲线运动，可视为由一系列小段圆周运动所组成一任意平面曲线运动，可视为由一系列小段圆周运动所组成002tdtdvnRva R曲率半径曲率半径求抛体运动过程中的曲率半径？求抛体运动过程中的曲率半径？如如B 点点gaaBntcos , 00vv , ,gaRnBB202)cos(vv BOCxy v思考思考 a4a2Ova3a1上图中分别是什么情形？上图中分别是什么情形？ a4情形是否存在？情形是否存在？思考思考对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种对于作曲线运动
17、的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：是正确的：（A A）切向加速度必不为零；）切向加速度必不为零；（B B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；）法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；因此法向加速度必为零；（D D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E E）若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变）若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动速率运动 . .(2) 设设t t 时刻，质点的加速度与半径成时刻，质点的加速度与半径成45o角，则角，则(
18、2) 当当 =? 时，质点的加速度与半径成时，质点的加速度与半径成45o角角？(1) 当当t =2s 时，质点运动的时，质点运动的an 和和222m/s 8 . 4 m/s 4 .230 raranrad 423t一质点作半径为一质点作半径为0.1 m 的圆周运动的圆周运动，已知运动学方程为已知运动学方程为(1) 运动学方程得运动学方程得求求a212ddttnaa 解解例例2 2以及以及a的大小的大小222m/s 5 .230naaas 55. 0241444tttrad 67. 2423ttt24dd22 rr 21.4 相对运动相对运动（relative motion）相对运动指不同参考系
19、中观察同一物体的运动相对运动指不同参考系中观察同一物体的运动r 位移的相对性：位移的相对性：0rrr 速度的相对性速度的相对性 u vv 称称绝对速度绝对速度（absolute velocity）v称称相对速度相对速度（relative velocity）v 称称牵连速度牵连速度（connected velocity）u yxS0r O uA Ox yS yA uSxO r BA 仅讨论一参照系仅讨论一参照系 S 相对另一参照系相对另一参照系 S 以速度以速度 平动平动时情形时情形u 称伽利略速度变换称伽利略速度变换 （Galilean velocity transformation）u vv
20、 例例 雨天骑车人伞需向前斜撑雨天骑车人伞需向前斜撑 v雨对地雨对地=v雨对人雨对人+v人对地人对地( (骑车骑车) )（v ） （v ） （u ）v雨对地雨对地v 对地对地( (骑车骑车) )v雨对人雨对人加速度的相对性：加速度的相对性： 0aaa .const u若若aa 有有, 0dd0 tua则则 以上结论是在绝对时空观下得出的以上结论是在绝对时空观下得出的一个带篷子的卡车，篷高为一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ，当它停在马路边时当它停在马路边时，雨滴可落入车内达雨滴可落入车内达 d=1 m ，而当它以而当它以15 km/h 的速率运动的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。时，雨滴恰
21、好不能落入车中。uvv 4 .63arctandhhdvuv 据速度相对性关系据速度相对性关系画出矢量图画出矢量图m/s 3 . 9km/h5 .33 cos15cos vvu例例解解雨滴的速度矢量雨滴的速度矢量。求求1.5 牛顿运动定律牛顿运动定律（ Newton s Laws of Motion ）一一 牛顿运动定律牛顿运动定律任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体作用的力迫使它改变这种状态为止。作用的力迫使它改变这种状态为止。第一定律第一定律引进了二个重要概念引进了二个重要概念惯性惯性 质点不受力时保持静止或匀速直线运动状质点
22、不受力时保持静止或匀速直线运动状态的的性质态的的性质, ,其大小用质量量度。其大小用质量量度。 力力 使质点改变运动状态的原因使质点改变运动状态的原因1 1 第一运动定律第一运动定律（First law，Inertia law）2 2 第二运动定律第二运动定律（ Second law）)(ddvmtF 某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上某时刻质点动量对时间的变化率正比与该时刻作用在质点上所有力的合力。所有力的合力。当物体的质量不随时间变化时：当物体的质量不随时间变化时：amF 第二定律定量说明了力的效果第二定律定量说明了力的效果改变物体的动量，改变物体的动量，定量说明了物体质
23、量是物体惯性大小的量度定量说明了物体质量是物体惯性大小的量度3 3 第三运动定律第三运动定律（ Third law）2112FF m1m2F12F21说明了力的起源是物体的相互作用，力具有同时性，成对性说明了力的起源是物体的相互作用，力具有同时性，成对性例例在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）在竖直向上方向建坐标，地面为原点（如图）. .设压力为设压力为 NtyglNd)d( vptpglNddvyp解解Oylyygyttyty2ddddd)d(vvvv)(3ylgNyggylyg)(22v22)(vgylgttyvdd取整个链条为研究对象，取整个链条为研究对象，一柔软链条长一柔软链条长
24、l ，线密度线密度 ，一端着地开始自由下落一端着地开始自由下落. .求求 下落到任意长度下落到任意长度 y 时刻，给地面的压力为多少时刻，给地面的压力为多少？二二 牛顿定律成立的条件牛顿定律成立的条件 即即1 1 惯性系惯性系（inertial frame）甲乙m牛顿定律适用牛顿定律适用牛顿定律不适用牛顿定律不适用有力有力amF地面参考系中的观察者甲：地面参考系中的观察者甲： Fa0, 0Fam运动车厢参考系中的观察者乙：运动车厢参考系中的观察者乙：有力有力 Fa和加速度和加速度即即无加速度无加速度惯性系：牛顿运动定律适用的参照系惯性系：牛顿运动定律适用的参照系结论：结论：牛顿牛顿第二定律不能
25、同时适用于上述两种参考系第二定律不能同时适用于上述两种参考系aF说明说明(2) (2) 相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。(1) (1) 严格的惯性系是关于参照系的一种理想模型。大多数严格的惯性系是关于参照系的一种理想模型。大多数情况下，通常取地面参照系为惯性参照系。情况下，通常取地面参照系为惯性参照系。2 2 牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动。牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动。物体的高速运动遵循相对论力学的规律；物体的高速运动遵循相对论力学的规律；微观粒子的运动遵循量子力学的规律。微观粒子的运动遵循量子力学的规律。(1)(2)
