1、第第 8 8 章章 弯曲弯曲 一、工程实例一、工程实例工厂厂房的吊车大梁：工厂厂房的吊车大梁：8.1 8.1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件火车的轮轴：火车的轮轴：FFFF楼房的横梁楼房的横梁阳台的挑梁阳台的挑梁二、弯曲的概念二、弯曲的概念受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点变形特点杆轴线由直线变为一条曲线杆轴线由直线变为一条曲线。 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆- - 梁。梁。qPMAFBF弯曲弯曲如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。那么杆的轴
2、线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形这种变形称为弯曲变形三、梁的约束与类型三、梁的约束与类型1.1.支座形式与支反力支座形式与支反力（1）活动支座）活动支座（2）固定铰支座）固定铰支座RFRyFRxF（3）固定端）固定端RyFRxFM悬臂梁2. 2. 静定梁的基本形式静定梁的基本形式简支梁外伸梁基本形式基本形式8.2 8.2 梁的内力梁的内力剪力与弯矩剪力与弯矩一、计算梁内力的方法一、计算梁内力的方法v计算内力仍采用截面法计算内力仍采用截面法 ： 在截面在截面m-mm-m处假想地把梁切为两段处假想地把梁切为两段取左端为研究对象，由于左端作取左端为研究对象，由于左端作用着外力用着外力F
3、FRARA则在截面上必有与则在截面上必有与F FRARA大小相等大小相等, ,方向相反的力方向相反的力F FQ Q, , 由由于该内力切于截面于该内力切于截面, , 因此称为因此称为剪剪力力。又由于。又由于F FRARA 与与F FQ Q形成一个力偶形成一个力偶, , 因此在截面处必存在一个内力偶因此在截面处必存在一个内力偶M M与之平衡与之平衡, , 该内力偶称为该内力偶称为弯矩弯矩。 F FQ Q= =F FRARAM M= =F FRA RA x x 截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形
4、心的力矩的代数和（主的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主矩）。矩）。FQFQFQFQFQFQFQFQ二、剪力与弯矩的正负号规则二、剪力与弯矩的正负号规则2. 弯矩的正负号弯矩的正负号MM表示方法表示方法引起的变形引起的变形上凹下凸上凹下凸MMMMMM表示方法表示方法引起的变形引起的变形上凸下凹上凸下凹三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩 画出所选梁段的受力图，图中，剪力画出所选梁段的受力图，图中，剪力FQ与弯矩与弯矩M可假设为正可假设为正；由平衡方程由平衡方程Fy =0 计算剪力计算剪力 FQ; ; 由平衡方程由平衡方程Mc=0 计算弯矩计
5、算弯矩 M。 EFAyABqCM0FQ1MM1 1BAM0q4m4m2m2mxCD7m11 Fy=FAy+FE-F-4q=0 MA(F )=12FE+M0-8F-4q2=0 FAy=49kN；FE=32kN解：解：1 1）求约束反力：）求约束反力： 041QAyyFqFFKN13q4FFAy1Q ）（0547101 MMmqmFMAycmKNMmqmFMAy 11554701）（）（例 题FAy重要结论：重要结论： (1) (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。外力的代数和。左侧梁段：左侧梁段：向上的外力为正，向下的外
6、力为负。向上的外力为正，向下的外力为负。右侧梁段：右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负向下的外力为正，向上的外力为负 (2) (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。上外力对该截面形心的力矩之代数和。左侧梁段左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。右侧梁段：右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。 左顺右逆左顺右逆, , 弯矩为正弯矩为正 左上右下，左上右下， 剪力为正剪力为正 左上右下，左上右下， 剪力为正；左顺右逆，
7、弯矩为正。剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。反映梁的横截面上的剪力随截面位置反映梁的横截面上的剪力随截面位置变化的函数式变化的函数式)x(FFQQ 1.1.剪力方程剪力方程)(xMM 2.2.弯矩方程弯矩方程LqAB,qx)x(FQ ,)(221qxxM)lx0( )lx0( x一、一、 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程qxFQMM反映梁的横截面上的弯矩随截面位置反映梁的横截面上的弯矩随截面位置变化的函数式变化的函数式8.3 8.3 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图确定分段点的原则确定分段点的原则： 分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点
8、。分布力的起点、终点。不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程注意注意图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试求出的满布荷载作用。试求出梁的剪力方程和弯矩方程。梁的剪力方程和弯矩方程。解：解：1.1.确定约束力确定约束力2qlFFBA例 题 B lAqFBFA2.2.确定分段点确定分段点4.4.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 0qxFxFAQ 02xqxxFxMA xM(x)FQ(x)FAxAqB lAqFBFA3.3.建立建立 A-x 坐标轴坐标轴 qx2qlxFQ 0Fy 2qx2qlxxM2 0MC )lx0( )
9、lx0( xxB lAqFBFA qx2qlxFQ 2qx2qlxxM2 )lx0( )lx0( 二、剪力图与弯矩图二、剪力图与弯矩图FQ x ql2ql282qlF,maxQ 82qlMmax 222qxqlxxM qx2qlxFQ M xl/2B lAq1.1.剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称 为剪力图。为剪力图。2.2.弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称 为弯矩图。为弯矩图。3.3.用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤先求出约束反力
10、；先求出约束反力；确定分段点确定分段点；列出剪力方程和弯矩方程列出剪力方程和弯矩方程；剪力方程和弯矩方程画出剪力图剪力方程和弯矩方程画出剪力图 和弯矩图和弯矩图； 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载F作用。试作作用。试作梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图。解：解：1 1、求支反力、求支反力lFbFAlFaFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程 需分两段列出需分两段列出BAF abC例 题FBFAlAC 段段 ax0lFbxFQ1 ax0 xlFbxM1 M1(x)FQ1(x)BxAF abCFBFAxAFACB段段 lxalFaFxFBQ2 lxaxllFa)xl (F
11、xMB2 FBBFQ2(x)M2(x)BxAF abCFBFAFQ xMxFabl3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图xllFaxM)(2 lFbxFQ1 xlFbxM1 lFaxFQ2 FblFal* 集中力作用处剪力图有突变，突变值的大小等于集中力的大小。弯矩图有折角。BAF abCl 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解解: : 1、求支反力求支反力 lMFAe lMFBe0M 0lFMAeMe 例 题 BAabCFAlFBxMe BAabCFAl2 2、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和
12、弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段： lx0lMFxFeAQ FB弯矩方程弯矩方程两段：两段：AC 段：段：CB 段：段： xlMxFxMeA1 xllMxMe2 lxa ax0 M1(x)FQ(x)FQ(x)M2(x)Me BxAabCFAlxAFAxFBBFBlaMeFQxMx3.3.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图ba时时lbMMemax lMxFeQ * 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶矩的大小。 xlMxMe1 xllMxMe2 lxa ax0 lbMeMe BAabCllMe FQFQ+ dFQMM+d Mq(x)考察考察 dx 微段的受
13、力与平衡微段的受力与平衡dxx一、一、 剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系8.4 8.4 剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系OxyFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)OxyC考察考察 dx 微段的受力与平衡微段的受力与平衡Fy=0:MC=0:FQ+q dx- FQd FQ=0 -M+(M+dM)- FQdx-q dx dx /2=0 略去高阶项，得到略去高阶项，得到Fy=0:MC=0:FQ+q dx- FQd FQ=0 -M+(M+dM)- FQdx-q dx dx /2=0 上述方程描述了平面载荷作用下弯矩、剪力与载荷集上述方程描
14、述了平面载荷作用下弯矩、剪力与载荷集度之间微分关系，称为度之间微分关系，称为平衡微分方程。平衡微分方程。 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力知内力FQ 、M 的变化规律。的变化规律。qxdFdQ qxM2dd2QFxdMd 剪力图为一条剪力图为一条水平线水平线；弯矩图为一条弯矩图为一条斜直线斜直线。qxdFdQ qxM2dd2QFxdMd 剪力图为一条剪力图为一条斜斜直线；直线；弯矩图为一条二次抛物线。弯矩图为一条二次抛物线。qxdFdQ qxM2dd2QFxdMd F剪力图突变剪力图突变，突变值等于集中力，突变值等于集中力 的大小；左右两侧
15、控制面弯矩相等。的大小；左右两侧控制面弯矩相等。 左右两侧控制面剪力相等，左右两侧控制面剪力相等，弯矩图有突变弯矩图有突变，突变值等于集中力偶矩的大小。，突变值等于集中力偶矩的大小。QQFxdMd 集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 分布载荷起点和终点处的截面。分布载荷起点和终点处的截面。 控制面：控制面：在一段梁上，各个横截面上的内力按相同在一段梁上，各个横截面上的内力按相同的规律变化，这一段梁的两个端截面称为控制面。的规律变化，这一段梁的两个端截面称为控制面。据此，下列截面均可为控制面据此，下列截面均可为控制面：三、简易法
16、作内力图三、简易法作内力图 2.2.简易法作内力图的步骤：简易法作内力图的步骤： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；建立建立 FS一一x 和和 M一一x 坐标系，求出控制面的剪坐标系，求出控制面的剪力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中；坐标系中；先求出约束反力；先求出约束反力；应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 Mx qaFqaFDA2 ，例 题解：解：B aA
17、qD a aqqaF FA AF FD DxFQ qaFqaFBA31 35，xFQMx例 题B 2aAqa2C aqF FA AF FB B0 0 AAMF，xFQMx例 题AFql2 l lqqBCBaFFDCBaA纯弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上只有弯矩，那么这纯弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上只有弯矩，那么这种弯曲就称为横力弯曲。种弯曲就称为横力弯曲。FaMACDBFFADCBFQ8.5 8.5 平面弯曲梁截面上的正应力强度平面弯曲梁截面上的正应力强度横向弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上既有弯矩，又有横向弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上既有弯矩，又有剪力，那么这种弯曲就称为横力弯曲。
18、剪力，那么这种弯曲就称为横力弯曲。1.1.平面假定与应变分布平面假定与应变分布观察实验观察实验二、纯弯曲时梁横截面上的正应力分析二、纯弯曲时梁横截面上的正应力分析 根据变形的连续性可知，根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层层纵向无长度改变的过渡层。中间层与横截面的交线中间层与横截面的交线 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。了一个角度，等高度的一层
19、纤维的变形完全相同。（1 1）中性层）中性层（2 2）中性轴：）中性轴：dxzyy2o1ozyxAA y（3 3）弯曲平面假设）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的中性轴转动了一个角度。面绕其上的中性轴转动了一个角度。中性轴中性轴 Z 轴通过形心，并且垂直于对称轴。轴通过形心，并且垂直于对称轴。zzIyM 2 2、弯曲正应力计算公式。、弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当M 0时，下
20、拉上压；时，下拉上压； 当当M 5 （细长梁）时，纯（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式zIyM 可推广应用于横力弯曲可推广应用于横力弯曲LABq lABqmkN5.4834822max qlMMPa94.6106180120105.4WM923zmaxa q=4kN/m3mz120180bac50MPa86. 310121801201050105 . 4IyM12333zbmaxb MPa94. 6 ac yM(kN.m)4.5正应力公式应用举例正应力公式应用举例 例题例题 求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：求图
21、示悬臂梁的最大、压应力。已知：,m/kN6q,m1l 10槽钢槽钢q解：解：1 1）画弯矩图）画弯矩图kNm3ql5 . 0|M|2max 2 2）查型钢表：）查型钢表：cm52. 1y,cm6 .25I,cm8 . 4b14z cm28. 352. 18 . 4y2 3 3）求应力：）求应力：1zmaxmaxtyIM 6106 .2552. 13000 MPa178 2zmaxmaxcyIM 6106 .2528. 33000 MPa384 MPa384,MPa178maxcmaxt c maxt maxybz1y2y例题例题M maxMbz1y2yy材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力
22、 max zWMmaxmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁一、强度条件一、强度条件Mmax8.6 8.6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件yxzy拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxt cmaxc yxzyM二、二、 强度条件的应用强度条件的应用2.2.设计截面尺寸设计截面尺寸: :3.3.确定外荷载确定外荷载: :1 1. .校核强度校核强度: : max maxzMW zmaxWM T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 t=30MPa， c=60MPa.其截面形心位于其截面形心位
23、于C C点点y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。解：解：1)求约束反力求约束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下拉、上压kNmMC（上拉、下压）kNmMB4y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图AyFByFkN9F1 kN4F2 3 3）求应力）求应力B 截面截面（上拉下压）（上拉下压）xMC C 截面截面（下拉上压）（下拉上压）例题例题zCCtIyM2max C C 截面截面（下拉上压）（下拉上压）: :y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kN
24、F 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 2464 ) 4 ) 强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPaB B 截面截面（上拉下压）上拉下压）: :,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBt MPaIyMzBBc2 .461076310884462max -4k N mxM2.5kNm梁的强度足够梁的强度足够合理选取截面形状合理选取截面形状 (1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。 由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式
25、焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：图a所示截面34cm343 cm7452zzWI，图b所示截面34cm215 cm7171zzWI，图c所示截面34cm86 cm690zzWI，图d所示截面34cm343 cm7452zzWI， (2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 (例如建筑用钢) 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。dzyO(b) yc,max yt,ma
26、xyz bd1 hOd2(c) hbzyO(a)tmax, tcmax, ct1maxmaxt,zIyMc2maxmaxc,zIyMct21yy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为因即合理设计梁的外形合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
