1、 数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 16 页） 高 三 诊 断 性 测 试 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题
2、 5 分，满分 40 分。 1B 2B 3D 4B 5D 6C 7A 8D 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9ABD 10AC 11BD 12ACD 三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 132；143,13；15答案不唯一，如： 11,1,11,21,1xxf xf xxxx 等； 165；54 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，
3、考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性满分 10 分 解法一： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以21nnnnSSSS， 1 分 所以211nnnaaa， 3 分 即212nnaa ，设 na的公比为q，则2q ， 4 分 所以1222nnna 6 分 （2）依题意，*21221 121,22kkkkbk kbk k NN， 7 分 所以101 13 399224410 10Ta ba ba ba ba ba b 8 分 13924102525aaaaaa
4、 13913925225aaaaaa 9 分 13925aaa 391 2225 2 所以35111041 22252T ， 数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 16 页） 两式相减得53591111111021414232222525221433T ， 所以11101422 +318699T 10 分 解法二： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以122nnnSSS， 1 分 设 na的公比为q， 若1q ， 则2,2nnaSn ，1246,24nnnSSnSn ， 所以122nnnSSS， 与122nnnSSS矛盾，不合题意； 2 分 若1q ，则111nnaqSq，+1+2
5、111211,11nnnnaqaqSSqq， 3 分 所以+1+21111121111nnnaqaqaqqqq， 整理得，+1+22nnnqqq， 即220qq， 解得1q （舍去）或2q ， 4 分 所以1222nnna 6 分 （2）依题意，*21221 121,22kkkkbk kbk k NN， 7 分 所以101 1223 3445 566778 89910 10Ta ba ba ba ba ba ba ba ba ba b 8 分 1234567891023+45aaaaaaaaaa 9 分 23456122222322 78910422522 35791 2223 24252 2
6、 1696512+2560 3186 10 分 解法三： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以212nnnSSS， 1 分 当1n 时，1322SSS，化简得322aa ， 2 分 设 na的公比为q，所以2q ， 4 分 当2q 时，1223nnS ，因此122223nnS ， 1322+2+1222222242+=3333nnnnnnSS ， 满足212nnnSSS，故2q 符合题意 所以12( 2)( 2)nnna 6 分 数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 16 页） （2） 依题意，11b ，21b ，32b ，42b ，53b ，63b ，74b ，84b ，95b
7、，105b ， 7 分 所以 2345678910102( 2)2( 2)2( 2)3 ( 2)3 ( 2)4( 2)4( 2)5( 2)5( 2)T 8 分 2345678910 2( 2) 2 ( 2)( 2) 3 ( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 5 ( 2)( 2) . 9 分 4579223 2425 2 2 16965122560 3186 . 10 分 18本小题主要考查独立事件的概率、互斥事件的概率，二项分布、数学期望等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核
8、心素养；体现应用性和创新性满分 12 分 解法一： （1）甲滑雪用时比乙多5 36180秒3分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中 4 发子弹 设“甲胜乙”为事件 A，“在第四次射击中，甲有 4 发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件 B， “在第四次射击中，甲有 5 发子弹命中目标，乙至多有 1 发子弹命中目标”为事件 C， 1 分 依题意，事件 B 和事件 C 是互斥事件，A=B+C， 2 分 4555411551414113B,C5545444PCPC， 4 分 所以， 69ABC12500PPP. 即甲胜乙的概率为6912500. 5 分
9、 （2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则1120,20,54XBYB， 7 分 所以甲被罚时间的期望为111 2045EX （分钟） ， 8 分 乙被罚时间的期望为111 2054EY （分钟） ， 9 分 又在赛道上甲选手滑行时间慢 3 分钟， 所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟. 11 分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 16 页） ONPDCBVAM（2）设甲在一次射击中命中目标的子弹数为，则45,5B，所以4545E ，所以甲在四次射击
10、中命中目标的子弹数的期望为416E， 7 分 设乙在一次射击中命中目标的子弹数为，则35,4B，所以315544E ，所以乙在四次射击中命中目标的子弹数的期望为415E， 9 分 所以在四次射击中，甲命中目标的子弹数的期望比乙多 1，所以乙被罚时间的期望比甲多 1 分钟，又因为在赛道上甲的滑行时间比乙慢 3 分钟，所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟， 11 分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，
11、函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分 解法一： （1）如图，在VAC内过P作PMVC，垂足为M， 在VBC内过M作MNVC交VB于N， 连结PN，则直线PN即为直线l. 2 分 理由如下：因为PMVC，MNVC，PMMNM， 所以VC 平面PMN， 由于过空间一点与已知直线垂直的平面有且只有一个， 所以平面PMN与平面重合， 因为平面PMN平面VABPN，所以直线PN即为直线l. 4 分 （2）因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC， 又因为VCVC,所以VACVBC， 所以PVMNVM， 又VMVM，所以RtRt
12、VPMVNM，所以VPVN，所以23VNVB. 5 分 如图，设AB的中点为D，连结,VD CD， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC，所以,ABVD ABCD， 又因为VDCDD， 所以AB 平面VCD， 因为AB 平面ABC， 所以平面ABC 平面VCD. 在VCD中，作VO CD，垂足为O， 因为平面ABC平面VCDCD，VO平面VCD， 所以VO 平面ABC， 所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角，所以3VCD. 7 分 因为VAB和ABC均是边长为4的等边三角形，所以2 3VDDC, 所以VCD是等边三角形，所以3VO ，3DOOC. 以O为原点， 分别
13、以,OC OV的方向为y轴和z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标lNPAVBCM 数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 16 页） lQNPAVBCGNPODAVBC系Oxyz， 则2,3,0 ,2,3,0 ,0, 3,0 ,0,0,3ABCV， 8 分 所以0,3,3 ,2, 2 3,0 ,4,0,0 ,CVCAAB 1245 3,13333CPCVCA ,28,0,033PNAB. 过l及点C的平面为平面CPN， 设平面CPN的法向量为( , , )x y zn， 则0,0,CPPNnn即45 30,3380.3xyzx取(0, 3,5)n， 即平面CPN的一个法向量为(0, 3,5)n
14、. 10 分 易知，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m， 11 分 所以55 7cos,142 7m nm nmn， 所以过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为5 714 12 分 解法二： （1）如图，在VAB内过P作PNAB，交VB于N， 则直线PN即为直线l. 2 分 理由如下： 取VC的中点Q，连结,AQ BQ， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAAC VBBC，所以,VCAQ VCBQ， 又因为AQBQQ，所以VC 平面ABQ， 又因为VC 平面，所以平面平面ABQ， 又因为平面平面VABl，平面ABQ平面VABAB， 所以ABl，所以直线PN即为直线
15、l. 4 分 （2）由（1）知，PNAB，因为23VPVA，所以23VNVB. 5 分 设AB的中点为D，连结VD，交PN于G，连结CG， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC，所以,ABVD ABCD， 又因为VDCDD， 所以AB 平面VCD，AB 平面ABC， 所以平面ABC 平面VCD. 在VCD中，作VO CD，垂足为O， 因为平面ABC平面VCDCD，VO平面VCD，所以VO 平面ABC， yzNPODAVBCx 数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 16 页） 所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角，所以3VCD， 7 分 因为VAB和ABC均是边长为
16、4的等边三角形，所以2 3VDDC,3VDC， 因为ABPN，所以12 333DGDV由（1）知，过l及点C的平面为平面CPN， 因为AB 平面CPN，PN 平面CPN，所以AB平面CPN， 8 分 设平面CPN平面ABCl，因为AB 平面ABC，所以ABl， 因为AB 平面VCD，CG 平面VCD，CD平面VCD，所以,ABCG ABCD， 所以,CGl CDl，又因为CG 平面CPN，CD平面ABC， 所以GCD为平面CPN与平面ABC所成的锐二面角的平面角， 10 分 在GCD中， 由余弦定理得，2222cosCGDGDCDG DCGDC，2 213CG , 11 分 所以2225 7c
17、os214CGDCDGGCDCG DC， 所以过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为5 714 12 分 20本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性满分 12 分 解法一： （1）在ABC中，由余弦定理得222cos2acbBac， 1 分 又因为6a，12cos2bBc， 所以2221222acbbcac， 2 分 整理得2236bcbc. 3 分 在ABC中，由余弦定理得22362cosbcbcA， 所以2cosbcbc
18、A，即1cos2A. 4 分 又因为(0, )A，所以3A 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的内心，所以1=26BADCADBAC， 由ABCABDACDSSS， 7 分 得111sinsinsin232626bcc ADb AD， 因为=3 3AD，所以313 3()22bcbc，即3bcbc. . 8 分 数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 16 页） 由（1）可得2236bcbc，即2()336bcbc， 9 分 所以2()33609bcbc，即(9)(4)09bcbc， 10 分 又因为0bc ，所以36bc ， 11 分 所以113sin369 32322ABCSbc 1
19、2 分 解法二： （1）因为6a ，12cos2bBc， 所以2 cos2baBc， 1 分 在ABC中，由正弦定理得sin2sincos2sinBABC， 即sin2sincos2sin()BABAB， 2 分 即sin2sincos2sincos2cossinBABABAB， 即sin2cossinBAB， 3 分 因为0,B， 所以sin0B ，故1cos2A. 4 分 又因为(0, )A，所以3A 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的垂心， 所以222BMDMBDACBACB ，又3MD ， 7 分 所以在MBD中，tan3tanBDMDBMDACB， 同理可得3tanCDABC
20、， 8 分 又因为6BDCD，所以3tan+ 3tan6ABCACB，即tan+tan2 3ABCACB， 9 分 又因为在ABC中，tantan3ABCACBBAC ， 所以tantan31tantanABCACBABCACB ， 因此tantan=3ABCACB 10 分 故tantanABCACB，为方程22 330 xx两根，即tan=tan= 3ABCACB， 因为0,ABCACB， 所以=3ABCACB，所以ABC为等边三角形， 11 分 所以21369 322ABCS 12 分 解法三： （1）同解法一. 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的垂心， 数学参考答案及评分细则
21、第 8 页（共 16 页） 所以AMBACB，26ABMBAC， 8 分 所以在ABM中，由正弦定理得sinsinAMABABMAMB， 即sinsin6AMABACB 9 分 又因为在ABC中， 由正弦定理得sinsin3ABBCACB， 10 分 所以sinsin63AMBC，因为6a ，所以2 3AM . 11 分 又因为3MD ，所以116 (2 33)9 322ABCSa AD . 12 分 解法四： （1）同解法一. 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的内心，所以1=26BADCADBAC. 在ABD中，由正弦定理得sinsin6BDADB，因为3 3AD ，所以3 32si
22、nBDB， 同理可得3 33 32sinsin()3CDCB. 7 分 又因为6BDCD，所以3 33 312sinsin()3BB， 即4sinsin()3 sinsin()33BBBB， 即134sinsin()3(sinsincos )322BBBBB， 8 分 即4sinsin()3sin()36BBB， 即4sin()sin()3sin()66666BBB， 9 分 即31314sin()cos()sin()cos()3sin()262626266BBBBB， 数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 16 页） 即22314sin ()cos ()3sin()46466BBB， 即2
23、4sin ()3sin()1066BB ，即sin()14sin()1066BB， 10 分 因为3A,所以203B，所以5( ,)666B， 所以sin()06B，故sin()16B， 即62B，即3B，所以ABC为等边三角形， 11 分 所以21369 322ABCS. 12 分 解法五： （1）同解法一. 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的内心，所以1=26BADCADBAC. 又因为3 3AD ， 在ABD中，由余弦定理得2223=2723 39272BDcccc， 同理可得22927CDbb 7 分 又因为1sin26=1sin26ABDACDAB ADSBDABCDSACA
24、C AD， 所以2222927927cccbbb，即()3()0bcbcbc， 故bc或3bcbc. 8 分 （i）当bc时，ABC为等边三角形，所以21369 322ABCS. （ii）当3bcbc时，由（1）知2236bcbc，即2()336bcbc， 9 分 所以2()33609bcbc，即(9)(4)09bcbc， 10 分 因为0bc ，所以36bc . 11 分 又因为3A，所以113sin369 32322ABCSbc 综上所述，9 3ABCS 12 分 说 明 ： 设 ABC的 外 接 圆 半 径 为R， 则 在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 得 数学参考答案及评分细则 第
25、 10 页（共 16 页） 624 3sinsin3BCRA，即2 3R ，因为M为外心，所以2 3AM ，与4AM 矛盾，故不能选 21本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性满分 12 分 解法一： （1）以O为坐标原点，椭圆C的长轴、短轴所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图. 1 分 设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c， 依题意得2222,
26、2661,33,cababc 解得2,1,1,abc 3 分 所以C的方程为2212xy 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 （i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 6 分 （ii） 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为ykxm，1122,A x yB xy 因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离2631mk， 即223220mk 7 分 由22,1,2xykxmy得222214220kxkmxm， 8 分 所以2121222422,212
27、1kmmxxx xkk， 9 分 1212OA OBx xy y1212x xkxmkxm2212121kx xkm xxm 2222222412121mkmkkmmkkxyABO 数学参考答案及评分细则 第 11 页（共 16 页） 2222212242121kmkmkmmkk 22232221mkk0， 所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 解法二： （1） 同解法一 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 设直线AB与圆O相切于点00,M xy （i）当00y 时，直线AB垂直于x轴，不妨
28、设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 6 分 （ii）当00y 时，直线AB的方程为0000 xyyxxy ，因为220023xy， 所以直线AB的方程为00023xyxyy 7 分 设1122,A x yB xy，由000222,312xyxyyxy 得 22220000189248 180 xyxx xy ， 8 分 所以20012122222000024818,189189xyxxx xxyxy， 9 分 因为220023xy，所以2001212220024184,6969xxxxx xxx， 222OAOBAB 22222OMAMOMBM
29、AMBM 222OMAM BM423AM BM220020010042113xxxxxxyy 220121200042 13xx xxxxxy 数学参考答案及评分细则 第 12 页（共 16 页） 22220000220001842442 136969xxxxyxx 222200002220001842442 12369693xxxxxxx 40220049422323694433xxx 0. 所以222OAOBAB，即OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 解法三： （1）同解法一 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线
30、AB与圆O相切 5 分 （i） 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为ykxm，1122,A x yB xy 因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离2631mk， 即223220mk 6 分 由22,1,2xykxmy得222214220kxkmxm， 7 分 所以2121222422,2121kmmxxx xkk， 8 分 121222221myyk xxmk， 2222121212122221mky ykxmkxmk x xmk xxmk， 2222212122222223220212121mmkmkx xy ykkk 设,P x y是以AB为直径的圆N上的任意一点， 由0PA
31、 PB，得 12120 xxxxyyyy， 10 分 化简得22121212120 xyxxxyyyx xy y， 故圆N的方程为22224202121kmmxyxykk，它过定点O 11 分 数学参考答案及评分细则 第 13 页（共 16 页） （ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 解法四： （1）同解法一 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 （i） 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为ykxm，1
32、122,A x yB xy 因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离2631mk， 即223220mk 6 分 由22,1,2xykxmy得222214220kxkmxm， 7 分 所以2121222422,2121kmmxxx xkk， 8 分 121222221myyk xxmk， 以AB为直径的圆N的圆心为N1212,22xxyy，即222,21 21kmmkk 半径2ABr 221112kxx 222222121222211168814222121kk mmkxxx xkk2222222211688142222121kkmkkmkk， 以AB为直径的圆的方程为 22222222221
33、422212121kmmkkmxykkk ， 整理得22224202121kmmxyxykk， 故以AB为直径的圆过定点O 11 分 （ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 22本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力， 数学参考答案及评分细则 第 14 页（共 16 页） 直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性满分
34、 12 分 解法一： （1）依题意， fx的定义域为0,， 由 1lnaf xxaxR，得 22111faxaxxxx， 1 分 当1a 时， 0fx 恒成立，所以 fx在0,单调递增； 2 分 当1a 时，令 0fx ，得1xa ， 当0,1xa 时， 0fx ，所以 fx在0,1a 单调递减； 当1,xa 时， 0fx ，所以 fx在1,a 单调递增； 综上，当1a 时， fx在0,单调递增； 当1a 时， fx在0,1a 单调递减，在1,a 单调递增 4 分 （2）设 hfxxg x，则 121313 eexxhfa xxaxxa xx， 5 分 当3x 时， 0hx 恒成立，所以 hx
35、在3,单调递增， 又因为503a，所以 22213ln31ln3103eeehaaaa ， 所以 0hx ， hx在3,不存在零点； 6 分 当03x时，设 1exxx，则 1e1xx， 当01x时， 0 x，所以 x在0,1单调递减； 当13x时， 0 x，所以 x在1,3单调递增； 所以 10 x，即1exx，因为0 x ，所以111exx， 7 分 又因为503a且03x，所以3 0a x，所以133exa xa xx， 所以 22231 311ha xaxa xaxaxxxx， 8 分 当103a时，函数 21 31xaxa xa的对称轴为3102axa， 所以 x在0,3单调递增，所
36、以 010 xa ， 所以 0hx ，所以 hx在0,3单调递增； 9 分 数学参考答案及评分细则 第 15 页（共 16 页） 当1533a时， 22161 341510109aa aaa ， 所以 0 x，所以 0hx ，所以 hx在0,3单调递增； 10 分 综上可知，当503a时，均有 hx在0,3单调递增， 又因为 1110haa ，所以 hx在0,3恰有一个零点1, 11 分 故当503a时， hx在0 +，恰有一个零点1， 因此不存在12,x x，且12xx，使得 1,2iif xg xi 12 分 解法二： （1）同解法一； 4 分 （2）记 F xf xg x，则 11ln2
37、 e1xaF xxa xx， 则 21221 ee3113 eexxxxaaxxaFxa xxxx， 5 分 记 221 ee3ee31 exxxh axaaxxxxax， 7 分 设 eexxx，则 eexx， 当01x时， 0 x，所以 x在0,1单调递减； 当1x 时， 0 x，所以 x在1,+单调递增； 所以 10 x，即eexx， 8 分 所以，222585851ee3ee3e5128333333xhxxxxxxxxxx， 因为2124 5 8160 ，所以251280 xx，所以503h， 9 分 又 01 e0 xhx 所以当50,03ax时， 0h a ， 10 分 所以 0F
38、x， F x在0,上单调递增，又因为 10F， 所以 F x在0,上恰有1个零点1， 11 分 因此不存在12,x x，且12xx，使得 1,2iif xg xi 12 分 解法三： （1）同解法一； （2）设 hfxxg x，则 121313 eexxhfa xxaxxa xx， 5 分 数学参考答案及评分细则 第 16 页（共 16 页） 当3x 时， 0hx 恒成立，所以 hx在3,单调递增， 又因为503a，所以 22213ln31ln3103eeehaaaa ， 所以 0hx ， hx在3,不存在零点； 6 分 当03x时，设 1exxx，则 1e1xx， 当01x时， 0 x，所以
39、 x在0,1单调递减； 当13x时， 0 x，所以 x在1,3单调递增； 所以 10 x，即1exx，因为0 x ，所以111exx， 7 分 又因为503a且03x，所以3 0a x ，所以133exa xa xx， 所以 22231131ha xxxa xxaxxxx， 8 分 设 2311aa xxx，则 010 x ， 9 分 2226455551285531103333xxxxxx ， 所以 0a，所以 0hx ， 综上可知，当503a时，均有 hx在0,3单调递增， 10 分 又因为 1110haa ，所以 hx在0,3恰有一个零点1， 11 分 故当503a时， hx在0 +，恰有一个零点1， 因此不存在12,x x，且12xx，使得 1,2iif xg xi 12 分
